机械振动5多自由度系统的振动5-6

机械振动第五章1§5.5系统对初始条件的响应·振型叠加法系统振动方程2前文已证明固有振型向量的正交性，下面利用振型向量进行坐标变换，将得到解耦的方程组。345例5.5-1：求系统的响应解：系统的质量矩阵和刚度矩阵：频率方程为：m1m2k3k1q1q2k2系统的特征值问题：系统的运动方程：6频率方程展开为：代入特征值问题：系统的固有频率：得固有振型：7固有振型：求正则振型：8由(5.5-12)给出的响应：其中：初始条件：9由(5.5-12)给出的响应：其中：10固有正则振型：令系统的正则坐标为将系统的运动方程其中也可以直接变换方程和初始条件求解11正则坐标下系统的响应(5.5-7)’12正则坐标下系统的响应：原坐标下系统的响应：13模态叠加法小结：物理空间耦合正则坐标空间解耦145.6影响系数许多工程结构可以简化为多个质量和弹簧组成的离散线性系统研究这种系统的运动时，不仅要知道系统的质量特性，也要知道系统的刚度特性，这些特性以影响系数的形式包含在运动微分方程之中。事实上刚度系数应该更恰当地称为刚度影响系数，而与之对应的为柔度影响系数。可以预计这两类影响系数是密切相关的，他们是从相反的角度描述作用力与变形的关系。下面用实例说明他们的关系：刚度矩阵与柔度矩阵互逆。15考虑一个简单的离散模型系统平衡时，各质点mi的坐标xi，在力Fi作用下，位移为uimiuimjmnujxixj1.柔度影响系数（柔度系数）柔度影响系数aij定义为：由施加在x

=

xj

处的单位力Fj

=1所引起的x

=

xi处的位移。一个n

自由度系统有n个广义坐标，有n个位移，所以有

n×n个柔度系数aij

(i,j=1,2,…,n),组成n

阶方阵——柔度矩阵[aij

]16柔度矩阵由于系统是线性的，位移与作用力成正比，所以当x=xj点施写成矩阵形式：加任意大小力Fj时，在点x=xi引起的位移为aij

Fj。由叠加原理，把每个力所引起的位移简单地相加即可得到由所有的力Fj时(j=1,2,…,n)引起的在x=xi点的位移为ui,这是用柔度矩阵表示的位移方程。172.刚度影响系数（刚度系数）miuimjmnujxixj刚度影响系数kij定义为：仅在x

=

xj

处产生一个单位位移uj

=1,而在x

≠

xj

的所有其它一个n

自由度系统有n个广义坐标，有n个单位位移，而每个单1,2,…,n),组成n

阶方阵——刚度矩阵[kij

]点的位移为零时，在x

=

xi处所需施加的力。位位移对应着n个刚度系数，所以有

n×n个刚度系数kij

(i,j=18刚度矩阵由于系统是线性的，位移与作用力成正比，所以当x=xj点产写成矩阵形式：生任意大小的位移uj时，由叠加原理，在所有点产生任意位移uj时，在点x=xi所需施这是用刚度矩阵表示的力方程。加的力Fi

(i=1,2,…,n)为在点x=xi所需施加的力应为kij

uj。193.刚度系数与柔度系数的关系对于仅有一个弹簧的单自由度系统，刚度系数与柔度系数互即刚度矩阵与柔度矩阵互为逆矩阵。对于多自由度系统，由（5.6-3）和（5.6-6）：但对于半正定系统，刚度矩阵是奇异的，不存在逆矩阵。为倒数。（5.6-7）（5.6-8）所以半正定系统不存在柔度矩阵。半正定系统某点施加力后，无法维持平衡，而产生刚体运动，故柔度系数无物理意义。20所以半正定系统只能用刚度矩阵来建立振动微分方程，对m1施加单位力F1=1,用柔度矩阵建立振动微分方程只能用于正定系统。例5.6-1根据定义计算柔度矩阵和刚度矩阵而F2=F3=0，见右下图。在x

=

xi处所引起的位移：m2u1m2u1解：先求柔度系数aij

，21对m2施加单位力F2=1，而F1=F3=0，见右图。在x

=

xi处所引起的位移：m2u1对m3施加单位力F3=1，而F1=F2=0，见右图。在x

=

xi处所引起的位移：m2u122系统柔度矩阵为：使m1产生单位位移u1=1，而u2=u3=0，见右图。求各点x

=

xi处所需的力：求系统的刚度矩阵m2F123使m2产生单位位移u2=1，而u1=u3=0，见右图。求各点x

=

xi处所需的力：m2F1使m3产生单位位移u3=1，而u1=u2=0，见右图。求各点x

=

xi处所需的力：m2F124系统刚度矩阵为：不难证明：可以看出刚度矩阵和柔度矩阵都是对称矩阵。即刚度矩阵和柔度矩阵是互逆的。25例5.6-2求复合摆的刚度矩阵和柔度矩阵。解：先求柔度矩阵.假设微幅摆动.对m1施加单位力F1=1,而F2=0，可得在x

=

xi处所引起的位移：由静力矩平衡，26得柔度矩阵对m2施加单位力F2=1,而F1=0，27再求刚度矩阵使m1产生单位位移u1=