4.3 函数的应用-(人教A版2019必修第一册) (教师版)

函数的应用1函数模型一次函数y=ax+b(a≠0)二次函数y=a指数函数y=指数型函数y=k∙对数函数y=lo对数型函数y=k∙lo幂函数y=幂函数型y=k⋅2增长快慢比较V(常见函数图象3函数的零点①函数零点的概念对于函数y=f(x)，使f(x)=0的实数x叫做函数的零点.②方程根与函数零点的关系方程fx=0⇔函数y=fx有零点⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点，且交点横坐标为x0.如方程2x-4=0的实数根是函数fx=2x-4函数fx=2x-4的零点是拓展方程f(x)=g(x)有实数根x0⇔函数y=f(x)与函数y=g(x)有交点，且交点横坐标为解惑若让你求解x2-2x而方程x2-2x=0的实数根⇔如图就较容易得到，方程x2-2x=0③求函数零点方法(1)(代数法)求方程f(x)=0的实数根.(2)(几何法)利用函数的图象，根据函数的性质判断零点是否存在或找出零点位置.4函数零点定理如果函数y=f(x)在[a,b]上的图象是连续不断的，且f(a)f(b)<0，那么函数y=f(x)在(a,b)至少有一个零点c，即存在c∈(a,b)，使得fc=0，这个c也就是方程f5二分法①二分法的概念对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.②用二分法求方程近似解的步骤(1)确定区间[a,b]，验证f(a)f(b)<0，给定精确度ε；(2)求区间(a,b)的中点c;(3)计算f(c)，(i)若f(c)=0,则c就是函数的零点；(ii)若f(a)f(c)<0，则令b=c(此时零点x(iii)若f(c)f(b)<0，则令a=c(此时零点x0(4)判断是否达到精确度ε：即若|a-b|<ε，则得到零点近似值为a(或b)；否则重复⑵【题型一】不同函数模型的认识【典题1】惠州市某学校物理兴趣小组在实验测试中收集到一组数据如表所示：t1.993.04.05.16.12v1.54.047.51218.01用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是()A．v=log2tB．【解析】方法1由表可知：v是关于t的增函数；且增幅随t的增大而增大，故只有C满足要求．故选C．方法2作出散点图，如图，由函数拟合可知只有C满足要求．故选C．方法3由表可知：v是关于t的增函数；故B不适合；对于A：log21.99≈2，log23对于C：1.9925.12-12≈12.5，对于D：2×1.99-2=1.982×6.12－2=10.24，故故选C．【点拨】判断最佳函数模型，方法如下①根据数据的增减性和增幅，排除不符合的函数；②根据表格描点做出散点图，结合常见函数模型进行判断；③代点法，把数值代入函数中，若数值偏离较远则排除.【典题2】假设有一套住房从2002年的20万元上涨到2012年的40万元．如表给出了两种价格增长方式，其中P1是按直线上升的房价，P2是按指数增长的房价，t是t05101520P12040P22040(1)求函数P1(2)求函数P2(3)完成上表空格中的数据，并在同一直角坐标系中画出两个函数的图象，然后比较两种【解析】(1)由题意可设P1∵当t=0时，P1=20；当t=10时，∴n=2010m+n=40，解得∴P(2)由题意可设P2∵当t=0时，P∴k=20k∙a∴P(3)表中数据如下：t05101520P12030405060P2020404080在同一直角坐标系中画出两个函数的图象，如图所示：有图象可知，P1=f(t)=2t+20呈直线增长，增长速度较慢；【点拨】求函数的解析式，当已知函数类型时用“待定系数法”.【题型二】不同函数模型的应用【典题1】某地为践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树造林．假设一片森林原来的面积为a亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的2倍时，所用时间是10年．(1)求森林面积的年增长率；(2)到今年为止，森林面积为原来的2倍，则该地已经植树造林多少年？(3)为使森林面积至少达到6a亩至少需要植树造林多少年？(参考数据：lg2=0.3010,lg3=0.4771)【解析】(1)设森林面积的年增长率为x，则a1+x10=2a∴森林面积的年增长率为2110(2)设已经植树造林n年，则由题意可知a(1+x)∴a×2n10∴已经植树造林5年；(3)设为使森林面积至少达到6a亩至少需要植树造林m年，则a1+x∴2∴m∴m≥10×lg2+lg3故为使森林面积至少达到6a亩至少需要植树造林26年．【典题2】新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供x(x∈[0,10])(万元)的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服．A公司在收到政府x(万元)补贴后，防护服产量将增加到t=k⋅(6-12x+4)(万件)，其中k为工厂工人的复工率(k∈[0,5.1])．A公司生产t万件防护服还需投入成本(20+8x+50t)(1)将A公司生产防护服的利润y(万元)表示为补贴x(万元)的函数；(2)对任意的x∈[0,10](万元)，当复工率k达到多少时，A公司才能不产生亏损？(精确到0.01)．【解析】1=30k6-12x+4-20-8x(2)若对任意的x∈[0,10]，公司都不产生亏损，则180k-360kx+4-8x-20≥0即k≥145⋅(x+4)(2x+5)记t=x+2，则t∈[2,12]，此时(x+4)(2x+5)x+2由于函数f(t)=2t+2t+5在t∈[2,12]单调递增，所以当t∈[2,12]时，fmax∴k≥1即当工厂工人的复工率达到0.65时，对任意的x∈[0,10]，公司都不产生亏损．【点拨】①根据题意求出函数的解析式，在实际问题中，特别注意自变量的取值范围；②求函数y=ax巩固练习1(★)有一组实验数据如表：x23456y1.402.565.311121.30则体现这些数据的最佳函数模型是()A．y=x12 B．y=log2x 【答案】C【解析】把(x,y)的值分别代入y=x12把(x,y)的值分别代入y=log2x把(x,y)的值分别代入y=13⋅把(x,y)的值分别代入y=12x故选：C．2(★)设光线通过一块玻璃，强度损失10%、如果光线原来的强度为k(k>0)，通过x块这样的玻璃以后强度为y，则y=k∙0.9x(x∈N*)，那么光线强度减弱到原来的13A．9 B．10 【答案】C【解析】设通过这样的玻璃x块，则由题意得k⋅0.9x<两边同时取常用对数，可得xlg0.9<lg1因为lg0.9<0，所以x>lg则至少通过11块玻璃，故选：C．3(★★)某地区今年1月，2月，3月患某种传染病的人数分别为42，48，52．为了预测以后各月的患病人数，甲选择了模型y=ax2+bx+c，乙选择了模型y=pqx+r，其中y为患病人数，x为月份数，a,b,c,p,q,r都是常数．结果4月，5月，6月份的患病人数分别为(1)求a,b,c,p,q,r的值；(2)你认为谁选择的模型好．【答案】(1)a=-1，b=9，c=34,p=-27，q=23，r=60(2)【解析】(1)由甲模型：令y=f(x)=ax可得：a+b+c=42，4a+2b+c=48，9a+3b+c=52，解得a=－1，b=9，c=34．由乙模型：设y=pqx+r可得：g(1)=pq+r=42，g(2)=pq2+r=48解得p=－27，q=23，(2)由(1)可得：f(x)=－∴f(4)=－f(5)=－f(6)=－由乙模型可得：g(x)=－∵g(4)=54+23≈54，g(5)=56+可得：g(4)、g(5)、g(6)比f(4)、f(5)、f(6)更接近真实值．4(★★)某心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数p与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线．当t∈(0,14]时，曲线是二次函数图象的一部分，当t∈[14,40]时，曲线是函数y=loga(t-5)+83(a>0,且(1)试求p=f(t)的函数关系式；(2)一道数学难题，讲解需要22分钟，问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完？请说明理由．【答案】(1)f(t)=-(2)教师能够合理安排时间讲完题目【解析】(1)当t∈(0,14]时，设p=ft将点(14,81)代入得c=-1∴当t∈(0,14]时，p=f(t)=-1当t∈(14,40]时，将点(14,81)代入y=loga(t－所以p=f(t)=-14(2)当t∈(0,14]时，-1解得12－22当t∈(14,40]时,log解得5<t≤32，所以t∈(14,32]，综上t∈[12－此时△t=32-(12-22所以教师能够合理安排时间讲完题目．5(★★)培养某种水生植物需要定期向培养植物的水中加入物质N．已知向水中每投放1个单位的物质N,x(单位：天)时刻后水中含有物质N的量增加ymol/L，y与x的函数关系可近似地表示为y=8-16x+2,0≤x≤612-x,6<x≤12(1)若在水中首次投放1个单位的物质N，计算物质N能持续有效发挥作用几天？(2)若在水中首次投放1个单位的物质N，第8天再投放1个单位的物质N，试判断第8天至第12天，水中所含物质N的量是否始终不超过6mol/L，并说明理由．【答案】(1)6(2)第8天至第12天，水中所含物质N的量始终不超过6mol/L【解析】(1)由题意x，(单位：天)时刻后水中含有物质N的量为y=8-解y≥4，得2≤x≤8．所以若在水中首次投放1个单位的物质N，物质N能持续有效发挥作用6天．(2)设第x(8≤x≤12)天水中所含物质N的量为ymol/L，则y=(12-x)+[8-16y=14-[(x-6)+16当且仅当x-6=16x-6，即x=10∈[8,12]时，等号成立．即当x=10时，所以第8天至第12天，水中所含物质N的量始终不超过6mol/L．【题型三】求函数的零点【典题1】下列函数中，在(-1,1)内有零点且单调递增的是()A．y=log13x B．y=【解析】根据题意，依次分析选项：对于A，y=log13x，其定义域为对于B，y=3x-1，在(-1,1)对于C，y=x对于D，y=-x故选：B．【点拨】求函数零点方法：①代数法，即解方程；②几何法，即数形结合.【题型四】函数与方程的关系【典题1】方程3x+A.有且只有一个根2B.不仅有根2还有其他根C.有根2和另一个负根D.有根2和另一个正根【解析】方程3x+设fx则函数f(x)在R上为减函数，∵f∴方程3x+4x=【点拨】本题巧妙的把方程3x+4x=5【典题2】若x1满足3x=2-x，x2【解析】设fx=3x∵x1∴x1是函数fx∵x2∴x2是函数gx由于函数y=3t与函数所以它们的图象关于直线y=x轴对称，故两图象与直线tx=2-x的交点(x1,所以x1【点拨】①指数函数y=ax与对数函数y=loga②方程问题转化为函数问题时，在构造函数时，常把常见的函数模型(一次函数型、二次函数型、反比例函数型，指数函数型、对数函数型等)分开，比如方程x+12x+3=0⇔函数y=2x与函数y=-【典题3】已知函数f(x)=|log2x|,x>0x2+4x+1,x≤0，若函数Fx=fx-b有四个不同的零点x【解析】(函数Fx=fx-b的零点等价于函数y=f(x)作出f(x)的函数图象如图所示，由图象知x1+而0<-log2x∴x令t=x32令g(t)=t+1则g(t)在[14,1]上单调递减，∴g(1)<g(t)≤g(1即2<t+【点拨】①函数F(x)=f(x)－b零点的问题转化为函数y=f(x)与②遇到分段函数常常需要数形结合；③求x4x3-x1x32+x2x32【典题4】已知偶函数f(x)满足f(3+x)=f(3-x)，且当x∈[0,3]时，fx=-x2+2x+1，若关于x的方程f2x-tf(x)－【解析】∵f(x)是偶函数，∴f(3+x)=f(3-x)=f(x-3)，∴f(x)是以6为周期的函数．∵关于x的方程f2x-tfx-3=0∴关于x的方程f2x-tfx-3=0做出f(x)在一个周期(-3,3]上的函数图象如图所示：令f(x)=m，由函数图象可知：当m=-2时，f(x)=m只有1解，当-2<m<1或m=2时，f(x)=m有2解，当m=1时，f(x)=m有3解，当1<m<2时，f(x)=m有4解．∴关于m的方程m2-tm-3=0在{2}和(1，2)上各有1解或(－若方程的一解为m=2，则方程的另一解为m=-3∴关于m的方程m2-tm-3=0在(－2,1)和∴1+2t>0-2-t<01-2t>0【点拨】①由f(3+x)=f(3-x)可得f(x)关于x=3对称，又由于f(x)是偶函数，可得函数的周期T=6；②在“关于x的方程f2x-tfx-3=0在(-3,3]上有6个解”巩固练习1(★)下列函数中，是偶函数且不存在零点的是()A．y=x2 B．y=【答案】D【解析】对于A，y=x2的对称轴为y轴，故令x2=0得x=0，所以y=x对于B，y=x的定义域为[0,+∞)故y=x对于C，y=log2x故y=log对于D，-12-x令-12x故选：D．2(★★)函数f(x)=(12)|x|-【答案】2【解析】令f(x)=0，则(1因此函数f(x)的零点个数即为函数y=(12)在直角坐标系中画出函数y=(12)由图象可得f(x)有2个零点．故选：B．3(★★)若方程mx-x-m=0(m>0,且m≠1)有两个不同实数根，则m的取值范围是【答案】m>1【解析】方程mx－x－m=0当m>1时，如图(1)有两个不同交点；当0<m<1时，如图(2)有且仅有一个交点．故选：A．4(★★)设a、b、c依次表示函数f(x)=x12-x+1，g(x)=log【答案】b<c<a【解析】函数f(x)=x12-x+1，g(x)=log1就是方程x1在坐标系中画出函数y=x12可得b<c<a，故选：D．5(★★★)已知函数f(x)=log3x，函数h(x)是最小正周期为2的偶函数，且当x∈[0,1]时，hx=3x-1．若函数y=k∙f(x)+h(x)【答案】-2,-2【解析】∵y=k•f(x)+h(x)有3∴y=h(x)与y=－k•log作出y=h(x)得函数图象如图所示：若－k<0，即k>0，则y=h(x)与y=－k∙若－k=0，即k=0，则y=h(x)与y=若－k>0，即k<0，若y=h(x)与y=－k∙则－klog3解得：－2<k<故选：B．6(★★★)已知函数f(x)=|5x-1|,x<18x+1,x≥1，若方程f(f(x))=a恰有5个不同的实数根，则实数【答案】(85,4【解析】作出函数f(x)=|若a<0，显然无解；若a=0，则f(f(x))=0⇒f(x)=0⇒x=0，只有唯一解，不合题意；若0<a≤1，则f(x)在(0,log52)与因此f(x)只在(0,log52若1<a<4，则f(x)在(log52,1)与(1,7)中分别有一解，f(x)在因此由题意，f(x)在(1,7)中有一解需要得出x有两解，而由于f(x)≤4，因此a的取值需保证f(x)在(1,7)中的解位于区间(1,4)中，计算得f(4)=85，可得若a=4，则f(x)=1，此时x有两解，不合题意；若a>4，显然无解．综上，85故答案为：(85,4)．【题型五】函数零点定理【典题1】设函数f(x)=2xx+1+lnx满足f(a)f(b)f(c)<0(a<b<c)，若f(x)存在零点x0A．x0∈(a,c) B【解析】函数函数f(x)=2xx+1+lnx=2-满足f(a)f(b)f(c)<0(a<b<c)，说明f(a),f(b),f(c)有1个是负数两个正数(且负数一定是f(a))或3个负数，由函数的零点判断定理可知，函数的零点在(a,c)，在(a,b)，在(c,+∞)，不可能在(b,c)．故选C．【点拨】①2xx+1=2-②判断函数零点所在的区间，就要注意区间上端点对应的函数值(本题中fa、f【典题2】[x]表示不超过x的最大整数，例如3.5=3，－0.5lnx+3x－15=0的根，则[x0【解析】x0是方程lnx+3x设f(x)=lnx+3x－15，显然故f(x)=0只有一个根，f(4)=ln4故x0∈(4,5)，所以【点拨】①若f(x)在[a,b]上是单调函数，则它在[a,b]上至多只有一个零点.②求函数零点的近似值，可利用代入一些数值进行逼近，再用函数的零点判断定理确认零点的范围.【题型六】二分法【典题1】用二分法求函数fx=lnx+1+x-1在区间[0,1]上的