5.1 导数的概念及其运算 -(人教A版2019选择性必修第二、三册)(教师版)

导数的概念及其运算1平均变化率若某个问题中的函数关系用f(x)表示，问题中的变化率用式子Δy则式子ΔyΔx称为函数f(x)从x0Eg函数f(x)=x2在区间[－1,2]上的平均变化率为Δ2导数概念函数f(x)在x=x0lim则称它为函数y=f(x)在x=x0处的导数，记作f'(f'(3导函数若当x变化时，f'(x)是x的函数，则称它为f(x)的导函数(简称导数)，记作f'(x)或yf4导数的计算基本初等函数的导数公式5导数运算法则(1)fx拓展：fx记忆：函数的和差的导数等于函数导数的和差；(2)fx特别：C∙fx'=C∙f记忆：两函数积的导数等于“前导后不导＋后导前不导”；(3)fx记忆：两函数商的导数等于“分母平分，分子导分母不导－分母导分子不导”.6复合函数的导数对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，若通过变量u,y可以表示成x的函数，则称这个函数为函数y=f(u)和u=f(x)的复合函数，记作y=f(g(x))．复合函数y=f(g(x))的导数与函数y=f(u),u=f(x)的导数间的关系是yEg若fx=ln⁡(x则f'【题型一】导数概念的理解【典题1】函数y=x2在区间[x0,x0+∆x]上的平均变化率为k1，在[xA．k1>k2B．k1<k2【解析】∵函数y=f(x)=x2在x0∆∴k∵函数y=f(x)=x2在x0∆∴k∵k1－k2故选：A．【点拨】平均变化率ΔyΔx【典题2】已知函数f(x)是可导函数，且f'(a)=1，则limx→af(2x-a)-f(2a-x)x-a等于【解析】∵f'(a)=1，∴lim(x设x2∴⟹⟹⟹故答案为：3．【点拨】导数有不同表示形式f'a=limΔx→0【典题3】求limx→0【解析】设fx=sinx，由求导公式可知limx→0=limx→0sinx-sin0x-0=lim=f'0=1【点拨】①用大学知识点洛必达法则可算出limx→0②本题的实质：函数gx=sinxx在x=0处没意义，那当x⟶0时，g巩固练习1(★)函数f(x)=x,g(x)=x2,h(x)=x3则下面结论正确的是()A．m1=m2=m3 B．m【答案】A【解析】m1=f(1)-f(0)1-0=f(1)－f(0)=1m2=f(1)-f(0)1-0=f(1)－f(0)=12－0=1，m3=f(1)-f(0)1-0=f(1)－故m1=m2=m3，故选：A．2(★)某物体做自由落体运动的位移st=12g则9.8m/s是该物体()A．从0s到1s这段时间的平均速度 B．从1s到(1+∆t)sC．在t=1s这一时刻的瞬时速度 D．在t=∆ts【答案】C【解析】根据题意，lim∆t→0s(1+∆t)-s(1)∆t=9.8m/s，则有s′(1)=9.8即物体在t=1s这一时刻的瞬时速度为9.8m/s，故选：C．3(★★)设函数f(x)可导，f'1=3，则lim∆x→0f(1+∆x)-f(1)【答案】1【解析】根据题意，lim∆x→04(★★)已知f'(x)是f(x)的导函数，且f'(1)=3，则lim∆x→0f(1)-f(1+2∆x)∆x=【答案】-6【解析】∵f'(1)=3，∴lim∆x→0f(1)-f(1+2∆x)5(★★★)求limx→0ex【答案】1【解析】令fxlimx→0ex【题型二】导数的运算【典题1】设函数fx的导函数是f'x，若fx=【解析】∵f(x)=f'(π∴f'(x)=－f'(π2∴f∴f'(π∴f'(x)=－cosx，【典题2】求下列函数的导数：(1)y=(2x2+3)(3x－(3)y=－2sinx【解析】(1)方法一∵y=(2x∴y'=4x(3x－方法二∵y=∴(2)∵y=2xtanx=2∙xsinxcosx,(y∴y(3)∵y=－2sinx2∴y'=(sinx)'=cosx．(4)方法一由复合函数求导，可得y'方法二y=si∴y【点拨】求导先要明确函数的结构，是函数“加减形式”、“乘除形式”还是“复合函数形式”,再选择简单形式求导.【典题3】已知函数fx=x+12+sinxxf(－2020)+f'(2019)－【解析】方法一∵f设g(x)=2x+sinxx2+1∴f∵f∴f∴f(2020)+f(－方法二∵f设g(x)=2x+sinxx2+1∴f∵g(x)是奇函数，∴g'(x)是偶函数，∴f∴f∴f(2020)+f(－【点拨】①函数奇偶性的判断：奇+奇=奇，偶+偶=偶，奇×奇=偶，奇×偶=奇，偶×偶=偶；了解这些能更快判断复杂函数的奇偶性；②奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数.【典题4】设fx=xx-1x-2x-3【解析】方法一∵f∴∴f方法二f∴fx∴∴f'0【典题5】写出gx与f(x)的一种1若f'x+2x-3>0，则g'x>(3)若f'x+fx>0，则5若f'x∙lnx+1x∙fx(7)若f'x-fx【解析】(1)gx=fx+x2(2)gx=xf(x)(3)g(4)gx=x2f(x)2-5题，对应f(6)gx=fxx6,7题对应f【点拨】这是导数运算法则的逆运用，也是后面的一种构造函数的技巧，注意函数的结构灵活运用导数运算公式.巩固练习1(★)若函数f(x)满足f(x)=13x3-f'(1)⋅x2-x【答案】0【解析】求函数f(x)=13x3－f′(1)•x2－x的导数，得，f′(x)=x2－2f′(1)x－把x=1代入，得，f′(1)=1－2f′(1)－1，∴f′(1)=0.2(★)已知函数f(θ)=sinθ2+cosθ，则f'(0)=【答案】13【解析】函数f(θ)=sinθ则f′(θ)=所以f′(0)=1+23(★)已知函数f(x)=ln(x+1+x2)，则f'(3)=【答案】10【解析】令x+1+x则yx'=y=1x+1+x2∴f'(3)=14(★★)已知函数fx=ex-cosx，设f0【答案】1【解析】∵f(x)＝ex﹣cosx，∴f0(x)＝f′(x)＝ex+sinx，f1(x)＝f0′(x)＝ex+cosx，f2(x)＝f1′(x)＝ex﹣sinx，f3(x)＝f2′(x)＝ex﹣cosx，f4(x)＝f3′(x)＝ex+sinx，f5(x)＝f4′(x)＝ex﹣sinx，则函数f′k(x)是周期为4的周期函数，则f2014(x)＝f2(x)＝f1′(x)＝ex﹣sinx，则f2014(0)＝e0﹣sin0＝1，5(★★)求下列函数的导数：(1)f(x)=(3x2+1)(2【答案】(1)(2)(3)【解析】(1)f'(x)=6x(2－(2)f'(x)=2xln(2x)+x(3)∵f(x)=3ln(2x－1)，∴f'(x)=6(★★★)求limx→12xlnx1-【答案】-1【解析】令fx=2xlnx所以limx→17(★★★)记函数f(x)的导数为f(1)(x)，f(1)(x)的导数为f(2)(x)，…，f(n-1)(x)的导数为f(n)(x)，若f