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文档简介
导数的概念及其运算1平均变化率若某个问题中的函数关系用f(x)表示,问题中的变化率用式子Δy则式子ΔyΔx称为函数f(x)从x0Eg函数f(x)=x2在区间[-1,2]上的平均变化率为Δ2导数概念函数f(x)在x=x0lim则称它为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f'(f'(3导函数若当x变化时,f'(x)是x的函数,则称它为f(x)的导函数(简称导数),记作f'(x)或yf4导数的计算基本初等函数的导数公式5导数运算法则(1)fx拓展:fx记忆:函数的和差的导数等于函数导数的和差;(2)fx特别:C∙fx'=C∙f记忆:两函数积的导数等于“前导后不导+后导前不导”;(3)fx记忆:两函数商的导数等于“分母平分,分子导分母不导-分母导分子不导”.6复合函数的导数对于两个函数y=f(u)和u=g(x),若通过变量u,y可以表示成x的函数,则称这个函数为函数y=f(u)和u=f(x)的复合函数,记作y=f(g(x)).复合函数y=f(g(x))的导数与函数y=f(u),u=f(x)的导数间的关系是yEg若fx=ln(x则f'【题型一】导数概念的理解【典题1】函数y=x2在区间[x0,x0+∆x]上的平均变化率为k1,在[xA.k1>k2B.k1<k2【解析】∵函数y=f(x)=x2在x0∆∴k∵函数y=f(x)=x2在x0∆∴k∵k1-k2故选:A.【点拨】平均变化率ΔyΔx【典题2】已知函数f(x)是可导函数,且f'(a)=1,则limx→af(2x-a)-f(2a-x)x-a等于【解析】∵f'(a)=1,∴lim(x设x2∴⟹⟹⟹故答案为:3.【点拨】导数有不同表示形式f'a=limΔx→0【典题3】求limx→0【解析】设fx=sinx,由求导公式可知limx→0=limx→0sinx-sin0x-0=lim=f'0=1【点拨】①用大学知识点洛必达法则可算出limx→0②本题的实质:函数gx=sinxx在x=0处没意义,那当x⟶0时,g巩固练习1(★)函数f(x)=x,g(x)=x2,h(x)=x3则下面结论正确的是()A.m1=m2=m3 B.m【答案】A【解析】m1=f(1)-f(0)1-0=f(1)-f(0)=1m2=f(1)-f(0)1-0=f(1)-f(0)=12-0=1,m3=f(1)-f(0)1-0=f(1)-故m1=m2=m3,故选:A.2(★)某物体做自由落体运动的位移st=12g则9.8m/s是该物体()A.从0s到1s这段时间的平均速度 B.从1s到(1+∆t)sC.在t=1s这一时刻的瞬时速度 D.在t=∆ts【答案】C【解析】根据题意,lim∆t→0s(1+∆t)-s(1)∆t=9.8m/s,则有s′(1)=9.8即物体在t=1s这一时刻的瞬时速度为9.8m/s,故选:C.3(★★)设函数f(x)可导,f'1=3,则lim∆x→0f(1+∆x)-f(1)【答案】1【解析】根据题意,lim∆x→04(★★)已知f'(x)是f(x)的导函数,且f'(1)=3,则lim∆x→0f(1)-f(1+2∆x)∆x=【答案】-6【解析】∵f'(1)=3,∴lim∆x→0f(1)-f(1+2∆x)5(★★★)求limx→0ex【答案】1【解析】令fxlimx→0ex【题型二】导数的运算【典题1】设函数fx的导函数是f'x,若fx=【解析】∵f(x)=f'(π∴f'(x)=-f'(π2∴f∴f'(π∴f'(x)=-cosx,【典题2】求下列函数的导数:(1)y=(2x2+3)(3x-(3)y=-2sinx【解析】(1)方法一∵y=(2x∴y'=4x(3x-方法二∵y=∴(2)∵y=2xtanx=2∙xsinxcosx,(y∴y(3)∵y=-2sinx2∴y'=(sinx)'=cosx.(4)方法一由复合函数求导,可得y'方法二y=si∴y【点拨】求导先要明确函数的结构,是函数“加减形式”、“乘除形式”还是“复合函数形式”,再选择简单形式求导.【典题3】已知函数fx=x+12+sinxxf(-2020)+f'(2019)-【解析】方法一∵f设g(x)=2x+sinxx2+1∴f∵f∴f∴f(2020)+f(-方法二∵f设g(x)=2x+sinxx2+1∴f∵g(x)是奇函数,∴g'(x)是偶函数,∴f∴f∴f(2020)+f(-【点拨】①函数奇偶性的判断:奇+奇=奇,偶+偶=偶,奇×奇=偶,奇×偶=奇,偶×偶=偶;了解这些能更快判断复杂函数的奇偶性;②奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数.【典题4】设fx=xx-1x-2x-3【解析】方法一∵f∴∴f方法二f∴fx∴∴f'0【典题5】写出gx与f(x)的一种1若f'x+2x-3>0,则g'x>(3)若f'x+fx>0,则5若f'x∙lnx+1x∙fx(7)若f'x-fx【解析】(1)gx=fx+x2(2)gx=xf(x)(3)g(4)gx=x2f(x)2-5题,对应f(6)gx=fxx6,7题对应f【点拨】这是导数运算法则的逆运用,也是后面的一种构造函数的技巧,注意函数的结构灵活运用导数运算公式.巩固练习1(★)若函数f(x)满足f(x)=13x3-f'(1)⋅x2-x【答案】0【解析】求函数f(x)=13x3-f′(1)•x2-x的导数,得,f′(x)=x2-2f′(1)x-把x=1代入,得,f′(1)=1-2f′(1)-1,∴f′(1)=0.2(★)已知函数f(θ)=sinθ2+cosθ,则f'(0)=【答案】13【解析】函数f(θ)=sinθ则f′(θ)=所以f′(0)=1+23(★)已知函数f(x)=ln(x+1+x2),则f'(3)=【答案】10【解析】令x+1+x则yx'=y=1x+1+x2∴f'(3)=14(★★)已知函数fx=ex-cosx,设f0【答案】1【解析】∵f(x)=ex﹣cosx,∴f0(x)=f′(x)=ex+sinx,f1(x)=f0′(x)=ex+cosx,f2(x)=f1′(x)=ex﹣sinx,f3(x)=f2′(x)=ex﹣cosx,f4(x)=f3′(x)=ex+sinx,f5(x)=f4′(x)=ex﹣sinx,则函数f′k(x)是周期为4的周期函数,则f2014(x)=f2(x)=f1′(x)=ex﹣sinx,则f2014(0)=e0﹣sin0=1,5(★★)求下列函数的导数:(1)f(x)=(3x2+1)(2【答案】(1)(2)(3)【解析】(1)f'(x)=6x(2-(2)f'(x)=2xln(2x)+x(3)∵f(x)=3ln(2x-1),∴f'(x)=6(★★★)求limx→12xlnx1-【答案】-1【解析】令fx=2xlnx所以limx→17(★★★)记函数f(x)的导数为f(1)(x),f(1)(x)的导数为f(2)(x),…,f(n-1)(x)的导数为f(n)(x),若f
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