第3章-线性系统的时域分析

1第3章线性系统的时域分析本章主要研究时域法——通过拉氏反变换求出系统输出量的表达式，提供线性控制系统时间响应的全部信息——动态性能和稳态性能。是一种直接且比较准确的分析方法。控制系统分析和设计建立系统数学模型——首要工作系统性能分析时域法根轨迹法频域（率）法……23.1典型试验信号与系统性能指标

3.1.1典型试验信号目的：为了在控制系统的分析和设计中有一个对不同系统的性能进行比较和评价的基准，必须规定一些典型的试验信号作为系统的输入。典型试验信号

应能反映系统的实际工作情况（包括可能遇到的恶劣工作条件）；应具有简单数学模型并易于通过实验获得；应具备控制系统实际输入信号的时变性、随机性，或者经过混叠至少能够合成任意输入信号。31．阶跃信号阶跃输入信号表示参考输入量的一个瞬间突变过程，即瞬时跃变，它的数学表达方式为：0trA常用的典型试验信号有以下5种。式中A为一常量。若A=1则称为单位阶跃输入信号，表示为1(t)，其拉氏变换为1/s。2．斜坡信号4

斜坡输入信号表示由零值开始随时间作线性增加的信号，它的数学表达方式为：3．等加速度信号——等加速度信号是一种抛物线函数,它的数学表达方式为：0tr式中为一常量，又名等速度输入信号。若，则称为单位斜坡信号，其拉氏变换为5（3-3）

为常量。这种信号的特点是函数值随时间以等加速度增加。称为单位等加速度信号，其拉氏变换为4．脉冲信号——脉冲信号是一种持续时间极短而幅值极大的信号，它的数学表达方式为：（3-4）脉冲宽度，面积为1。

6及若，则有：则称为单位理想脉冲信号，也称函数，其拉氏变换为1。说明：脉冲信号（函数）刻划了持续时间无限短而幅值无限大的冲激特性。显然实际工程中是无法获得的。在工程实践中，当远小于被控对象的时间常数时，常近似地当作函数来处理。5．正弦信号7正弦信号是一种常见的信号，它的数学表达方式为：

为振幅，为角频率。正弦信号主要用于求取系统的频率特性，据此进行频域分析，本章不涉及。说明：根据实际需要选择输入信号。如果系统的输入信号是一个突变的量，则应取阶跃信号为宜；如果系统的输入信号是随时间线性增加的函数，则应选取斜坡信号；8

如果系统的输入信号是一个瞬时冲击的函数，则显然应选取脉冲信号最为合适。暂态响应；自由分量稳态响应；强迫分量3.1.2时域响应的构成控制系统的时间响应（3-8）说明：1)如果线性控制系统稳定，则2)稳态响应是指稳定系统在输入作用下，经过较长一段时间（暂态过程结束后）的输出信号的变化规律。93）暂态响应的幅值、振荡剧烈程度和持续时间直接影响系统稳定质量，所以都是系统分析和设计中要考虑的问题。3.1.3系统性能指标

控制系统除满足稳态性能要求外，还必须具有良好的动态特性，通常采用单位阶跃函数作为测试试验信号对系统动态性能进行分析和定标。

应当指出，稳态响应是指变化规律固定的响应，如按时间的正弦函数或斜坡函数变化。

如果输出的稳态响应与输入的稳态分量不完全一致，则称该系统是静态有差的。10稳态误差2%或5%动态响应-------稳态响应---延迟时间：y(td)=y(ts)×50%上升时间:y(tr)=y(ts)×[(10%～90%(第一次)]峰值时间（最大）超调量——反映系统响应振荡的剧烈程度调节时间ts、tr、tp反映动态响应的快速性稳定系统时域波形响应11

T为时间常数。这种系统实际上是一个非周期性的惯性环节。

以上指标中，超调量和调节时间反映了相对稳定性和快速性，是系统动态性能的最重要的指标；而上升时间和延迟时间也从不同侧面反映了系统响应起始阶段的快速性。3.2一阶系统的时域分析用一阶微分方程描述的控制系统称为一阶系统其框图和闭环传递函数为：

12（3-13）对上式取拉氏反变换，得：（3-14）

比较式（3-13）与（3-14），可知输入信号的极点形成系统响应的稳态分量，传递函数的极点产生系统响应的暂（瞬）态分量。这一结论同样适用于高阶线性定常系统。3.2.1一阶系统的单位阶跃响应单位阶跃输入信号的拉氏变换为，则13

由于输出y(∞)=1，因而t→∞,ess=0，无差跟踪阶跃信号。系统的单位阶跃响应为一单调上升的指数曲线。A0.632AA/T

这是一阶系统阶跃响应的一个重要特征量。

t=0时的斜率为T，表明系统输出响应的上升速度为1/T。14A0.632AA/T稳态误差2%或5%按照定义，一阶系统的调节时间ts=（3～4）T。这时是一阶恒值系统。3.2.2一阶系统的单位斜坡响应15拉氏反变换得：

（3-17）输入、输出间的误差为：稳态误差为：

一阶系统有差跟踪斜坡输入信号。稳态时系统输入、输出信号的变化率完全相等，即:

这时是匀速随动系统。16由于系统存在惯性，输出信号滞后于输入信号一个常量T，这就是稳态误差产生的原因。显然，减小时间常数不仅可以加快系统瞬态响应的速度，而且还能减小系统跟踪斜坡输入信号的稳态误差。3.2.3一阶系统的单位加速度响应£-1：

17£-1：

相应的系统输入、输出间的误差为：(3-21)

一阶系统不能跟踪加速度输入信号。

并不说明稳定性。更正教材3.2.4一阶系统的单位脉冲响应18£-1：

T=1时脉冲响应图

脉冲响应纯粹是系统的动态响应过程，反映系统应激和回归的能力，可以验证系统的稳定性。说明与结论动态响应的收敛性和稳定性与输入信号无关，只与闭环传递函数极点有关，稳态误差取决于闭环传递函数极点和输入信号。193.3二阶系统的时域分析用二阶微分方程描述的系统，称为二阶系统。

3.3.1二阶系统的单位阶跃响应为无阻尼自然角频率；为阻尼比或称阻尼系数。

决定了闭环传递函的极点，因而决定了二阶系统的稳定性和动态性能，同时又决定了开环增益，所以也决定了稳态误差。典型开、闭环二阶系统标准形式二阶振荡环节

、20由二阶系统的特征方程式可求得闭环极点。闭环传递函数分母多项式jωσ系统在左半平面有一对共轭复数极点，××ωnβ欠阻尼系统暂态响应为衰减振荡其单位阶跃响应为：21jωσ××ωnβ二阶系统欠阻尼时间响应波形表明，系统稳定、震荡收敛、稳态误差为零。22单位阶跃响应为：系统有两个负实数极点，离平面原点较远的极点对应的暂态分量幅值较小，衰减较快；

jωσ××

单调上升但不会超过稳态值，响应是非振荡的，系统过阻尼。随着阻尼比的增大，其中一个极点越来越靠近原点；而另一个极点将越来越远离平面原点。靠近原点的极点幅值大，衰减慢，起主导作用。实部之比≥5～10233．，临界阻尼系统有重极点单位阶跃响应为：(3-30)单调上升，系统临界阻尼，无超调量，ess=0。jωσ××y(t)t24

系统将不稳定这里仅讨论

的情况25可以看出，阻尼比决定系统响应的模式。

，则T越大，ωn越小，ts越长，所以T可以看成为系统的时间常数。越小，响应振荡越剧烈，反之响应越显呆滞；

临界稳定实际不能保持长久，属于不稳定范畴

263.3.3二阶系统的性能指标计算过阻尼和临界阻尼时系统不会发生振荡，但动态响应时间太长，应该使二阶系统工作于欠阻尼状态。下面针对欠阻尼（）的情况，定量地讨论系统的动态性能指标。1.峰值时间——稳定系统的动态响应第一次出现峰值（即ymax出现）的时间称为峰值时间。将式并令其导数等于0，可得：对求导，270、、……

2.超调量系统最大的峰值出现在处，因而得：283.调节时间上式左端是衰减正弦振荡的，当其包络线衰减到时t=ts有：则：294.上升时间——系统阶跃响应从稳态值的10%第一次达到稳态值的90%所需的时间。上升时间可采用下面的近似公式计算:()（一阶近似）（二阶近似）

精确定义，近似计算，公式难记。

近似定义，精确计算，公式好记。——系统阶跃响应第一次达到稳态值时所需的时间。305.延迟时间——系统阶跃响应达到稳态值的50%所需的时间，可采用下面的近似公式计算：（）（一阶近似）（二阶近似）例3-1单位反馈控制系统的前向通道传递函数已知，，求：312）动态性能指标，（）；1）系统参数，；3）采用速度反馈，使反馈通道传递函数，重复1），2）。解：1）系统闭环传递函数32与典型二阶系统闭环传递函数表达式对照2）动态性能指标返回链接333）采用速度反馈后，系统闭环传递函数为h=0.062534说明与总结最佳二阶系统:

，过（临界）阻尼，S1，2位于负实轴，响应曲线单调收敛，必要时可降为一阶系统处理。性能比较35

，欠阻尼，S1，2位于左半S平面，响应曲线振荡收敛，其中超调量和调节时间是两个主要的动态性能指标。

无阻尼，S1，2

位于虚轴，理论上临界稳定，保持等幅振荡，实际不稳定，很快发散。

响应起始缓慢，但动态过程缩短。3.4高阶系统的时域分析

3.4.1高阶系统的主导极点36££主导极点在响应中的作用可以忽略作用≥复数极点抑制超调37则G2(s)可降阶处理。结论：

极点决定动态响应的分量数，决定稳定性。最靠近虚轴的极点作用最大，称为主导极点，若其余极点与主导极点相比与虚轴的距离在5~10倍以上，可以忽略不计，系统性能由主导极点决定，否则，依据y(t)具体分析。降阶处理后381.附加闭环零点的影响被外加零点抵消后的主导极点分量3.4.1传递函数零点的影响£-1£-1主导极点分量39抵消非主导极点结论附加闭环零点不影响稳定性和动态响应分量数；零点靠近那个极点将削弱该极点在动态响应中的作用；称相邻的一对零极点为偶极子。○402.附加开环零、极点的影响可通过闭环极点移动规律(根轨迹)来分析。3.5线性系统的稳定性分析3.5.1稳定性的基本概念直观地，时间响应收敛的系统是稳定系统，但这不是原则性判据。稳定不稳定41但是同一系统对不同输入的响应，可能收敛，或者不收敛（详见一阶系统分析）。

因此稳定性和输入无关，由系统闭环极点决定。真正的决定因素是系统内部的动态平衡点。稳定不稳定

系统将不稳定这里仅讨论

的情况42相对平衡态定义：系统原处于相对平衡的运动状态，在外扰作用下偏离原平衡态，那么当扰动消失后，如果系统仍能够回到原平衡态，则系统是稳定的。43说明：如果外扰不消失，稳定系统的表现应该是与外扰建立新的平衡态，或者处于失衡态。建立动态平衡的关键是系统的工作点(动态平衡点)不能长期波动(飘移)或着能够回归原位。稳定

动态平衡点是抽象的，无论系统外形如何，总是存在但无形无像，需运动起来才能看到，它是能量的引力中心。稳定的线性系统与非线性系统的根本区别在于，前者工作点在扰动消失后能回归原位；后者误差很大或在新点建立平衡态。44

小临域线性稳定，大范围非线性，新的动态平衡点不确定、不唯一。稳定性与抗干扰措施相辅相成；小邻域动态范围输入信号必须是系统可跟踪的。453.5.3劳斯稳定判据希望能够避免求解特征方程的根，不依靠直接求极点来判断线性定常系统的稳定性。目的：线性定常系统稳定的必要条件为实数或复数特征根。

可以从数学模型中寻找判断稳定性的办法。线性定常系统稳定的充分必要条件：特征方程式的所有根（或闭环极点）均在左半S平面。3.5.2线性定常系统稳定的充分必要条件46是不为零的实数且符号相同，则上式可写为：设系统的特征方程式为：

（系数）的关系符合“韦达定理”。由此可见，如果（根）与则ai

(i=0,1,2‥‥‥n)必须同符号且不等于零，即ai(i=0,1,2‥‥‥n-1)与an同号。47劳斯稳定判据劳斯表（阵列）设控制系统的特征方程式为：

……呈倒三角形，末行一定只有首列一个元素。直到其余的系数均为零为止48劳斯判据内容

首先，控制系统稳定的必要条件是：控制系统特征方程式的所有系数符号相同且不为零（不缺项）。其次，控制系统稳定的充分必要条件是：劳斯表中第一列所有元素符号相同。第一列元素符号改变的次数等于实部为正的特征根的个数（不稳定极点个数）。如果必要条件不满足，则后两条必然不满足49说明：采用劳斯判据判断系统的稳定性时，如果必要条件不满足（即特征方程式系数符号不全相同或缺项），则可确定系统是不稳定的；如果满足必要条件，就需要列出劳斯表，检查表中第一列元素的符号是否相同，并且系统在右半S平面的极点数等于劳斯表中第一列元素符号改变的次数。3.Routh

判据应用举例50系数ai不同号，不稳定；缺项，不稳定。满足必要条件，须列Routh表。首列元素均为正，稳定。可以省略。51符号改变两次，不稳定，有两个右极点满足必要条件，须列Routh表。符号改变两次，不稳定，有两个右极点5220

辅助方程往往是特征方程的一部分因式，其中必定含有一对纯虚根，如本例S=±j4，表明系统临界稳定，实际不稳定。7)确定结构参数范围：已知单位负反馈系统的开环传递函数为，试确定闭环系统稳定的K值范围。解：闭环传递函数为531+G0(s)=s(s+1)(s+5)+K=0，即

s3+6s2+5s+K=0系统稳定的取值范围为3.6线性系统的稳态误差计算测量误差:测量值与真值之间误差(包括系统误差、随机误差、粗大误差等)。控制误差:给定输入(控制)信号与被控(输出)信号之间的误差(包括动态误差、稳态误差)。误差——系统输出与输入之差。返回54稳态误差与输入信号有关，同时与系统的结构、系统中有些元件的非线性特性以及摩擦、数字控制系统中的量化效应有关。稳态误差是衡量控制系统精度的指标

控制系统的输出应尽量准确地跟随参考输入的变化，同时尽量不受扰动的影响。产生稳态误差的原因3.6.1控制误差与稳态误差广义动态控制误差(含稳态误差)55

以上是按输入端定义的误差：系统参考输入与主反馈信号之差，即作用误差或偏差。

按输出端定义的误差：系统期望输出与实际输出之差，即输出误差：稳态误差？见第二章等效变换表真值不可测，无实际意义！56说明：H(s)作为测量系统，不仅传递反馈信号，而且承担量纲转换、功率协调的作用，当H(s)=1时，只是表明输入输出的量纲、功率相同。

是否单位反馈，取决于系统结构图的构成，以后若未加说明，总是采用输入端定义的作用误差，对于直接单位负反馈，两种定义并无区别。3.6.2参考输入作用下的稳态误差与系统类型

系统稳定，稳态误差和输入密切相关，所以，先在单位阶跃输入下进行定量分析，在推广至其它输入。57注意E(s)的位置！误差传递函数与稳态误差系统类型与稳态误差

稳态误差的大小与参考输入信号和开环传递函数有关。设系统的开环传递函数为58K为开环增益；m和n为开环传递函数分子、分母的阶数。为前向通道中积分环节的个数；

稳态误差最终与前向通道中积分环节的个数有关。

将控制系统按的大小分成几种类型：0型系统；Ⅰ型系统；···

Ⅱ型系统，3.6.3稳态误差系数计算1．位置误差系数59令，则不同类型系统的位置误差系数和单位阶跃输入作用下的稳态误差为：

对阶跃输入信号，0型系统有差跟踪，而Ⅰ型以上系统可做到无差跟踪。0型系统Ⅰ型系统Ⅱ型系统1．位置误差系数602．速度误差系数令，则0型系统Ⅰ型系统Ⅱ型系统

对斜坡输入信号，0型系统不能跟踪，Ⅰ型系统可做到有差跟踪，Ⅱ型以上系统则可无差跟踪。3．加速度误差系数Ka61加速度误差系数

对抛物线输入信号，0、Ⅰ型系统不能跟踪，Ⅱ型系统可做到有差跟踪，Ⅲ型以上系统则可无差跟踪。0型系统Ⅰ型系统Ⅱ型系统62

又称为无差度，它反映了系统对参考输入信号的跟踪能力。

减小和消除给定输入信号作用引起的稳态误差的有效方法有：提高系统的开环放大倍数和提高系统的类型数（阶次）