第25节：点、线与圆的位置关系

第25节点、线与圆的位置关系第六章圆目录contents课前预习考点梳理课堂精讲广东中考考点1考点2课前预习目录contents课前预习Listenattentively1.已知⊙O的直径为3cm，点P到圆心O的距离OP=2cm，则点P（）A．在⊙O外B．在⊙O上C．在⊙O内D．不能确定A2．（2016•梧州）已知半径为5的圆，其圆心到直线的距离是3，此时直线和圆的位置关系为（）A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定C课前预习Listenattentively3．（2016•泉州）如图，AB和⊙O相切于点B，∠AOB=60°，则∠A的大小为（）A．15° B．30° C．45° D．60°B4．（2016•包头）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与AB的延长线交于点P，连接AC，若∠A=30°，PC=3，则BP的长为

．课前预习Listenattentively5．（2016•黄石）如图，⊙O的直径为AB，点C在圆周上（异于A，B），AD⊥CD．（1）若BC=3，AB=5，求AC的值；（2）若AC是∠DAB的平分线，求证：直线CD是⊙O的切线．【分析】（1）首先根据直径所对的圆周角为直角得到直角三角形，然后利用勾股定理求得AC的长即可；（2）连接OC，证OC⊥CD即可；利用角平分线的性质和等边对等角，可证得∠OCA=∠CAD，即可得到OC∥AD，由于AD⊥CD，那么OC⊥CD，由此得证．课前预习Listenattentively【解答】（1）解：∵AB是⊙O直径，C在⊙O上，∴∠ACB=90°，又∵BC=3，AB=5，∴由勾股定理得AC=4；（2）证明：∵AC是∠DAB的角平分线，∴∠DAC=∠BAC，又∵AD⊥DC，∴∠ADC=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB，∴∠DCA=∠CBA，又∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵∠OAC+∠OBC=90°，∴∠OCA+∠ACD=∠OCD=90°，∴DC是⊙O的切线．考点梳理目录contents1．点与圆的位置关系有三种：如果圆的半径为r，某一点到圆心的距离为d，那么：（1）点在圆外 （2）点在圆上 （3）点在圆内2．直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有三种：相离、相切和相交，如下表：考点梳理Listenattentively考点梳理Listenattentively3．切线的性质切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.切线的主要性质：(1)切线和圆只有一个公共点；(2)切线和圆心的距离等于圆的半径；(3)切线垂直于经过切点的半径；(4)经过圆心垂直于切线的直线必过切点；(5)经过切点垂直于切线的直线必过圆心.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.圆的切线垂直于这条圆的_______.半径考点梳理Listenattentively4．切线长定理

(1)切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．(2)定理：过圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线_____两条切线的夹角．平分课堂精讲目录contents课堂精讲Listenattentively1．（2016泰安模拟）已知⊙O的半径为10cm，点A是线段OP的中点，且OP=25cm，则点A和⊙O的位置关系是（）A．点A在⊙O内 B．点A在⊙O上 C．点A在⊙O外 D．无法确定【分析】先计算出OP的长，再比较OP与圆的半径的大小，然后根据点与圆的位置关系判断点A和⊙O的位置关系．

【解答】解：∵点A是线段OP的中点，且OP=25cm∴OA=12.5，而⊙O的半径为10cm，∴OA＞圆的半径，∴点A在⊙O外．故选C．C考点1点、直线与圆的位置关系课堂精讲Listenattentively2.（2015•齐齐哈尔）如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是（）A．8≤AB≤10B．8＜AB≤10C．4≤AB≤5D．4＜AB≤5A【分析】此题可以首先计算出当AB与小圆相切的时候的弦长．连接过切点的半径和大圆的一条半径，根据勾股定理和垂径定理，得AB=8．若大圆的弦AB与小圆有公共点，即相切或相交，此时AB≥8；又因为大圆最长的弦是直径10，则8≤AB≤10．课堂精讲Listenattentively【解答】解：当AB与小圆相切，∵大圆半径为5，小圆的半径为3，∴AB=2=8．∵大圆的弦AB与小圆有公共点，即相切或相交，∴8≤AB≤10．故选：A．3.如图，∠ACB=60°，⊙O的圆心O在边BC上，⊙O的半径为3，在圆心O向点C运动的过程中，当CO=

时，⊙O与直线CA相切．分析：过O作OD⊥AC于D，当，⊙O与直线CA相切时，则OD为圆的半径3，进而求出CO的长．课堂精讲Listenattentively【解答】解：过O作OD⊥AC于D，当⊙O与直线CA相切时，则OD为圆的半径3，即OD=3，∵∠ACB=60°，∴sin60°==，∴CO=2，故答案为：2．课堂精讲Listenattentively4.（2016•衢州）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠A=30°，则sin∠E的值为（）A、 B、 C、 D、考点2

切线的性质与判定【分析】首先连接OC，由CE是⊙O切线，可证得OC⊥CE，又由圆周角定理，求得∠BOC的度数，继而求得∠E的度数，然后由特殊角的三角函数值，求得答案．A课堂精讲Listenattentively【解答】解：连接OC，∵CE是⊙O切线，∴OC⊥CE，∵∠A=30°，∴∠BOC=2∠A=60°，∴∠E=90°﹣∠BOC=30°，∴sin∠E=sin30°=．故选A．课堂精讲Listenattentively5．（2016•丹东）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD，交AD的延长线于点E．（1）求证：∠BDC=∠A；（2）若CE=4，DE=2，求AD的长．【分析】（1）连接OD，由CD是⊙O切线，得到∠ODC=90°，根据AB为⊙O的直径，得到∠ADB=90°，等量代换得到∠BDC=∠ADO，根据等腰直角三角形的性质得到∠ADO=∠A，即可得到结论；（2）根据垂直的定义得到∠E=∠ADB=90°，根据平行线的性质得到∠DCE=∠BDC，根据相似三角形的性质得到 ，解方程即可得到结论．课堂精讲Listenattentively

（2）∵CE⊥AE，∴∠E=∠ADB=90°，∴DB∥EC，∴∠DCE=∠BDC，∵∠BDC=∠A，∴∠A=∠DCE，∵∠E=∠E，∴△AEC∽△CED，∴ ，∴EC2=DE•AE，∴16=2（2+AD），∴AD=6．【解答】（1）证明：连接OD，∵CD是⊙O切线，∴∠ODC=90°，即∠ODB+∠BDC=90°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即∠ODB+∠ADO=90°，∴∠BDC=∠ADO，∵OA=OD，∴∠ADO=∠A，∴∠BDC=∠A；课堂精讲Listenattentively6．（2016•南平）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，点C在PB上，OC∥AP，CD⊥AP于D.（1）求证：OC=AD；（2）若∠P=50°，⊙O的半径为4，求四边形AOCD的周长（精确到0.1）【分析】（1）只要证明四边形OADC是矩形即可．（2）在Rt△OBC中，根据sin∠BCO=，求出OC即可解决问题．课堂精讲Listenattentively【解答】（1）证明：∵PA切⊙O于点A，∴OA⊥PA，即∠OAD=90°，∵OC∥AP，∴∠COA=180°﹣∠OAD=180°﹣90°=90°，∵CD∥PA，∴∠CDA=∠OAD=∠COA=90°，∴四边形AOCD是矩形，∴OC=AD．（2）解：∵PB切⊙O于等B，∴∠OBP=90°，∵OC∥AP，∴∠BCO=∠P=50°，在RT△OBC中，sin∠BCO=，OB=4，∴OC=≈5.22，∴矩形OADC的周长为2（OA+OC）=2×（4+5.22）=18.4．课堂精讲Listenattentively7．（2016•南充）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的平分线交BC于点O，OC=1，以点O为圆心OC为半径作半圆．（1）求证：AB为⊙O的切线；（2）如果tan∠CAO=，求cosB的值．【分析】（1）如图作OM⊥AB于M，根据角平分线性质定理，可以证明OM=OC，由此即可证明．（2）设BM=x，OB=y，列方程组即可解决问题．课堂精讲Listenattentively课堂精讲Listenattentively8．（2016•枣庄）如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接PB、AB，∠PBA=∠C．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）连接OP，若OP∥BC，且OP=8，⊙O的半径为2，求BC的长．【分析】（1）连接OB，由圆周角定理得出∠ABC=90°，得出∠C+∠BAC=90°，再由OA=OB，得出∠BAC=∠OBA，证出∠PBA+∠OBA=90°，即可得出结论；（2）证明△ABC∽△PBO，得出对应边成比例，即可求出BC的长．课堂精讲Listenattentively【解答】（1）证明：连接OB，如图：∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC=90°，∴∠C+∠BAC=90°，∵OA=OB，∴∠BAC=∠OBA，∵∠PBA=∠C，∴∠PBA+∠OBA=90°,即PB⊥OB，∴PB是⊙O的切线；（2）解：∵⊙O的半径为2，∴OB=2，AC=4，∵OP∥BC，∴∠C=∠BOP，又∵∠ABC=∠PBO=90°，∴△ABC∽△PBO，∴ ，即 ，∴BC=2．目录contents广东中考广东中考ListenattentivelyA9.（2011梅州）已知OP=5，⊙O的半径为5，则点P在（）A.⊙O上B.⊙O内C.⊙O外D.圆心上【分析】根据点到圆心的距离和半径之间的数量关系，即可判断点和圆的位置关系.点到圆心的距离小于圆的半径，则点在圆内；点到圆心的距离等于圆的半径，则点在圆上；点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外.【解答】解：∵点到圆心的距离d=5=r，

∴该点P在⊙O上.

故选A.广东中考Listenattentively10.(2008湛江)⊙O的半径为4，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.无法确定解析：圆心O到直线l的距离d=3，而⊙O的半径R=4.又因为d＜R，则直线和圆相交.A广东中考Listenattentively11.（2011广东）如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC，若∠A=40°，则∠C=

．解析：如图，连接OB，∵AB与⊙O相切于点B，∴∠OBA=90°，∵∠A=40°，∴∠AOB=50°，∵OB=OC，∴∠C=∠OBC，∵∠AOB=∠C+∠OBC=2∠C，∴∠C=25°．25°广东中考Listenattentively12.（2010广东）如图，PA与⊙O相切于A点，弦AB⊥OP，垂足为C，OP与⊙O相交于D点，已知OA=2，OP=4．（1）求∠POA的度数；（2）计算弦AB的长．广东中考Listenattentively解析：解：（1）∵PA与⊙O相切于A点，∴△OAP是直角三角形，∵OA=2，OP=4，∴cos∠POA==，∴∠POA=60°．（2）∵直角三角形OCA中∠AOC=60°，OA=2∴AC=OA•sin60°=2×=．∵AB⊥OP，∴AB=2AC=2．广东中考Listenattentively13.（2013广东）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC交DC的延长线于点E．（1）求证：∠BCA=∠BAD；（2）求DE的长；（3）求证：BE是⊙O的切线．广东中考Listenattentively解析：（1）证明：∵BD=BA，∴∠BDA=∠BAD∵∠BCA=∠BDA（圆周角定理），∴∠BCA=∠BAD．（2）解：∵∠BDE=∠CAB（圆周角定理）且∠BED=∠CBA=90°，∴△BED∽△CBA，∴=，即=，解得：DE=．广东中考Listenattentively（3）证明：连结OB，OD，在△ABO和△DBO中，∵∴△ABO≌△DBO，∴∠DBO=∠ABO，∵∠ABO=∠OAB=∠BDC，∴∠DBO=∠BDC，∴OB∥ED，∵BE⊥ED，∴EB⊥BO，∵OB是⊙O的半径，，∴BE是⊙O的切线．广东中考Listenattentively14.（2014广东）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，过点O作OD⊥AB于点D，延长DO交⊙O于点P，过点P作PE⊥AC于点E，作射线DE交BC的延长线于F点，连接PF．（1）求证：OD=OE；（2）求证：PF是⊙O的切线．广东中考Listenattentively解析：（1）证明：∵PE⊥AC，OD⊥AB，∠PEA=90°，∠ADO=90°在△ADO和△PEO中，∴△POE≌△AOD（AAS），∴OD=EO；（2）连接PC，由AC是直径知BC⊥AB，又OD⊥AB，∴PD∥BF，∴∠OPC=∠PCF，∠ODE=∠CFE广东中考Listenattentively由（1）知OD=OE，则∠ODE=∠OED，又∠OED=∠FEC，∴∠FEC=∠CFE，∴EC=FC，由OP=OC知∠OPC=∠OCP，∴∠PCE=∠PCF，在△PCE和△PFC中，

∴△PCE≌△PFC，∴∠PFC=∠PEC=90°，由∠PDB=∠B=90°可知∠OPF=90°即OP⊥PF，∴PF是⊙O的切线.广东中考Listenattentively15.（2016广东）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，∠ABC=30°，过点B作⊙O的切线BD，与CA的延长线交于点D，与半径AO的延长线交于点E，过点A作⊙O的切线AF，与直径BC的延长线交于点F．（1）求证：△ACF∽△DAE；（2）若S△AOC=，求DE的长；（3）连接EF，求证：EF是⊙O的切