理论力学第十章动量定理

用质点运动微分方程解决质点系动力学问题在数学上会遇到很大困难。在许多工程问题中并不需要求出每个质点的运动规律，而是只需知道质点系整体的特征就够了。

质点系：由几个或无限个相互有联系的质点所组成的系统。

在应用普遍定理解决实际问题时，不仅运算简单，而且各个量都具有明确的物理意义，便于更深入地研究机械运动的规律。

动力学普遍定理包括动量定理、动量矩定理、动能定理。这些定理建立了表现运动特征的量（动量、动量矩、动能）和表现力作用效果的量（冲量、力矩、功）之间的关系。第十章

动量定理为什么射击时有后坐力？几个有意义的实际问题几个有意义的实际问题

台式风扇放置在光滑的台面上的台式风扇工作时，会发生什么现象几个有意义的实际问题水水池隔板光滑台面抽去隔板后将会发生什么现象§10－1动量与冲量1）质点的动量

质点的质量与速度的乘积称为质点的动量，记为

。1动量动量是矢量，方向与速度方向相同。动量的单位为kg•m/s。2）质点系的动量

质点系中各质点动量的矢量和称为质点系的动量。

质点系质量中心(质心)C的矢径质点系的动量等于质点系的质量与质心速度的乘积。m2冲量作用力与作用时间的乘积称为常力的冲量。冲量是矢量，方向与力的方向一致。冲量的单位为N•s常力的冲量变力的冲量－元冲量

而力在作用时间内的冲量是矢量积分C已知:圆盘质量为m,半径为r,图示瞬时三种情况下圆盘的，求各自的动量。CCvC例、两均质杆OA和AB质量为m，长为l，铰接于A。图示位置时，OA杆的角速度为w，AB杆的角速度为2w。求此瞬时系统的动量。OABw2w解：系统的动量其中：方向水平向右。vC1vC2OABC1C2w2wAB作平面运动vAvC2A例

OA杆绕O轴逆时针转动，均质圆盘沿OA杆纯滚动。已知圆盘的质量m＝20kg，半径R＝100mm。在图示位置时，OA杆的倾角为30o，其角速度w1＝1rad/s，圆盘相对OA杆转动的角速度w2＝4rad/s，

,求圆盘的动量。方向水平向右。解:取C为动点，动系与OA固连1质点的动量定理质点动量的增量等于作用于质点上的力的元冲量。微分形式§10-2动量定理在某一时间间隔内，质点动量的变化等于作用于质点的力在此段时间内的冲量。积分形式2质点系的动量定理

设由n个质点组成的质点系。其中第i个质点的动量为mivi，作用在该质点上的外力内力为，由质点的动量定理有将n个方程相加，即得改变求和与求导次序，则得由于内力成对出现，故所有内力的矢量和恒等于零质点系动量的增量等于作用于质点系的外力元冲量的矢量和。微分形式质点系动量定理的微分投影形式质点系的动量对于时间的导数等于作用于质点系的外力的矢量和（或外力的主矢）。质点系动量定理的积分形式在某一时间间隔内，质点系动量的改变量等于在这段时间内作用于质点系外力冲量的矢量和。质点系动量定理的积分投影形式p＝p0＝恒矢量若

如果作用于质点系的外力的主矢恒等于零，如果作用于质点系的外力主矢在某一坐标轴上的投影恒等于零，px＝p0x

＝恒量3质点系动量守恒定律质点系的动量在该坐标轴上的投影保持不变。质点系的动量保持不变。小兔子向前走时，船会怎么样？动量守恒定律为什么射击时有后坐力？几个有意义的实际问题几个有意义的实际问题

台式风扇放置在光滑的台面上的台式风扇工作时，会发生什么现象若

px＝p0x

＝恒量几个有意义的实际问题水水池隔板光滑台面抽去隔板后将会发生什么现象若

px＝p0x

＝恒量

例

图示系统，重物A和B的质量分别为m1、m2。若A下降的加速度为a，滑轮质量不计。求支座O的约束力。

解：以整个系统为研究对象,受力如图系统的动量在坐标轴上的投影为由质点系的动量定理得:设A下降的速度为vA，B上升的速度为vB则由运动学关系得

质点系动量定理的微分投影形式质点系的动量对于时间的导数等于作用于质点系的外力的矢量和（或外力的主矢）。质点系动量的增量等于作用于质点系的外力元冲量的矢量和。

质点系动量定理微分形式质点系动量定理的积分形式在某一时间间隔内，质点系动量的改变量等于在这段时间内作用于质点系外力冲量的矢量和。质点系动量定理的积分投影形式p＝p0＝恒矢量若

如果作用于质点系的外力的主矢恒等于零，如果作用于质点系的外力主矢在某一坐标轴上的投影恒等于零，px＝p0x

＝恒量

质点系动量守恒定律质点系的动量在该坐标轴上的投影保持不变。质点系的动量保持不变。例

如图所示，质量为mA的均质三棱柱A在重力作用下沿着质量为mB的大均质三棱柱B的斜面下滑，大三棱柱倾角为q。设各处摩擦不计，初始时系统静止。求：(1)B的加速度；(2)地面的支反力。解：对系统进行运动分析，受力如图于是系统因SFx(e)＝0，且初始系统静止，水平方向动量守恒设B的速度为vB，A相对B的速度为vr两边对t求导再以A为研究对象，受力如图联立求解(1)、(2)、(3)式得以整体为研究对象，由动量定理得质点系动量定理的微分投影形式质点系的动量对于时间的导数等于作用于质点系的外力的矢量和（或外力的主矢）。质点系动量的增量等于作用于质点系的外力元冲量的矢量和。

质点系动量定理微分形式质点系动量定理的积分形式在某一时间间隔内，质点系动量的改变量等于在这段时间内作用于质点系外力冲量的矢量和。质点系动量定理的积分投影形式p＝p0＝恒矢量若

如果作用于质点系的外力的主矢恒等于零，如果作用于质点系的外力主矢在某一坐标轴上的投影恒等于零，px＝p0x

＝恒量

质点系动量守恒定律质点系的动量在该坐标轴上的投影保持不变。质点系的动量保持不变。§10-3质心运动定理1质量中心2.质心运动定理对于质量不变的质点系，上式可改写为质点系的质量与质心加速度的乘积等于作用于质点系外力的矢量和(外力的主矢)。

形式上，质心运动定理与质点动力学基本方程完全相似，因此质心运动定理也可叙述如下：质点系质心的运动，可以看成一个质点的运动，设想此质点集中了整个质点系的质量及其所受的外力。由质心运动定理可知，质点系的内力不影响质心的运动，只有外力才能改变质心的运动。

质心运动定理直角坐标投影式自然轴上的投影式

如果作用于质点系的外力主矢恒等于零，则质心作匀速直线运动；若系统开始静止，则质心位置始终保持不变。以上结论，称为质心运动守恒定理。3.质心运动守恒定律如果作用于质点系的所有外力在某轴上的投影的代数和恒等于零，则质心速度在该轴上的投影保持不变；若开始时速度投影等于零，则质心沿该轴的坐标保持不变。

例

如图所示，电动机外壳固定在水平基础上，定子、转子的质量分别为m1、m2。设定子质心位于转轴中心O1，由于制造误差，转子质心O2到O1的距离为e，已知转子以匀角速度w转动。求：(1)质心运动方程；(2)基础对电机总的水平和铅垂约束反力；(3)若电机没有螺栓固定，各处摩擦不计，初始时电机静止，求转子以匀角速度w转动时电动机外壳的运动。

解：(1)建立如图坐标，任一瞬时，q＝wt，即有故质心坐标为

(2)以系统为研究对象,受力如图由质心运动定理故得（3）以系统为研究对象，受力如图。在图示坐标下，初始时xC1＝0，当转子转过q，定子向右移动距离s，则解得由此可见，电动机在水平面上作往复运动。由于SFx(e)＝0，水平方向质心运动