理论力学-碰撞理论

西北工业大学支希哲朱西平侯美丽动力学碰撞

§8–5碰撞对平面运动刚体的作用

§8–4碰撞对定轴转动刚体轴承的作用

·碰撞中心

§8–3恢复系数

§8–2碰撞时的动力学定理

§8–1碰撞现象及其基本特征第八章碰撞理论力学目录§8-1碰撞现象及其基本特征碰撞现象碰撞问题基本特征几个基本假设一、碰撞现象塑料碰撞是一种常见的力学现象。当物体在极短的时间间隔内速度发生急剧的改变时就发生碰撞。榔头重一点好还是轻一点好？榔头把长一点好还是短一点好？§8-1碰撞现象及其基本特征击球手的手握在哪里所受的撞击力最小？这与碰撞有关系吗？§8-1碰撞现象及其基本特征工程中碰撞实例碰撞是一种常见的力学现象。当物体在极短的时间间隔内速度发生急剧的改变时就发生碰撞。§8-1碰撞现象及其基本特征工程中碰撞实例§8-1碰撞现象及其基本特征不成功的降落§8-1碰撞现象及其基本特征阻拦装置飞机起落架有类似装置。§8-1碰撞现象及其基本特征碰撞是一种常见的力学现象。当物体在极短的时间间隔内速度发生急剧的改变时就发生碰撞。工程中碰撞实例§8-1碰撞现象及其基本特征工程中碰撞实例飞行员座椅弹射装置§8-1碰撞现象及其基本特征工程中碰撞实例汽车碰撞实物试验§8-1碰撞现象及其基本特征汽车碰撞虚拟试验研究的问题：车体间的碰撞、人体与车体的碰撞、人体内脏的碰撞§8-1碰撞现象及其基本特征工程中碰撞实例§8-1碰撞现象及其基本特征工程中碰撞实例：§8-1碰撞现象及其基本特征这些都是碰撞现象吗？§8-1碰撞现象及其基本特征例如，两直径25mm的黄铜球，以72mm/s的相对法向速度碰撞，

碰撞过程的持续时间极短，通常用千分子一秒或万分之一秒来度量。

碰撞的物体间产生巨大的碰撞力。二、碰撞问题基本特征§8-1碰撞现象及其基本特征例如，用铁锤打击钢板表面。塑料力传感器接示波器碰撞时间只有0.0002秒。§8-1碰撞现象及其基本特征锤重4.45N;碰撞前锤的速度457.2mm/s;碰撞的时间间隔0.00044s;撞击力峰值1491N，

碰撞的物体间产生巨大的碰撞力。例如，用铁锤打击钢板表面。塑料力传感器接示波器若不小心砸到手上!碰撞的时间间隔0.01s;撞击力峰值244.8N，静载作用的335倍。静载作用的55倍。§8-1碰撞现象及其基本特征由于碰撞过程是一个十分复杂的物理过程，要研究碰撞过程的动力学问题，必须进行适当的简化，略去次要因素，突出事物的本质，以获得较简单的力学模型。

1.由于碰撞力很大，是一般平常力（如重力、弹性力等）的几百倍甚至几千倍，故平常力在碰撞过程中可以忽略不计。ω0CyvCIFINxAuCαβ注意：摩擦力是碰撞力时,不能忽略。三、几个基本假设FmaxtFOt1t2

2.由于碰撞力随时间而变化，瞬时值很难测定。§8-1碰撞现象及其基本特征不考虑碰撞力在极小碰撞时间间隔Δt内的急剧变化，平均碰撞力的近似估计值可表示为因此，通常是用碰撞力在碰撞时间内的冲量来表示碰撞的强弱。这个冲量称为碰撞冲量。

3.碰撞时间非常短促，而速度是有限量，两者的乘积非常小，因此在碰撞过程中，碰撞物体的位移可以忽略不计。§8-1碰撞现象及其基本特征

4.

采用准刚体模型（局部变形的刚体）。物体的整个碰撞过程分为两个阶段。即可以认为碰撞前后物体的位置不变。参与碰撞的物体仍考虑为刚体，但在碰撞点的局部范围内可以允许变形，这样就忽略了弹性波在物体内部的传播。§8-1碰撞现象及其基本特征变形阶段

由两物体开始接触到两者沿接触面公法线方向相对凑近的速度降到零为为止。恢复阶段

物体由于弹性而部分或完全恢复原来的形状，两物体重新在公法线方向获得分离速度，直到脱离接触为止。碰撞过程的两个阶段变形阶段恢复阶段nn§8-2碰撞时的动力学定理用于碰撞过程的动量定理--冲量定理用于碰撞过程的动量定理矩--冲量矩定理一、用于碰撞过程的动量定理--冲量定理上式表示了碰撞时质点系的冲量定理。即质点系在碰撞过程中的动量变化，等于该质点系所受的外碰撞冲量的矢量和。质点系的动量可以用质点系的总质量M与质心速度的乘积来计算，所以可以改写为其中vC

和v'C分别是碰撞开始和结束时质心C的速度。上式称为碰撞时的质心运动定理。

对于质点系有§8-2碰撞时的动力学定理xzyriMiO根据研究碰撞问题的基本假设，在碰撞过程中，质点系内各质点的位移均可忽略，因此，可用同一矢ri

表示质点Mi在碰撞开始和结束时的位置。或者写成全部内碰撞冲量之矩的总和恒等于零，所以只剩下外碰撞冲量的矩。Iimivimiv'i二、用于碰撞过程的动量定理矩--冲量矩定理§8-2碰撞时的动力学定理质点对固定点的动量矩为碰前：碰后：所以对于整个质点系有上面两式分别表示了碰撞时质点系对点（或对轴）的冲量矩定理，即在碰撞过程中，质点系对任一点（或任一轴）的动量矩的变化，等于该质点系所受到外碰撞冲量时对同一点（或同一轴）之矩的矢量和（或代数和）。由于碰撞过程中伴随有机械能损失，因此研究碰撞问题一般不用动能定理。冲量矩定理§8-2碰撞时的动力学定理把上式投影到任一轴上，例如Ox上，则得xzyriMiOIimivimiv'i§8-3恢复系数碰撞的分类恢复系数若碰撞开始时，两物体的质心均在接触点的公法线上，这种碰撞称为对心碰撞，如图a。两物体的质心不在接触点的公法线上的碰撞，如图b。一、碰撞的分类§8-3恢复系数

对心碰撞

偏心碰撞C1C2nn(a)C1C2nn(b)在对心碰撞的情形下，若两物体质心的速度恰在公法线上的碰撞，如图c。在对心碰撞的情形下，质心速度不在此公法线上的碰撞，如图d。碰撞的分类

对心正碰撞

对心斜碰撞C1C2nnv2v1(c)C1C2nnv2v1(d)§8-3恢复系数设质量分别为m1和m2的两个光滑球作平动，两球质心的速度分别为v1和v2，且v1＞v2，在某瞬时发生正碰撞。

先以两球为研究对象。考察整个碰撞过程，因外碰撞冲量等于零，故由冲量定理，有沿水平方向投影，得碰撞结束时，两球仍作平动，其速度分别为v'1和v'2。C1C2nv1v2碰撞前C1C2nv'1v'2碰撞后§8-3恢复系数二、恢复系数沿水平方向投影，得从而求出

考察碰撞的第一阶段——变形阶段。用u表示变形结束时两球的公共速度。以两球为研究对象C1C2nv1v2碰撞前C1C2nu碰撞变形阶段结束时§8-3恢复系数因外碰撞冲量等于零，故由冲量定理，有沿水平方向投影，得分别取两球为研究对象

考察碰撞的第一阶段——变形阶段。C1v1uI'1C2I1v2u§8-3恢复系数由冲量定理，有x沿水平方向投影，得

恢复阶段与变形阶段碰撞冲量I2和I1的大小的比值，可以用来度量碰撞后变形恢复的程度，称为恢复系数，用e表示。

现在考虑碰撞的第二阶段——恢复阶段。C2C1I'2I2v'1v'2uu§8-3恢复系数利用冲量定理，有x消去u，得利用式

恢复阶段与变形阶段碰撞冲量I2和I1的大小的比值，可以用来度量碰撞后变形恢复的程度，称为恢复系数，用e表示。即§8-3恢复系数可以证明，对于一般碰撞，恢复系数两球正碰撞时的恢复系数为§8-3恢复系数大量的实验表明，恢复系数主要与碰撞物体的材料性质有关，可由实验测定。

恢复系数一般都小于1而大于零（0＜e＜1），这时的碰撞称为弹性碰撞。物体在弹性碰撞结束时，变形不能完全恢复，动能有损失。

理想情况e=1时，碰撞结束后，物体能完全恢复原来的形状，这种碰撞称为完全弹性碰撞。

在另一极端情况e=0

时，说明碰撞没有恢复阶段，即物体的变形不能恢复，碰撞结束于变形阶段，这种碰撞称为非弹性碰撞或塑性碰撞。§8-3恢复系数§8-3恢复系数恢复系数测定一种最简单的测定恢复系数的方法如图所示。h1h2v1v'1nACB

例题8-1两小球的质量分别为m1和m2

，碰撞开始时两质心的速度分别为v1和v2

，且沿同一直线，如图所示。如恢复系数为e，试求碰撞后两球的速度和碰撞过程中损失的动能。C1v1C2v2例题8-1§8-3恢复系数例题8-1图示两球能碰撞的条件是。设碰撞结束时，二者的速度分别为和，方向如图所示。由恢复系数定义有联立（a）和（b）二式，解得解：（a）（b）C1C2（c）v1v2§8-3恢复系数例题8-1根据动量守恒，有1.碰撞后两球的速度可见，当时，，。在碰撞过程中质点系损失的动能为以T1和T2分别表示此两球组成的质点系在碰撞过程开始和结束时的动能，则有C1C2v1v2（d）§8-3恢复系数例题8-12.碰撞过程中的动能损失（d）考虑到于是有§8-3恢复系数例题8-1

在理想情况下，e=1,ΔT=T2－T1=0。可见，在完全弹性碰撞时，系统动能没有损失，即碰撞开始时的动能等于碰撞结束时的动能。如果第二个物体在塑性碰撞开始时处于静止，即v2=0，

则动能损失为在塑性碰撞时，e=0

，动能损失为§8-3恢复系数例题8-1可见，在塑性碰撞过程中的动能损失与两物体的质量比有关。注意到上式可改写为上式可改写为§8-3恢复系数例题8-1第二个物体在塑性碰撞开始时处于静止，即v2=0，

则动能损失为AvoAv0§8-3恢复系数

思考题(a)(b)图(a)、(b)中各球完全相等，摩擦不计。球A以水平速度v0向右运动，设发生完全弹性正碰撞。其他各球速度如何？。BFEDC工程中碰撞实例打桩锻压§8-3恢复系数

锤打桩的过程可以看成两物体的对心正碰撞。把桩打入要依靠锤和桩相撞后一起运动的动能，打桩的效率定义为

例8-2

打桩机锤头的质量是m1,被打入的桩的质量是m2。假定恢复系数e=0,求打桩的效率。解：设锤头在和桩开始接触时具有的速度是v1,则初动能§8-3恢复系数例题8-2例题8-2本例中v2=0

，所以故打桩的效率等于可见，比值m2/m1

越小，则打桩效率越高。打桩机锤头的质量是m1被打入的桩的质量是m2榔头敲钉子§8-3恢复系数例题8-2碰撞时的动能损失△T1可由下式求得

这也是两物体的对心正碰撞问题。这里，使锻件变形的有效功是碰撞时损失的动能△T。锤锻的效率定义为例8-3

锻机的锤头质量是m1,锻件连同砧块的质量是m2,恢复系数是e,求锤锻的效率。解：设锤头在和锻件开始接触时具有的速度是v1,则初动能§8-3恢复系数例题8-3例题8-3本例中v2=0

，所以故锤锻的效率等于可见，锤头相对于砧块和锤件来说质量越小，则效率越高。§8-3恢复系数例题8-3碰撞过程中的动能损失△T可由下式求得

例题8-4如图所示物块A自高度h=4.9m处自由落下，与安装在弹簧上物块B相碰。已知A的质量m1=1kg，B的质量m2=0.5kg

，弹簧刚度k=10N·mm－1。设碰撞结束后，两物块一起运动。求碰撞结束时的速度v'和弹簧的最大压缩量。AhsmaxsstB§8-3恢复系数例题8-4例题8-4§8-3恢复系数例题8-4物块A自高处落下与B块接触的时刻，碰撞开始。此后A的速度减少，B的速度增大。当两者速度相等时，碰撞结束。解：

1.碰撞前阶段AhsmaxsstBm1g§8-3恢复系数例题8-4然后A，B一起压缩弹簧作减速运动，直到速度等于零时，弹簧的压缩量达最大值。此后物块将向上运动，并将持续地往复运动。碰撞过程中，忽略重力和弹簧力，沿y方向系统的动量守恒。2.碰撞过程已知解得AhsmaxsstBA§8-3恢复系数例题8-4上式可整理成对smax

的标准二次方程注意到，解得最大压缩量另一解为-78.55mm

，弹簧为拉伸状态，不合题意。3.碰撞后阶段碰撞结束后，设最大压缩量为smax

，由动能定理得AhsmaxsstBA(m1+m1)

gF§8-3恢复系数例题8-4例题8-5一匀质正方形货物边长是

b

，质量是

m，由传输带沿倾斜角

α=15º

的轨道送下，速度是

v0

(图

a)。当到达底端时棱

D

碰上档架。假定碰撞是完全塑性的，并且

D

处的总碰撞冲量在垂直于棱并通过货物质心的平面内。求使货物能绕棱

D

翻转到水平传输带上所需的最小速度

v01

。(a)v0αω1D§8-3恢复系数例题8-5例题8-5§8-3恢复系数例题8-5

碰撞使货物内各点的速度进行突然的重新分布：由碰撞前的平动变成碰撞后的定轴转动(因为棱D

被突然固定)。货物只在棱D

处受到外碰撞，因而便于对棱D

的冲量矩方程来求解。解:

在碰撞开始时，货物对棱

D的动量矩等于mv0b/2(以逆钟向为正)。在碰撞结束时，货物绕棱D

的转动惯量等于故这时货物对棱D的动量矩等于ω1DIDmv0v0αmv0§8-3恢复系数例题8-5外碰撞冲量ID

对棱D

无矩，故货物在碰撞过程中的动量矩守恒，即故求得碰撞结束时货物绕棱D

的角速度(b)货物对棱D的动量矩等于ω1DIDmv0§8-3恢复系数例题8-5

要使货物翻转到水平传输带上的条件是：当重心G

上升到最高位置时(图c

)，货物还有一点剩余的动能，即T2>0或

2>0

。在ω2→0的临界情形时,v0

趋近于最小速度v01

,代入(3)得由此求得所需的最小速度根据积分形式的动能定理T2－T1

＝∑W

，有ω2DG(c)§8-3恢复系数例题8-5§8-4碰撞对定轴转动刚体轴承的作用·碰撞中心刚体角速度的变化轴承处的反作用碰撞·撞击中心当定轴转动刚体受到碰撞作用时，其角速度将发生急剧变化，因而在轴承处会产生及其巨大的压力，以致引起严重破坏。在工程实际中，有许多必须经受碰撞的转动件，如离合器，冲击摆等，为了防止碰撞对轴承的危害，应该设法减弱或消除轴承处的碰撞冲量。§8-4碰撞对定轴转动刚体轴承的作用·碰撞中心设ω1和ω2分别是这两个瞬时的角速度，JO是刚体对于O轴的转动惯量，则上式成为故角速度的变化为设定轴转动刚体受到外碰撞冲量I的作用，如图所示。一、刚体角速度的变化将冲量矩定理投影到通过点O且垂直于图面的的转轴Oz上，有xyIHCObhω1ω2§8-4碰撞对定轴转动刚体轴承的作用·碰撞中心假设在图所示位置发生碰撞，则有所以由上式可得轴承处的反作用碰撞冲量设刚体具有对称平面，且绕垂直于对称面的轴Oz转动。当受到作用在对称面内的外碰撞冲量I的作用时，轴承上一般将出现反作用碰撞冲量IO。取oy轴通过刚体的质心C，应用碰撞时的质心运动定理式，有二、轴承处的反作用碰撞·撞击中心xyIHCObhIoyIox§8-4碰撞对定轴转动刚体轴承的作用·碰撞中心即满足上式的点H称为刚体对于轴O的撞击中心。

●分析上式知，为使IOy=0,必须Iy=0,即要求作用于刚体的碰撞冲量S必须垂直于转轴O与质心C的连线。xyIHCObhIoyIox

●为使

IOx=0,则必须m(uCx-vCx)-Ix=0。在图所示情况下，即为mb(ω2-ω1)-Ix=0

。将代入可得IyIx§8-4碰撞对定轴转动刚体轴承的作用·碰撞中心于是有结论：当外碰撞冲量作用于撞击中心，且垂直于轴承与质心的连线时，轴承O处不会受到反作用碰撞冲量。这一结论在实际中很重要，例如在设计材料冲击试验机的摆锤时，若将撞击试件的刃口设在摆的撞击中心上，则可避免轴承受到反作用碰撞冲量作用。试件l§8-4碰撞对定轴转动刚体轴承的作用·碰撞中心于是有结论：当外碰撞冲量作用于撞击中心，且垂直于轴承与质心的连线时，轴承O处不会受到反作用碰撞冲量。这一结论在实际中很重要。高尔夫球杆§8-4碰撞对定轴转动刚体轴承的作用·碰撞中心例题8-6

均质杆质量为m，长为2b，其上端由圆柱铰链固定，如图所示。杆由水平位置无初速落下，撞上一固定物块。设恢复系数为e，求(1)轴承的碰撞冲量；(2)撞击中心的位置。b2blOCA例题8-6例题8-6§8-4碰撞对定轴转动刚体轴承的作用·碰撞中心例题8-6§8-4碰撞对定轴转动刚体轴承的作用·碰撞中心杆在铅直位置与物块碰撞，设碰撞开始和结束时，杆的角速度分别为ω1和ω2

。撞击点碰撞前后的速度为v和v'，由恢复系数求得在碰撞前，杆自水平位置自由落下，应用动能定理：解：b2blOω1ω2CIOxIOyIA例题8-6§8-4碰撞对定轴转动刚体轴承的作用·碰撞中心得对O点的冲量矩定理为于是碰撞冲量代入ω1的数值，得b2blOω1ω2CIOxIOyIA例题8-6§8-4碰撞对定轴转动刚体轴承的作用·碰撞中心根据冲量定理，有则由上式可见，当时，IOx=0

，此时碰撞于撞击中心，由上式得b2blOω1ω2CIOxIOyIA例题8-6§8-4碰撞对定轴转动刚体轴承的作用·碰撞中心§

8-5碰撞对平面运动刚体的作用设刚体具有质量对称面，且平行于此平面作平面运动。当受到外碰撞冲量I作用时，该刚体的质心速度和角速度都要发生改变。设碰撞开始和结束瞬时刚体的质心速度和角速度分别vC、ω1为uC、ω2和，取固定坐标面Oxy与刚体的质量对称面重合，根据冲量定理和相对于质心轴的冲量矩定理，有§

8-5碰撞对平面运动刚体的作用

例题8-7

匀质薄球壳的质量是m

,半径是r

,以质心速度vC

斜向撞在水平面上,vC

对铅直线成偏角α。同时,球壳具有绕水平质心轴(垂直于vC

)的角速度ω0

。假定碰撞接触点的速度能按反向全部恢复(e=e´=1)，求碰撞后球壳的运动。§

8-5碰撞对平面运动刚体的作用ω0CyvCIFINxAα例题8-7例题8-7

球壳作平面运动，作用于它的外碰撞冲量有瞬时法向反力的冲量IN

和瞬时摩擦力的冲量IF。解:设碰撞结束时质心速度是uC

,绕质心轴的角速度是ω(规定以逆钟向为正)。写出质心冲量方程和对质心的冲量矩方程,并注意球壳对质心轴的转动惯量JC

=2mr2/3

。（1）（2）（3）ω0CyvCIFINxAαuCβω§

8-5碰撞对平面运动刚体的作用例题8-7

由恢复系数的定义可知,在完全弹性碰撞结束后,接触点的切向和法向相对速度都按相反方向全部恢复;以vA和uA

分别表示碰撞始末接触点A

的速度,则有但由运动学知（1）（2）（3）ω0CyvCIFINxAαuCβω§

8-5碰撞对平面运动刚体的作用例题8-7从而可得由于联立求解上列方程(1)(5),就可得到需求的全部答案。（4）（5）则有AvAvCvACAuAuCuACω0CyvCIFINxAαuCβω§

8-5碰撞对平面运动刚体的作用例题8-7由式(a)可以求出球壳回跳时的角度β，有这个结果表明β

有可能取任意的数值,只要vC

，α和ω