第3章线性系统的时域分析法7浙江大学

第三章线性系统的时域分析法第一步:建立模型第二步:分析控制性能方法:时域分析法，频域分析法，根轨迹法本章先讨论时域法2/6/2023自动控制原理第三章线性系统的时域分析法2/6/2023自动控制原理（1）单位阶跃函数（UnitStepfunction）

突然受到恒定输入作用或突然的扰动。室温调节系统和水位调节系统

一、典型输入信号第一节典型输入函数和时域性能指标阶跃函数2/6/2023自动控制原理（2）单位斜坡函数(速度函数）如果控制系统的输入量是随时间逐步变化的函数，则斜坡时间函数是比较合适的。2/6/2023自动控制原理（3）单位加速度函数（UnitAccelerationfunction）抛物线2/6/2023自动控制原理（5）正弦函数（Simusoidalfunction），当输入作用具有周期性变化时。（4）冲激函数（Impulsefunction）

2/6/2023自动控制原理一般：运用阶跃函数作为典型输入作用信号，便于在统一的基础上对各种控制系统的特性进行比较和研究。2/6/2023自动控制原理对控制性能的要求（1）系统应是稳定的（2）系统达到稳定时，应满足给定的稳态误差的要求（3）系统在暂态过程中应满足暂态品质的要求稳准快二、时域性能指标规定时域性能指标通常是以零初始条件下的单位阶跃响应曲线为依据的。2/6/2023自动控制原理暂态（动态）性能指标延迟时间：（DelayTime）响应曲线第一次达到稳态值的一半所需的时间。上升时间（RiseTime）响应曲线第一次达到稳态值所需的时间。上升时间越短，响应速度越快。

峰值时间（PeakTime）：响应曲线第一次达到峰值所需的时间。2/6/2023自动控制原理暂态（动态）性能指标④调节时间：（SettlingTime）响应曲线与响应稳态值的偏差达到允许范围（一般取稳态值的或）以后不再超出这个范围所需的最短时间。

⑤最大超调量（MaximumOvershoot）：响应曲线首次达到的峰值超过稳态值的百分数为超调量。即

2/6/2023自动控制原理用稳态误差来表示。当时，输出响应期望的理论值与实际值之差称为稳态误差。ess稳态性能指标（准确性）或评价系统的响应速度；同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。评价系统的阻尼程度。2/6/2023自动控制原理3.2一阶系统的暂态响应用一阶微分方程描述的控制系统称为一阶系统。K为闭环放大系数；T为一阶惯性时间常数。

2/6/2023自动控制原理由于c(t)的终值为1，因而系统单位阶跃输入时的稳态误差为零。

暂态性能指标：一阶系统的单位阶跃响应

Unit-StepResponseofFirst-orderSystem2/6/2023自动控制原理一阶系统的单位冲激响应

称为一阶系统响应的自然模式

2/6/2023自动控制原理例3-1试求该系统单位阶跃响应的调节时间。如果要求,试问系统的反馈系数应取何值？求闭环传递函数，将其化成2/6/2023自动控制原理求时的反馈系数值2/6/2023自动控制原理二阶系统定义：由二阶微分方程描述的输出量关于输入量函数关系的系统称为二阶系统。实际应用：2/6/2023自动控制原理典型二阶系统结构图则闭环传递函数为令则R(s)C(s)2/6/2023自动控制原理闭环系统特征方程：（1）当时：（2）当时：（3）当时：相等负实根（4）当时：共轭虚根二阶系统的阶跃响应2/6/2023自动控制原理(1)过阻尼()2/6/2023自动控制原理

2/6/2023自动控制原理(2)欠阻尼(）令－衰减系数

－阻尼振荡频率2/6/2023自动控制原理稳态分量瞬态分量2/6/2023自动控制原理(3)临界阻尼()临界阻尼情况下的二阶系统的单位阶跃响应称为临界阻尼响应当时，二阶系统的单位阶跃响应是稳态值为1的无超调单调上升过程2/6/2023自动控制原理（4）无阻尼（）2/6/2023自动控制原理二阶系统在不同值瞬态响应曲线2/6/2023自动控制原理ωn不变ξ增大2/6/2023自动控制原理ξ

不变ωn减小2/6/2023自动控制原理1）二阶系统较为常见；2）高阶系统在一定条件下与二阶系统的响应性能近似，可以按照满足近似条件的二阶系统的响应性能来分析和设计高阶系统。二阶系统的研究具有重要的意义2/6/2023自动控制原理欠阻尼系统(0<ξ<1)的时域性能指标1．上升时间tr：评价系统的响应速度；2、峰值时间tp：评价系统的响应速度；3、超调量σ％：评价系统的阻尼程度；4、调节时间ts：同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。2/6/2023自动控制原理欠阻尼时：

二阶系统的暂态特性时域指标的计算

1．上升时间tr,在暂态过程中第一次达到稳态值的时间称为上升时间。2、最大超调量最大超调量发生在第一个周期中t＝tm的时刻。根据求极值的方法计算2/6/2023自动控制原理3、调节时间4、峰值时间2/6/2023自动控制原理例3—1已知二阶系统的动态结构图。当输入量为单位阶跃函数时，试计算系统响应的上升时间、峰值时间、超调量和调节时间闭环传函求(1)上升时间(2)峰值时间

(3)超调量

2/6/2023自动控制原理(4)调节时间

例3—2已知二阶系统的动态结构图。当输入量为单位阶跃函数时，①若要求，峰值时间，试确定系统参数K和τ，并计算上升时间和调节时间；②由①条件所确定的K值不变，τ取0时，系统的超调量又是多少？自然振荡角频率是否改变？2/6/2023自动控制原理2)结论：引入微分负反馈可增大系统的阻尼比，降低超调量，但不改变自然振荡角频率。2/6/2023自动控制原理例3—3系统是反馈系数为α的负反馈二阶控制系统。已知单位阶跃响应特性，试根据图中标注的量确定系统参数K,T和α。思路：已知：2/6/2023自动控制原理六.稳定性的基本概念稳定性系统在扰动消失后，由初始偏差状态恢复到原平衡态的性能。若线性系统在初始扰动的影响下，其动态过程随时间的推移逐渐衰减并趋于零（原平衡工作点），则称系统渐近稳定，简称稳定；若在初始扰动的影响下，系统的动态过程随时间的推移而发散，则称系统不稳定。稳定的平衡态不稳定的平衡态2/6/2023自动控制原理线性系统稳定性例：飞机纵向控制系统

受纵向扰动作用

受持续纵向力作用结论线性系统的稳定性是系统本身的属性；线性系统稳定：当t趋于无穷时，系统的阶跃响应趋于恒值，表示为：2/6/2023自动控制原理线性系统稳定性分析方法时域

单位阶跃响应复数域代数方法：劳斯判据

几何方法：根轨迹法

2/6/2023自动控制原理系统的闭环传递函数的特征方程的特征根决定系统的稳定性。第三节代数稳定判据稳定临界稳定不稳定2/6/2023自动控制原理一、劳斯稳定判据线性定常系统稳定的充要条件是：闭环系统特征方程的所有根均具有负实部；将各项系数，按下面的格式排成劳斯表2/6/2023自动控制原理将各项系数，按下面的格式排成劳斯表2/6/2023自动控制原理这样可求得n+1行系数劳斯稳定判据:如果劳斯表中第一列的系数均为正值，则其特征方程式的根都在S的左半平面，相应的系统是稳定的。如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，其变化的次数等于该特征方程式的根在S的右半平面上的个数，相应的系统为不稳定。2/6/2023自动控制原理例求系统稳定时各系数应满足的条件2/6/2023自动控制原理已知一调速系统的特征方程式为例试用劳斯判据判别系统的稳定性。解：列劳斯表由于该表第一列系数的符号变化了两次，所以该方程中有二个根在S的右半平面，因而系统是不稳定的。2/6/2023自动控制原理已知系统的特征方程式为试判别相应系统的稳定性。解：列劳斯表由于表中第一列上面的符号与其下面系数的符号相同，表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统为不稳定。例2/6/2023自动控制原理劳斯表某一行中的第一项等于零，而该行的其余各项不全等于零。解决的办法是以一个很小的正数来代替为零的这项，据此算出其余的各项，完成劳斯表的排列。如果上面一行首列的系数与下面一行首列的系数符号相同，则表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统临界稳定。若劳斯表第一列中系数的符号有变化，其变化的次数就等于该方程在S右半平面上根的数目，相应的系统为不稳定。劳斯判据特殊情况（劳斯表某一行中的第一项等于零）2/6/2023自动控制原理已知系统的特征方程式为试判别相应系统的稳定性。解：列劳斯表闭环系统不稳定2/6/2023自动控制原理例如，一个控制系统的特征方程为

由上表可知，第一列的系数均为正值，表明该方程在S右半平面上没有特征根。令F(s)=0，求得两对大小相等、符号相反的根系统处于临界稳定状态，不稳定。列劳斯表2/6/2023自动控制原理表示相应方程中含有一些大小相等符号相反的实根或共轭虚根。利用系数全为零行的上一行系数构造一个辅助多项式，并以这个辅助多项式导数的系数来代替表中系数为全零的行。完成劳斯表的排列。这些大小相等、径向位置相反的根可以通过求解这个辅助方程式得到，而且其根的数目总是偶数的。劳斯表中出现全零行2/6/2023自动控制原理已知系统的特征方程式为求该系统稳定的K值范围。解：列劳斯表由劳斯判据可知，若系统稳定，则劳斯表中第一列的系数必须全为正值。可得：二、劳斯判据的应用例3-71.确定稳定条件下某一参数的取值范围2/6/2023自动控制原理例3－8某控制系统的开环传递函数为试用劳斯稳定判据确定闭环系统稳定时参数τ的取值范围。方法：(1)求出闭环传递函数(2)再利用劳斯判据求参数范围。2/6/2023自动控制原理稳定判据(1)回答特征方程式的根在S平面上的分布情况，而不能确定根的具体数据。(2)不能保证系统具备满意的动态性能。(3)不能表明系统特征根在S平面上相对于虚轴的距离。然后用劳斯判据去判别该系统是否稳定2.确定系统的相对稳定性

相对稳定性或稳定裕量：最靠近虚轴的闭环极点与虚轴的距离求相当于坐标轴左移个单位代入特征方程若稳定，则有的稳定裕量。2/6/2023自动控制原理用劳斯判据检验下列特征方程是否有根在S的右半平面上，并检验有几个根在垂线的右方。例3-9解：列劳斯表第一列全为正，所有的根均位于左半平面，系统稳定。2/6/2023自动控制原理令1-=rS代入特征方程：04)1(3)1(10)1(223=+-+-+-rrr014223=--+rrr式中有负号，显然有根在的右方。列劳斯表第一列的系数符号变化了一次，表示原方程有一个根在垂直直线可确定系统一个或两个可调参数对系统稳定性的影响。

的右方。2/6/2023自动控制原理例3－9具有控制器二阶系统的动态结构图如图所示。试计算系统稳定时τ的取值范围；在保证有的稳定裕量时，τ的取值范围又是多少？闭环传函特征方程劳斯判据2/6/2023自动控制原理2/6/2023自动控制原理3.6稳态误差分析稳态误差：系统稳定运行时输出响应期望的理论值与实际值之差。测量误差扰动误差结构性误差原理性误差提高测量精度减小测量误差改进系统设计减小原理性误差原理性稳态误差的计算方法2/6/2023自动控制原理一、稳态误差的定义1、从输入端定义

输入量象函数与反馈量象函数之差称为误差象函数

误差函数

2、从输出端定义

直接反映系统的稳态误差，不便于计算，输出量期望的理论值事先并不知道。

虽间接反映了稳态误差，但是，形成它的输入量和反馈的输出量均是已知的，便于分析计算。2/6/2023自动控制原理图3-23控制系统框图得误差传递函数二、给定输入量作用下的稳态误差输入形式结构形式开环传递函数

给定的稳定系统，当输入信号形式一定时，系统是否存在稳态误差，就取决于开环传递函数所描述的系统结构.

2/6/2023自动控制原理令系统开环传递函数为系统的开环增益。K系统类型(type)与系统的阶数(order)的区别分析0、I、II型系统在阶跃、斜坡、抛物线输入作用下的稳态误差三、控制系统的类型2/6/2023自动控制原理令令稳态位置误差系数:pKStaticpositionerrorconstant要求对于阶跃作用下不存在稳态误差，则必须选用Ⅰ型及Ⅰ型以上的系统1、阶跃信号输入2/6/2023自动控制原理一型系统二阶系统在阶跃输入作用下的响应的误差曲线2/6/2023自动控制原理令稳态速度误差系数

Staticvelocityerrorconstant在斜坡输入情况下，0型系统的稳态误差为∞，也就是说被控制量不能跟随按时间变化的斜坡函数。而对Ⅰ型系统，有跟踪误差；Ⅱ型系统则能准确的跟踪斜坡输入，稳态误差为零。2、斜坡信号输入2/6/2023自动控制原理二阶系统在斜坡输入作用下的响应的误差曲线一型系统2/6/2023自动控制原理令

令稳态加速度误差系数

Staticaccelerationerrorconstant3、加速度信号输入2/6/2023自动控制原理加速度信号输入作用下的响应的误差曲线0型系统I型系统II型系统2/6/2023自动控制原理静态位置误差系数

静态加速度误差系数

误差系数类型

0型K00

Ⅰ型∞K0

Ⅱ型∞∞K静态速度误差系数输入类型U*1(t)U*t*1(t)U/2*t2*1(t)0型U/(1+Kp)∞∞Ⅰ型0U/Kv∞Ⅱ型00U/Ka表2/6/2023自动控制原理例：某控制系统的开环传递函数为

试计算输入函数为时系统的稳态误差。

Ⅱ型系统能够完全跟随阶跃和斜坡输入,对应稳态误差为零线性系统应用叠加定理求开环放大倍数K=202/6/2023自动控制原理控制系统时域分析暂态时域性能指标劳斯判据稳态误差2/6/2023自动控制原理暂态时域性能指标

P99:3-2,3-4,3-5定义--前提：单位阶跃输入上升时间：输出首次达到稳态值的时间。峰值时间：输出首次达到峰值的时间。调节时间：此时刻后，输出在一定范围内。超调量：输出首次达到峰值超过稳态值的百分数。稳态误差：无穷时刻，输出理论值与实际值之差。2/6/2023自动控制原理暂态时域性能指标

P99:3-2,3-4,3-5计算公式--通常考查欠阻尼二阶系统上升时间：峰值时间：调节时间：超调量：2/6/2023自动控制原理劳斯判据:

P100:3-6,3-7,3-8,3-9使用目的：判断闭环极点是否全部在虚轴左侧。研究对象：特征方程**几个概念**特征方程特征根闭环极点闭环零点2/6/2023自动控制原理劳斯判据

P100:3-6,3-7,3-8,3-9研究方法：列写劳斯表，看第一列符号研究步骤：（1）确定系统闭环传递函数。（2）获得特征方程，判断各项系数>0。（3）按S降次,列写劳斯表(零值处理）（4）判断劳斯表第一列符号，全正稳定，否则不稳定。（5）仅首列出现零，上下符号一致，存在共轭虚根，上下符号相反，存在实部为正的根。（6）出现全零行，存在共轭虚根。利用辅助方程可求解。2/6/2023自动控制原理劳斯判据

P100:3-6,3-7,3-8,3-9应用（1）求解参数取值范围（2）确定系统的相对稳定性2/6/2023自动控制原理稳态误差:

P100:3-11,3-13定义：输入端；输出端求解：前提：系统稳定研究：输入端方法：终值定理步骤：（1）判断系统稳定性（2）由开环传函，确定系统类型（3）典型输入下，应用终值定理，求稳态误差系数（4）结合误差系数与误差关系，求取稳态误差2/6/2023自动控制原理对控制系统的要求：稳、快、准

稳——稳定性，指系统能否达到新的平衡状态。稳定是系统首先必须满足的条件，不稳定的系统是无法正常工作的。通俗地说，只有在系统能够使用的基础上，系统才有其它指标要求。

快——暂态性能，指系统从最初的平衡状态，在控制