第3章矩阵的初等变换与线性方程组

第三章矩阵的初等变换与线性方程组

线性代数§3–1矩阵的初等变换第三章矩阵的初等变换与线性方程组§3–3线性方程组的解§3–2矩阵的秩§3-1矩阵的初等变换矩阵的初等变换是矩阵的一种十分重要的运算它在解线性方程组、求逆阵及矩阵理论的探讨中都可起重要的作用。一、消元法解线性方程组

引例求解线性方程组分析：用消元法解下列方程组的过程．解：用“回代”的方法求出解：于是解得（2）其中c为任意常数。令x3=c,方程组的解可记作其中x3为任意取值。小结：1、上述解方程组的方法称为消元法．

2、始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换（1）交换方程次序；（2）以不等于０的数乘某个方程；（3）一个方程加上另一个方程的k倍．（与相互替换）（以替换）（以替换）3、上述三种变换都是可逆的．由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种变换是同解变换．因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算。若记则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B—方程组（1）的增广矩阵—的变换。二、矩阵的初等变换定义3-1下面三种变换称为矩阵的初等行变换:（1）互调：对调两行（对调i，j两行，记作：ri

«rj

）（2）倍乘：以非零数k乘以某一行的所有元素；（第i行乘以数k，记作：ri

k

）（3）倍加：把某一行所有元素的k倍加到另一行对应的元素上去；（第j行的k倍加到第i行上，记作：ri+krj）1、矩阵的初等变换定义3-2

矩阵的初等列变换与初等行变换统称为

初等变换。初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同．同理可定义矩阵的初等列变换(所用标记把“r”换成“c”)．逆变换逆变换逆变换2、矩阵的等价关系如果矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B

就称矩阵A与B等价记作A~B。如果矩阵A经有限次初等行变换变成矩阵B

就称矩阵A与B行等价记作A

~

B。r如果矩阵A经有限次初等列变换变成矩阵B

就称矩阵A与B列等价记作A~B。c等价关系的性质

(1)反身性：

A

~A

(2)对称性：若A

~B

则B

~A

(3)传递性：若A

~B

B

~C

则A

~C

。

例如用矩阵的初等行变换解方程组（1）：3、矩阵初等变换举例

其中c为任意常数。或令x3=c方程组的解可记作B5对应的方程组的解为4、矩阵初等变换结果形

行阶梯形矩阵

行阶梯形矩阵特点：

（1）阶梯线下方全是0；（2）每个台阶高度是1行；（3）阶梯竖线后面第一个元素为非零元。行最简形矩阵

行最简形矩阵特点：

行阶梯形矩阵非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在列的其他元素都为0。

可以证明对于任何矩阵A

总可经过有限次初等行变换把它变为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵。对行最简形矩阵再施以初等列变换可变成一种形状更简单的矩阵称为标准形。~c矩阵的标准形矩阵标准形的特点是

左上角是一个单位矩阵其余元素全为0。所有与矩阵A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类，标准形F是这个等价类中最简单的矩阵.矩阵总可以经过初等变换化为标准形此标准形由m,n,r三个数唯一确定，其中r就是行阶梯形矩阵中非零行的行数。例如，~c三、初等变换的性质由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。

1、初等矩阵（1）三种初等变换对应三种初等矩阵。

E(i

j)表示对调单位矩阵E的第i

j两行(列)得到的初等矩阵。——E(i

j)左乘矩阵A，相当于：把A的第i

j两行对调；——E(i

j)右乘矩阵A，相当于：把A的第i

j两列对调；E(i(k))表示用非零数k乘E的第i行(列)得到初等矩阵。——E(i(k))左乘矩阵A，相当于：把A的第i行乘k倍；——E(i(k))右乘矩阵A，相当于：把A的第i列乘k倍；

E(ij(k))表示把单位矩阵E的第j行的k倍加到第i行上或把单位矩阵E的第i列的k倍加到第j列上得到初等矩阵。第i列第j列——E(ij(k))左乘矩阵A，相当于：把A的第j行的k倍加到第i行上；——E(ij(k))右乘矩阵A，相当于：把A的第i列的k倍加到第j列上；（2）初等矩阵可逆性

初等矩阵都是可逆的并且

（3）初等矩阵应用

[性质3-1]

设A是一个mn矩阵，对A施行一次初等行变换相当于对A左乘相应的m阶初等矩阵对A施行一次初等列变换相当于对A右乘相应的n

阶初等矩阵。

例如设则有

~r1r2（3）初等矩阵应用

[性质3-1]

设A是一个mn矩阵，对A施行一次初等行变换相当于对A左乘相应的m阶初等矩阵对A施行一次初等列变换相当于对A右乘相应的n

阶初等矩阵。

例如设则有

~c12c3（3）初等矩阵应用

[性质3-1]

设A是一个mn矩阵，对A施行一次初等行变换相当于对A左乘相应的m阶初等矩阵对A施行一次初等列变换相当于对A右乘相应的n

阶初等矩阵。

[性质3-2]方阵A可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵P1

P2

Ps

使AP1P2

Ps

推论方阵A可逆的充分必要条件是A~E

r注：此定理可以利用上述[性质3-1]和[性质3-2]证明。

考研题：n阶方阵A与B等价，若A=0，则B=____

。（1）存在可逆矩阵P

使PAB

（2）存在可逆矩阵Q

使AQB

（3）存在可逆矩阵P、Q

使PAQB

[定理3-1]

四、初等变换的应用（1）设A~B,即A经一系列初等行变换化为B，则有可逆矩阵P，使得PA=B。如何求可逆矩阵P？r由于方法：对矩阵(A

E)作初等行变换，化为(B

P)。即当把A变为B时，E就变为P。

[例3-1]

设的行最简形矩阵为F，求F，并求一个可逆矩阵P，使得PA=F

[解]~P（A

E)(F

P)PAF~即~1、求逆矩阵的初等行变换法强调：由此得到了一个求逆矩阵的巧妙方法—初等变换法，即：P(A

E)对矩阵(A

E)进行初等行变换，当A变为E时，E就变为A1！若矩阵A可逆设PAE(则P是A的逆矩阵)，显然PEP，

求逆矩阵方法小结：（1）定义法、（2）伴随矩阵法、

（3）分块矩阵法、（4）初等行变换法

(E

A1)(E

P)

[例3-2]

设求A1

[解]~~~11-111130-2010-2300010-31-3-2-305-2223~~~~即所以方法：对矩阵(A

B)作初等行变换，化为(E

X)。即当把A变为E时，B就变为X。2、求解矩阵方程若B是常数列向量

，则此法可解线性方程组。设A是可逆矩阵，求解

[例3-3]

求解矩阵方程AX=B，其中[解]~~~即~所以

[例3-4]

设求线性方程组

的解~[解]记

则两个线性方程组可合成一个矩阵方程AXB§3-2矩阵的秩我们已经知道给定一个mn矩阵A

它的标准形由数r完全确定。r也就是A的行阶梯形中非零行的行数即矩阵A的秩。

“秩”者“秩序”也，它来源于求解线性方程组，在求解过程中需要将“浑水摸鱼”的方程“揪”出来，以维护方程组的正常“秩”序！上一节的例子：

此例中增广矩阵B的行阶梯形中非零行的行数为3

所以3便是增广矩阵B的秩

其解为其中x3为任意取值。一、矩阵秩的概念矩阵的秩1、k阶子式

[定义3-3]在mn矩阵A中任取k行与k列(km

kn)

位于这些行列交叉处的k2个元素不改变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列式称为矩阵A的k阶子式。

例如是A的一个二阶子式mn矩阵A的k阶子式共有个。2、矩阵的秩[定义3-4]设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D

且所有r1阶子式(如果存在的话)全等于0

那么D称为矩阵A的最高阶非零子式数r称为矩阵A的秩记作R(A)。并规定零矩阵的秩等于0。

——矩阵A的秩R(A)等于A中非零子式的最高阶数。

(1)若矩阵A中有某个s阶子式不为0

则R(A)s；若A中所有t阶子式全为0

则R(A)t。

几个结论

(4)对于n阶矩阵A

当|A|0时

R(A)n

当|A|0时

R(A)n

(3)R(AT)R(A)。

(2)若A为mn矩阵则0R(A)min{m

n}。——可逆矩阵又称为满秩矩阵不可逆矩阵(奇异矩阵)又称为降秩矩阵

[例3-5]

求矩阵A和B的秩其中[解]（1）在A中容易看出一个2阶子式A的3阶子式只有一个|A|

经计算可知|A|0

因此R(A)2

提示

以三个非零行的首非零元为对角元的3阶子式：是一个上三角行列式它显然不等于0

因此R(B)3

（2）B是一个有3个非零行的行阶梯形矩阵其所有4阶子式全为零对于行阶梯形矩阵它的秩就等于非零行的行数。二、初等变换法求矩阵的秩[定理3-2]

若A~B

则R(A)R(B)——[定理3-2]给出了求矩阵的秩的方法：只要把矩阵用初等行变换化成行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵中非零行的行数即是该矩阵的秩

[推论]

若可逆阵P、Q使得PAQ=B，则R

(A)R(B)[例3-6]

设求矩阵A的秩并求A的一个最高阶非零子式。[解]~所以R(A)3。为求A的最高阶非零子式考虑由A的1、2、4列构成的矩阵：因为A0的子式所以这个子式是A的最高阶非零子式。

[例3-7]

求矩阵A及B(A

b)的秩其中[解]则A0就是A的行阶梯形矩阵。对B(A

b)作初等行变换变为行阶梯形矩阵设其行阶梯形矩阵为B0(A0

b0)故从B0(A0

b0)中可同时看出R(A)及R(B)

注以B为增广矩阵的线性方程组Axb是无解的这是因为行阶梯形矩阵的第3行表示矛盾方程01。因为所以R(A)2

R(B)3

~(4)若P、Q可逆则R(PAQ)R(A)(1)0R(Amn)min{m

n}三、矩阵秩的性质前面介绍了矩阵秩的基本性质：(2)R(AT)R(A)(3)若A~B

则R(A)R(B)

(8)若Amn

BnlO

则R(A)R(B)n

(7)R(AB)min{R(A),R(B)}

(6)R(AB)R(A

B)R(A)R(B)(5)max{R(A),R(B)}R(A

B)R(A)R(B)——特别地当B为列向量时有（证明见下节定理7证明）（证明见下章例13）所以[例3-8]

设A为n阶矩阵

证明R(AE)R(AE)n

[证明]因为由性质(6)

有而即四、有关矩阵秩的重要结论（1）

A为mn矩阵

则R（A）=n矩阵

则称A为列满秩矩阵。R（A）=m矩阵

则称A为行满秩矩阵。（2）若A为n阶方阵

则若R（A）=n矩阵则称A为满秩矩阵1、列满秩矩阵、行满秩矩阵2、几个重要结论[结论1]

Amn为行满秩矩阵A的标准形为（Em，O）[结论2]

Amn为列满秩矩阵A的标准形为[结论3][结论4]对n阶方阵A，[结论5][例3-9]

证明：若AB=C，A为列满秩矩阵，则

R(B)=R(C)

[证明]设A为mn矩阵

则R（A）=nA行最简形矩阵为，并有m阶可逆阵P，使得特例：

若AB=O，A为列满秩矩阵，则

B=O

思考题设A为任意矩阵

R(ATA)与R(A)是否相等？解答：相等由此可知因为对于非零列向量（1）当时（2）反之当时综合(1)、(2)即§3-3线性方程组的解设有n个未知数m个方程的线性方程组一、线性方程组解的个数线性方程组(1)若有解，则称它是相容的，若无解，称其不相容。(1)无解的充要条件——R(A)R(A

b)(2)

唯一解的充要条件——R(A)R(A

b)n(3)有无限多解的充要条件——R(A)R(A

b)n

[定理3-3]

n元线性方程组Axb，则：二、线性方程组的解n元齐次线性方程组:1、齐次线性方程组由[定理3-3]知，齐次线性方程组肯定有解。（1）当R(A)=n时，齐次线性方程组有唯一零解。（2）当R(A)=r<n时，齐次线性方程组有非零解（无限多解）。解齐次线性方程组的重点是求非零解(通解）。求解齐次线性方程组的方法：（1）对系数矩阵A作行变换化为行阶梯形。确定（2）若r=n,则知：（3）若R（A）=r<n，进一步将A化成行最简形。根据A的行最简形，写出含n-r个参量的通解（非零解）。齐次线性方程组只有零解。[例3-10]求解齐次线性方程组[解]对系数矩阵A作行初等变换，化为行最简形：~~方程组有唯一解[例3-11]求解齐次线性方程组[解]对系数矩阵A作行初等变换，化为行最简形：~~~~~由A的行最简形，得：令x2=c1,x4=c2，则有：求解线性方程组的方法：（1）对增广矩阵B作行变换化为行阶梯形。确定和（2）若R（A）=R（B），则进一步把B化成行最简形。（3）若R（A）=R（B）=n，，由B的行最简形，即可写出方程组有唯一解。若则方程无解。2、非齐次线性方程组（4）设R（A）=R（B）=r<n，由B的行最简形，即可写出含n-r个参量的通解。还以上节课中线性方程组为例：~~[例3-12]求解非齐次线性方程组[解]对增广矩阵B作行初等变换，化为行最简形：~~此方程组无解。[例3-13]求解非齐次线性方程组[解]增广矩阵B作行初等变换，化为行最简形：~~~解得：即三、矩阵方程1、线性方程组[定理3-4]

n元齐次线性方程组

有非零解的充要条件是：[定理3-5]

线性方程组有解的充要条件是

[定理3-6]

矩阵方程AX=B有解的充要条件是

2、矩阵方程将X和B按列分块为：矩阵方程有解无解的判别矩阵方程AX=B的求解方法[定理3-7]

设AB=C，则[证明]

：因AB=C，知矩阵方程AX