比估计与回归估计

第五章比估计与回归估计侯天宇1.1引言

1.比估计与回归估计的使用条件：（1）调查主要指标与辅助变量间有正线性相关关系；比估计与回归估计的使用效果的好坏取决于辅助变量的选择，要尽可能选择与调查指标相关程度的大小。（如果辅助变量与调查主要指标间有负线性相关关系,则要采取乘积估计。）（2）适用面广,可以用于简单随机抽样,也可用于分层随机抽样等；（3）估计或Y时，一般要求辅助变量的总体总量或均值是已知的。简单估计：在没有其他相关辅助变量信息可以利用的情况下，用样本特征直接估计总体特征，且样本特征与欲估的总体特征除了写法之分外，完全同形同构，简单易记，因此有简单线性估计。

1.2比估计一、简单随机抽样下的比估计：1.比估计定义：比率：（1）R的比率估计量：（2）2.比估计的性质：对于简单随机抽样，（1）比估计是有偏的，但当n大时，（2）证明：3.比估计的方差估计：

（1）该估计是有偏的，但具有渐近无偏性。（2）例：某小区有1920户，从中随机抽取了70户，调查各户的住房面积（单位：平方米）和家庭人口，得数据：

试对人均住房面积作点估计和置信度为95%的区间估计。

解：3.估计R时样本量的确定：4.估计时样本量的确定：例：某公司有1000名职工，为了估计职工今年与去年病假工时的比率，要抽一个容量为n的简单随机样本进行调查。先随机抽了10人作试点调查，数据如下：编号去年病假工时今年病假工时1121322425315154303253236626247101281516902101412希望以置信度95%，使估计R的绝对误差不超过0.01，应抽容量为多大的样本？已知公司职工去年病假工时为16300。解：例：审计员想把一个医院的财产的现在价值与记录价值作一比较。从计算机存储的记录里查到，医院的财产有2100项，共计价值950000元。为了估计现在的价值，拟在2100项目中随机抽取n项。因为没有信息可用来确定n，先随机抽了15项，获得数据整理如下：

试确定n，使估计量的绝对误差不超过500元（置信度为95%）。解:4.比估计与简单估计的比较：5.消除比估计偏倚的方法：小样本时，比估计的偏倚不能忽略。有偏估计成为无偏估计的方法：（1）无偏的比率型估计量（2）改变抽样方法二、分层随机抽样下的比估计在大样本时，

1.分别比估计：若各层的样本量比较大时，各层可分别进行比估计，再进行加权平均，所得估计量称为分别比估计。

2.联合比估计：若某些层的样本量比较小时，可以采用联合比估计。对两个指标先求总体均值或总和的分层估计，然后用它们构造比估计，所得估计量称为联合比估计。

3.分别比估计与联合比估计的比较：

1.3回归估计

Linearregression

1.简单随机抽样中的回归估计量：对于简单随机抽样，总体均值和总体总和的回归估计量分别为：证明：例：总体由75308个农场组成，设yi为第i个农场养牛的头数，xi为第i个农场的面积。已知农场平均面积为31.25英亩，选取一个样本容量为2055的简单随机样本。经计算得：

试估计每个农场平均养牛头数及标准差。解：二、分层随机抽样下的回归估计在大样本时，

1.分别回归估计：若各层的样本量比较大时，各层可分别进行回归估计，再进行加权平均，所得估计量称为分别回归估计。

2.联合回归估计：若某些层的样本量比较小时，可以采用联合比估计。对两个指标先求总体均值或总和的分层估计，然后用它们构造回归估计，所得估计量称为联合回归估计。

3.分别回归估计与联合回归估计的比较：

1.3等概率整群抽样估计估计量的方差分别是:与的样本估计分别是:例：某县有33个乡，726个村，该年度某种作物总种植面积30525亩，现采用等概抽样随机抽出10个乡，要求估计全县总产量，计算抽样误差。调查资料如下：样本乡编号村庄数

Mi作物总产量（乡）

yi（万公斤）种植面积（乡）

xi（亩）123456789101518261420282119311722.022.830.221.725.331.226.020.533.823.68007801000700880110085080012008301.46671.26671.16151.551.2651.11431.23811.0791.09031.3882合计209257.18940——分别采用几种方法估计1无偏估计评价：虽是无偏估计量，但方差估计没有改观2以群规模为辅助变量的比率估计评价：有偏，n较大时比较理想3以种植面积为辅助变量的比率估计已知：种植面积X＝30525（亩）用种植面积为