材料力学课件第4章弯曲内力

§4.1

对称弯曲的概念及梁的计算简图杆的轴线在变形后成为曲线，这种变形称为弯曲凡是以弯曲为主要变形的杆件，通常均称为梁一、弯曲的概念作用在梁上的载荷和约束力均位于纵向对称面内时，梁的轴线由直线弯成一条位于纵向对称面内的曲线，这种弯曲称为平面弯曲。也有的教材称为对称弯曲。

梁变形后的曲线与外力在同一平面内(纵向对称面内)。纵向对称面纵向对称轴梁的计算简图中，用梁的轴线代表实际的梁。FF梁的支座按它对梁的约束情况，可简化为三种基本形式1）固定端支座

限制被支承的横截面沿水平和垂直方向移动和绕某一轴移动。1、梁的支座分类二、

梁的计算简图2）固定铰支座3）可动铰支座使杆件与沿支承面方向移动亦可绕支承点转动。限制支承的横截面沿水平和垂直方向移动。1）集中载荷载荷的作用范围远小于杆件轴向尺寸。2）分布载荷沿轴向连续分布在杆件上的载荷，常用q表示。单位长度上的载荷,称为载荷集度.如风力,水力,重力。3）集中力偶特例：均布载荷，线性分布载荷如水对坝的压力。集中载荷分布载荷集中力偶2、梁的载荷分类3、几种基本形式的静定梁梁的约束力数目与独立平衡方程的数目相同则为静定梁。1）简支梁一端为固定铰支座一端为可动铰支座。2）外伸梁一端或两端向外伸出的简支梁。3）悬臂梁一端固定端支座一端自由。梁的约束力数目多于独立平衡方程的数目则为超静定梁。§4.2

梁的剪力和弯矩剪力图和弯矩图取左半部分分析Fs称为剪力

抵抗剪切作用的内力,是与横截面相切的分布内力系的合力.得：一、剪力和弯矩得：M称为弯矩抵抗弯曲作用的矩,是与横截面垂直的分布内力系的合力偶矩符号规则当微段梁两相邻截面发生左上右下的相对错动时，横截面上的剪力为正；反之，剪力为负。1、剪力FsFs

Fs左右+Fs

Fs左右-使微段梁弯曲成凹形时的弯矩为正；弯曲成凸性的弯矩为负。2、弯矩MMM+MM-材料力学中内力成对出现,符号相同.例1

已知:F、l求：梁中点处m-m截面的剪力和弯矩。解：（1）计算约束力（2）计算指定截面的剪力和弯矩解得：解得：例2

已知:F、M=Fl、l求：横截面D-

、E、A+的剪力和弯矩。解：（1）计算约束力（2）计算截面E的剪力和弯矩解得：（3）计算截面A+

和D-的剪力和弯矩解得：解得：同理：AB二、剪力方程和弯矩方程·剪力图和弯矩图1、剪力方程和弯矩方程定义：方法:1、分段：根据梁上外力及截面变化情况分段2、在每段上以任意截面代替指定截面,求其剪力FS和弯矩M表示剪力和弯矩沿梁轴线变化规律的函数。注意：标注方程的使用区间时，剪力方程在集中力作用处用不等号；弯矩方程在集中力偶作用处用不等号。2、剪力图和弯矩图表示剪力和弯矩沿梁轴线变化规律的图方法:1、求约束力2、列内力方程3、作剪力图和弯矩图定义：注意:绘制内力图时，将正值的剪力画在横坐标x的上方；而正值的弯矩画在x轴的下方，即弯矩图的正方向向下例3

已知:F

、l求：梁的剪力图和弯矩图。解：剪力方程和弯矩方程为：Fs(x)为一常量由此可以绘出剪力图和弯矩图例4

已知:

q

、l求：梁的剪力图和弯矩图。解：剪力方程和弯矩方程为：由此可以绘出剪力图和弯矩图解：很容易求出约束力：例5

已知:

q

、l求：梁的剪力图和弯矩图。剪力方程和弯矩方程为：由此可以绘出剪力图和弯矩图解：例6

已知:F、l、a、b求：梁的剪力图和弯矩图。很容易求出约束力：AC段剪力方程和弯矩方程为：由此可以绘出剪力图和弯矩图CB段剪力方程和弯矩方程为：例7

已知:M

、l求：梁的剪力图和弯矩图。解：很容易求出约束力：AC段剪力方程和弯矩方程为：由此可以绘出剪力图和弯矩图CB段剪力方程和弯矩方程为：集中力集中力偶注意：1、在集中载荷（力和力偶）作用处或外力不连续处，要分段计算内力方程。2、要将剪力图和弯矩图画在梁受力图的正下方，而不要画在其它位置。这样就可以很方便地了解梁中内力的变化规律，以及得到梁中任意截面上的剪力和弯矩值。3、有集中力处，则在该截面上剪力发生突变；有集中力偶处，则在该截面上弯矩发生突变。4、标出内力图中端点、拐点、极值点和最值点的内力值。5、熟练掌握各种简单的内力分布。C例8：已知外伸梁，载荷及尺寸如图所示，试作梁的剪力图和弯矩图FAFD解：根据平衡方程可求得A、D处的约束力FA=7kNFD=5kN

根据梁上载荷的形式和分布情况，将全梁分为AB、BC、CD和DE四段分别计算其内力。取距A端为x的横截面AB段BC段CD段DE段AB段BC段CD段DE段FS（kN）x731322020.51666M（kNm）x1、叠加原理：

多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每个载荷单独作用于结构而引起的内力的代数和。适用条件：所求参数（内力、应力、位移）必须与载荷满足线性关系。即在弹性范围内满足胡克定律。三、按叠加原理作弯矩图2、材料力学构件小变形、线弹性范围内必遵守此原理

——叠加方法叠加法绘制内力图步骤：

①分别作出各项载荷单独作用下梁的内力图；②将其相应的纵坐标叠加即可（注意：不是图形的简单拼凑）。3、对称性与反对称性的应用

对称结构在对称载荷作用下，Fs图反对称，M图对称；对称结构在反对称载荷作用下，Fs图对称，M图反对称。解：例9试用叠加法作梁的弯矩图。解：例10试用叠加法作梁的剪力图和弯矩图。=+aa20kNm50kN20kNm20kNm绘制梁的弯矩图。例1150kN20kNm=+xM2xMxM1+50kNm–30kNm20kNm20kNm+––20kNm四、载荷集度、剪力和弯矩间的关系略去高阶微量，得:利用（a）和（b），得:结论q>0时，Fs图上扬q<0时，Fs图下倾M图M图Fs>0时，M图下倾Fs<0时，M图上扬Fs=0时，M图水平1、Fs图为平行于x轴的直线段。2、4、该截面上弯矩有极值（极大值或极小值）。5、在集中力作用处Fs图有突变，M图的斜率也发生突变，也就是出现尖角。6、在集中力偶作用处M图有突变，Fs图无特殊变化。3、载荷Fs图M图+一次二次+一次二次+水平线无变化常见载荷的Fs图和M图特征例12、绘制图示梁的内力图。解：约束力B点左：C点左：M的驻点：qqa2qaFAFDABCDFsxqa/2qa/2––+qa/2qa2/2qa2/2qa2/23qa2/8+–Mx解：容易求出约束力：求：梁的剪力图和弯矩图。例13mm/lFsMml⊙m/lmmm/lma/lMmabBCAm/lFs⊙mb/lma/lCmmb/lMCA=ma/lMCB=mb/lFSxqa2qa–xMaaqaqACB–[例]

用简易作图法画下列各图示梁的内力图。A20kNDCB2m4kN/m求出RB=20kNRD=8kNFA=0kNFs(kN)FBA=-8kN8128MA=0KN.mMB=SFs=-8KN.mMD=0KN.mM(KN.m)816⊕⊙⊙求出RA=6kNRC=18kNFs(kN)18MA=MC=0MBA=SFs=12kN.mMBC=24kN.mM(KN.m)612⊕⊙A12kNmCB6kN/mB点;Fs=0处？？12B122424MO=24+SV=27271m0.5m1m1m3mF=50kNMe=5kN.mAECDKB解：支座力为FA=81kNFB=29kNMA=96.5kN.m例题9：

用简易法作组合梁的剪力图和弯矩图。FAFBMAx设距K

截面为x

的截面上剪力Fs=0

。即=1.45m+81KN31KN29KN1m0.5m1m1m3mF=50kNMe=5kN.mAECDKBFAFBMAx9615.531553451m0.5m1m1m3mF=50kNMe=5kN.mAECDKFAFBMA单位:kN.m+中间铰链传递剪力（铰链左，右两侧的剪力相等）；但不传递弯矩（铰链处弯矩必为零）。1m0.5m1m1m3mF=50kNMe=5kN.mAECDKx9615.53155345单位:kN.m+x=1.45m+81KN31KN29KN+abcd18kN2kN14kN3m3m6m补充例题：已知简支梁，的剪力图作梁的弯矩图和荷载图。已知梁上没有集中力偶作用。CABDCABD解：画荷载图所以F(

)F=20kN+abcd18kN2kN14kN3m3m6mAB段：没有荷载，在B处有集中力，F=20kN。因为CABDF=20kNBC

段：无荷载CD段：有均布荷载

q(

)q=2kN+abcd18kN2kN14kN3m3m6m弯矩图AB段：向右下倾斜的直线dabc+abcd18kN2kN14kN3m3m6m54kN.m弯矩图dabc+abcd18kN2kN14kN3m3m6mBC段：向右上倾斜的直线CD段：向下凸的二次抛物线。

该段内弯矩没有极值。+54kN.m48kN.m补充例题：已知简支梁的弯矩图，作出梁的剪力图和荷载图。abcd解：作剪力图AB段：因为M(x)=常量，剪力图为水平直线，且Fs(x)=0

。40kN.m+abcd2m2m2mabcd20kNBC段：Fs(x)=常量,剪力图为水平直线CD段：剪力图为水平直线且

Fs(x)=040kN.m+abcd2m2m2mabcd20kN作荷载图ABCDAB段：无荷载。Me=40kN.m(

)Me在A处有集中力偶。40kN.m+abcd2m2m2mabcd20kN作荷载图ABCDMe40kN.m+abcd2m2m2mFF=20kN()B

处有集中力。集中力abcd20kN作荷载图ABCDMe40kN.m+abcd2m2m2mFBC段：无荷载。C处有集中力。集中力:F=20kN(

)CD段：无荷载。F§4.3平面曲杆的弯曲内力一、平面刚架1.平面刚架：同一平面内，不同取向的杆件，通过杆端相互刚性连接而组成的结构。特点：刚架各杆的内力有：Fs、M、N。2.内力图规定：弯矩图：画在各杆的受拉一侧，不注明正、负号。

剪力图及轴力图：可画在刚架轴线的任一侧（通常正值画在刚架的外侧），但须注明正、负号。例14试作图示刚架的内力图。F1F2alABC–FN

图F2Fs图F1F1aM图F1aF1a+F2lABCAB++F1二、曲杆（轴线为曲线的杆件）

[例15]已知：如图所示，F及R

。试绘制FS、M、

FN图。OFRqmmx解：建立极坐标，O为极点，OB

极轴，q表示截面m–m的位置。AB内力情况及绘制方法与平面刚架相同。OFRqmmxABABOM图OO+FS图FN图2FRFF–+mmFSM一、弯曲构件横截面上的应力

当梁上有横向外力作用时，一般情况下，梁的横截面上既又弯矩M，又有剪力FS.mmFSmmM

只有与正应力有关的法向内力元素

dFN=dA

才能合成弯矩.弯矩M

正应力s剪力FS

切应力t内力

只有与切应力有关的切向内力元素dFS=dA

才能合成剪力；

所以，在梁的横截面上一般既有正应力，又有切应力.§4.4

梁横截面上的正应力因此纯弯曲情况下，横截面上只有正应力二、分析方法

(Analysismethod)平面弯曲时横截面

纯弯曲梁(横截面上只有M而无FS的情况)平面弯曲时横截面横力弯曲(横截面上既有FS又有M的情况)ss

t

简支梁CD段任一横截面上，剪力等于零，而弯矩为常量，所以该段梁的弯曲就是纯弯曲.

若梁在某段内各横截面的弯矩为常量，剪力为零，则该段梁的弯曲就称为纯弯曲.三、纯弯曲（Purebending)++FF+FFaaCDAB一、实验（Experiment）1.变形现象（Deformationphenomenon)纵向线且靠近顶端的纵向线缩短，靠近底端的纵向线段伸长.相对转过了一个角度，仍与变形后的纵向弧线垂直.各横向线仍保持为直线，各纵向线段弯成弧线，横向线2.提出假设

(Assumptions）（a）平面假设：变形前为平面的横截面变形后仍保持为平面且垂直于变形后的梁轴线；（b）单向受力假设：纵向纤维不相互挤压，只受单向拉压.瑞士科学家Jacob.贝努力于1695年提出梁弯曲的平面假设。推论：必有一层变形前后长度不变的纤维—中性层中性轴横截面对称轴中性轴横截面对称轴⊥

中性层3.推论各横截面绕中性轴发生偏转。关于中性层的历史1620年，荷兰物理学家、力学家比克门首先发现中性层；英国科学家胡克于1678年也阐述了同样现象，但没有涉及中性轴的位置问题；法国科学家纳维于1826年，出版《材料力学》讲义，给出结论：中性轴过截面形心。dx图（b）yzxO应变分布规律：直梁纯弯曲时纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比.图（a）dx图（c）yρzyxO’O’b’b’ybbOO二、变形几何关系（Deformationgeometricrelation）三、物理关系(Physicalrelationship)所以Hooke’sLawMyzOx

直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴的距离成正比.应力分布规律：?待解决问题中性轴的位置中性层的曲率半径r??说明：到这一步，我们可推知正应力σ随y的变化规律，但还不能确定其值。yzxOMdAzyσdA四、静力关系

(Staticrelationship）

横截面上内力系为垂直于横截面的空间平行力系，这一力系简化得到三个内力分量.FNMzMy内力与外力相平衡可得（1）（2）（3）将应力表达式代入（1）式，得将应力表达式代入（2）式，得将应力表达式代入(3)式，得中性轴通过横截面形心自然满足将代入得到纯弯曲时横截面上正应力的计算公式:M为梁横截面上的弯矩；y为梁横截面上任意一点到中性轴的距离；Iz为梁横截面对中性轴的惯性矩.几点说明（1）纤维变形及应力都随y的增大而增大。若y为负，则产生压缩变形，应力为压应力。（2）公式适用于比例极限范围内，外力过形心主惯性平面。（3）当梁的l>5h时，上述公式可以推广到横力弯曲。（4）在实际计算中，通常M、y以绝对值代入，σ的符号由变形来判断。（5）由公式推导可知，公式不仅适用于矩形截面，而且适用于其它一些截面，如：T字形梁，工字形梁，圆截面梁，等等。同时我们可以给出各种梁的正应力分布情况。（6）一些工程实例：大桥做成拱状。赵州桥，最早的石拱桥。水泥预制板，中间做空，下面加筋（钢筋或竹筋）梁式起重机大梁，箱形截面或工字形截面。二、纯弯曲理论的推广横力弯曲时，在弯矩最大的截面上离中性轴最远处存在最大正应力

由于切应力对横截面上各点的弯曲正应力影响很小，所以对于横力弯曲仍可以沿用纯弯曲正应力公式：Wz称为抗弯截面系数，单位是m3或mm3。对于宽为b高为h的矩形截面：对于直径为d的圆形截面：限定最大弯曲正应力不得超过许用应力，于是强度条件为：设σt

表示拉应力，σc

表示压应力，则：塑性材料，

[σt]=[σc]=[σ]；

所以，工程中，一般对塑性材料选用中性轴同截面对称轴重合的截面形状。对脆性材料，则不将对称轴作中性轴，以充分利用材料的性能，使设计更经济合理。脆性材料，[σt]≠[σc]，且[σt]<[σc]三、梁的正应力强度条件弯曲正应力强度条件的应用：1、强度校核2、梁的截面尺寸设计3、确定许可载荷思考题1：观察建筑用的预制板的特征，并给出合理解释。P为什么开孔？为什么加钢筋？施工中如何安放？孔开在何处？可以在任意位置随便开孔吗？思考题2：你能解释一下托架开孔合理吗？托架会不会破坏？为降低重量，可在中性轴附近开孔。

试用弯曲正应力条件证明:从圆木锯出的矩形截面梁,上述尺寸比例接近最佳比值.dhb思考题3：从圆木中锯出的矩形截面梁，矩形的高:宽=？才能最有效利用材料？

意为矩形梁木的高:宽=3:2“凡梁之大小，各随其广分为三分，以二分为厚。”李诫《营造法式》

已知：F=10KN，a=1.2m[σ]=10MPa，h/b=2例1试：选择梁的截面尺寸。解：由对称性，可得：作弯矩图，由强度条件得：故：选取截面为：由图可得：已知：l=1.2m[σ]=170MPa，18号工字钢，不计自重。例2求：F的最大许可值。解：作弯矩图，得：故：查附录A表4，由：由图可得：已知：F1=8KN，F2=20KN，a=0.6m，IZ=5.33×106mm4

σb=240MPa，σbc=600MPa，安全系数n=4。例3试：校核梁的强度。解：作弯矩图，许用应力为：很容易求出：校核强度：截面A下边缘：截面A上边缘：截面C下边缘：故：满足强度要求由图可得危险截面弯矩：a一、梁横截面上的切应力1.矩形截面梁(Beamofrectangularcrosssection)

§4-5

梁的切应力及强度条件（1）两个假设(Twoassumptions)（a）切应力与剪力平行；（b）切应力沿截面宽度均匀分布（距中性轴等距离处切应力相等）.q(x)F1F2（2）分析方法(Analysismethod)（a）用横截面m-m,n-n从梁中截取dx一段.两横截面上的弯矩不等.所以两截面同一y处的正应力也不等；（b）假想地从梁段上截出体积元素mB1，在两端面mA1，nB1上两个法向内力不等.q(x)F1F2mmnnxdxmnnmxyzObdxm’m’hnyABA1B1ABB1A1mnxzyyḿFN2FN1mnnmxyzOyABA1B1bdxm’m’hnττ’（c）在纵截面上必有沿x

方向的切向内力dFS′.故在此面上就有切应力τ.

根据假设，横截面上距中性轴等远的各点处切应力大小相等.各点的切应力方向均与截面侧边平行.取分离体的平衡即可求出.ABB1A1mnxzyyFN1FN2dFS’ḿABB1A1mnxzyym’FN1FN2dFS’（3）公式推导(Derivationoftheformula)

假设m-m，n-n上的弯矩为M和M+dM，两截面上距中性轴y1处的正应力为1和2.A1为距中性轴为y的横线以外部分的横截面面积.式中：为面积A1对中性轴的静矩.A1化简后得由平衡方程A1ABB1A1mnxzyym’FN2FN1dFS’b欲求切应力的点处截面的宽度；yz整个横截面对中性轴的惯性矩.距中性轴为y的横线以外部分横截面面积对中性轴的静矩.（4）切应力沿截面高度的变化规律(Theshear-stressdistributionontherectangularcrosssection)沿截面高度的变化由静矩与y之间的关系确定.一、矩形截面梁的切应力式中：设距离中性轴为y的横线上切应力为τ：dzy若Fs已知,则有:二、工字形梁的切应力

此部分可近似运用矩形公式，它相当于几个矩形所构成，但矩形梁的条件是：h>>d所以仅有腹板可以用.说明:（1）腹板最上面的切应力不等于翼缘最下面的切应力，翼缘上不能用上述公式。（2）翼缘最外边缘处切应力为零，中间部分的切应力也很小，可忽略，但是水平切应力却较大，可用开口薄壁杆件的切应力公式求之（3）由于h>>b，，因此可以认为腹板上的切应力大致是均匀分布的，且误差很小。三、圆截面梁的切应力（2）同一层τ在y方向上的分量τy为常数.1、τ与Fs的方向不一致，如外边缘上的方向与切线一致。假设（1）同一层τ的方向如图，而z轴上,则τ与Fs的方向一致。zyABFsτy式中:Fs横截面上的剪力,Iz

圆截面对中性轴的惯性矩,d

切应力所在的弦长,Sz*

切应力所在弦的上方或下方面积对中性轴的静矩.

由上面的假设，对τy而言，就与对矩形截面所作的假设完全相同。于是，圆截面梁的切应力公式可表示为：τmaxτmax一定在中性轴(y=0)上,其方向和剪力一致,且误差<5%.说明：2、公式zyABFsτy四、弯曲切应力强度校核1、弯曲最大切应力其中，是中性轴一边的截面面积对中性轴的静矩。2、强度校核中性轴上的受力状态是纯剪切应力状态，故有A、梁的跨度较短，或在支座附近有较大载荷；B、铆接或焊接的工字形截面梁，腹板薄，而厚度大；C、薄壁截面梁；D、焊接或胶合而成的组合截面梁，其焊缝或胶合缝需要校核；E、木梁顺纹方向抗剪差。3、讨论（1）细长梁的强度控制因素主要是正应力，满足正应力强度的横截面一般都能满足切应力强度。（2）但如下情况需进行梁的切应力校核：已知：F=50KN，a=0.15m，l=1m，[σ]=160MPa，[τ]=100MPa，梁由工字钢制成。例4试：选择工字钢型号。解：（1）作剪力图和弯矩图，（2）选择截面查附表，选用10号工字钢由正应力强度条件，得：由图可得：（3）校核切应力强度查附表，对10号工字钢故：（4）重新选择截面查附表，改选用12.6号工字钢则：满足切应力强度条件。所以，最后选用12.6号工字钢§4.6梁的合理设计主要以此作为设计梁的依据从以下两方面来考虑：（1）合理安排梁的受力情况，以降低Mmax的值；（2）采用合理的截面形状，以提高Wz

的值，充分利用材料性能。1、合理布置支座的位置一、合理安排梁的受力情况x=0.207l的时候，最大弯矩减小了83%a=0.2l的时候，最大弯矩减小了20%1、由应力分布考虑经济系数：单位横截面积所产生的抗弯性能：说明（1）矩形梁竖放，而不横放。（2）截面积尽可能地远离中性轴，不用矩形，而选用工字形、槽形、或用加强板。2、由材料的性质看脆性材料：中性轴靠近受拉边。塑性材料：中性轴是对称轴。3、由结构的要求梁：矩形、工字形、槽形轴：圆形二、选择合理的截面形状伽利略1638年《关于两种新科学的对话和证明》“空心梁能大大提高强度，而无须增加重量，所以在技术上得到广泛应用。在自然界就更为普遍了，这样的例子在鸟类的骨骼和各种芦苇中可以看到，它们既轻巧而又对弯曲和断裂具有相当高的抵抗能力。”合理的放置Fbhbh竖放比横放更合理。三、等强度梁

使任一截面的最大正应力都相等或近似相等，或尽可能地充分利用材料。

横截面尺寸沿着梁轴线变化的梁称为变截面梁。

当梁的各横截面上最大正应力都等于材料的许用应力时，称为等强度梁。解：C点的应力C截面的弯矩由得

简支梁AB，在Ｃ截面下边缘贴一应变片，测得其应变ε=6×10-4，材料的弹性模量E=200GPa，求载荷F的大小。例5解：主梁AB的最大弯矩副梁CD的最大弯矩由:即:得:

主梁AB，