材料力学之动载荷

第三章动载荷1一、概述2/6/20232静载荷：作用在构件上的载荷是由零开始缓慢地增加到某一定值不再随时间改变。杆内各质点均处于静力平衡状态。各点加速度很小，可以忽略不计。动载荷：使构件产生明显的加速度的载荷或者随时间变化的载荷。例如：子弹放在钢板上，板不受损；若以高速射击，就可能击穿钢板；起重机从地面急剧地起吊重物，此时重物获得加速度，作用在吊索上的载荷就是动载荷。2/6/20233动应力：在动载荷作用下构件内产生的应力，记为。实验证明：在静载荷下服从虎克定律的材料，在承受动载荷时，只要动应力小于等于比例极限(<),胡克定律仍然有效，而且弹性模量E也与静载荷下的数值相同(即=)。四类问题：作匀加速直线运动和匀角速旋转的构件；在冲击载荷下构件的应力和变形的计算；交变应力。震动。2/6/20234二、等加速运动构件的应力计算

—惯性力法(动静法)2/6/202351、匀加速直线运动构件

动静法(达朗贝尔原理)即质点的惯性力与作用于质点的真实力组成平衡力系。在质点系运动的每一瞬时，虚加于每个质点上的惯性力和作用于质点系的外力组成平衡力系，这就是质点系的达朗贝尔原理。故惯性力是遍布于整个构件的体积内的体积力。

在惯性坐标系(与地球固连的参考坐标系)中，质点运动满足牛顿第二定律如引入惯性力即惯性力的方向与加速度a的方向相反，则有2/6/20236计算构件的加速度；将相应的惯性力作为外力虚加于各质点；作为静力平衡问题进行处理。设有等直杆：长l，截面积A,比重，受拉力F作用,以等加速度a运动，求：构件的应力、变形（摩擦力不计）。解：构件的加速度：

maF构件单位长度上的惯性力(惯性力集度)：动静法解题的步骤：2/6/20237amFxx用截面法求内力：根据平衡条件 ：应力：即动应力沿杆长作线性分布。0lx2/6/20238变形：dx整个杆件的绝对变形为：amFxx2/6/20239例1一吊车以匀加速度起吊重物Q,若吊索的横截面积为A，材料比重为，上升加速度为a，试计算吊索中的应力。QaxQx解：将吊索在x处切开，取下面部分作为研究对象。作用在这部分物体上的外力有：重物的重量：Q；x段的吊索重量：Ax，惯性力为：吊索截面上的内力：根据动静法，列平衡方程：2/6/202310吊索中的动应力为：当重物静止或作匀速直线运动时，吊索横截面上的静荷应力为：代入上式，并引入记号，称为动荷系数，则：2/6/202311动载荷作用下构件的强度条件为：式中的[]仍取材料在静载荷作用下的许用应力。动荷系数的物理意义：是动载荷、动荷应力和动荷变形与静载荷、静荷应力和静荷变形之比。因此根据胡克定律，有以下重要关系：式中

分别表示动载荷，动应力，动应变和动位移；分别表示静载荷，静应力，静应变和静位移。2/6/202312因此在解决动载荷作用下的内力、应力和位移计算的问题时，均可在动载荷作为静荷作用在物体上所产生的静载荷，静应力，静应变和静位移计算的基础上乘以动荷系数，即通常情况下， 。2/6/2023132、等角速度旋转的构件旋转圆环的应力计算一平均直径为D的薄壁圆环绕通过其圆心且垂直于圆环平面的轴作等角速度转动。已知转速为，截面积为A，比重为，壁厚为t。o解：等角速度转动时，环内各点具有向心加速度，且D>>t

可近似地认为环内各点向心加速度相同，。沿圆环轴线均匀分布的惯性力集度为：Dto2/6/202314圆环横截面上的内力：oxyd圆环横截面上的应力：式中是圆环轴线上各点的线速度。强度条件为：2/6/202315旋转圆环的变形计算在惯性力集度的作用下，圆环将胀大。令变形后的直径为，则其直径变化，径向应变为所以

由上式可见，圆环直径增大主要取决于其线速度。对于轮缘与轮心用过盈装配的构件，使用时转速应有限制，否则，转速过高有可能使轮缘与轮心发生松脱。2/6/202316例12-4如图12-6（a）所示钢轴AB的直径为80mm，轴上有一直径为80mm的钢质圆杆CD，CD垂直于AB。若AB以匀角速度=40rad/s转动。材料的许用应力[]=70MPa，密度为7.8g/cm3。试校核AB轴及CD杆的强度。

解（1）离C截面为x处的向心加速度为2/6/202317该处单位长度惯性力（图12-6(b))为（2）由平衡方程（图12-6(c)）得 G截面处轴向力为2/6/202318CDAB600600600xdx例2图示刚轴AB的直径为8cm,轴上有一直径为8cm的钢质圆杆

CD,CD垂直于AB。若AB以匀角速度=401/s转动。材料的

[]=70MPa,比重。试校核AB轴、CD杆的强度。解：单位长度惯性力：所以单位长度惯性力沿杆长线性分布。2/6/202319CDAB600600600xdx当x=0.6m时，当x=0.04m时，C所以CD杆中最大的轴力在D截面处：则CD杆中最大的应力为所以CD杆安全。2/6/202320600DAB600M图AB轴中最大的应力为所以AB轴安全。2/6/202321三、构件受冲击时的应力和变形计算

2/6/202322vQa受冲击的构件冲击物冲击问题的特点：结构（受冲击构件）受外力（冲击物）作用的时间很短，冲击物的速度在很短的时间内发生很大的变化，甚至降为零，冲击物得到一个很大的负加速度a。因此，采用能量法近似计算冲击时构件内的最大应力和变形。2/6/202323计算冲击问题时所作的假设：1、除机械能外，，所有其它能量损失，如塑性变形能、热能等均忽略不计。2、在整个冲击过程中，结构保持线弹性，即力和变形成正比。3、假定冲击物为刚体。只考虑其机械能，不计变形能。4、假定被冲击物为弹性体。只考虑其变形能，不计机械能（被冲击物质量不计）。2/6/202324根据能量守恒定律，即T+V=UT:冲击物接触被冲击物后，速度0，释放出的动能；V:冲击物接触被冲击物后，所减少的势能；U:被冲击构件在冲击物的速度0时所增加的变形能。2/6/202325根据计算冲击问题时所作的假设，工程实际上的梁、杆均可简化为弹簧来分析。现以一弹簧代表受冲构件，受重物Q,在高度H处落下的作用，计算冲击应力。QhABQhQh弹簧2/6/202326Qh弹簧设：受重物Q自高度h落下，冲击弹性系统后，速度开始下降至0，同时弹簧变形达到最大值。此时，全部动能转化为变形能，杆内动应力达最大值（以后要回跳）。就以此时来计算：释放出的动能（以势能的降低来表示）增加的变形能，在弹性极限内2/6/202327FQ被冲击构件增加的变形能U，应等于冲击载荷在冲击过程中所作的功。：冲击物速度为0时，作用于杆之力。于是变形能为根据能量守恒：T=U根据力和变形之间的关系：2/6/202328即解得：式中“+”对应的是最大变形，

“-”代表的是回跳到的最高位置。所以取正值。2/6/202329式中为冲击时的动荷系数其中是结构中冲击受力点沿受力方向在静载荷（大小为冲击物重量）作用下的位移。2/6/202330因为所以冲击应力为强度条件为2/6/2023311、若冲击物是以一垂直速度v作用于构件上，则由可得：2、若已知的是冲击物冲击前的能量，则由(为被冲击物在静荷

Q作用下的变形能)关于动荷系数的讨论:2/6/2023323、当h=0或v=0时，重物突然放在构件上，此时。4、不仅与冲击物的动能有关，与载荷、构件截面尺寸有关，更与有关。这是与静应力的根本不同点。构件越易变形，刚度越小，即“柔能克刚”。2/6/202333水平冲击时的动荷系数计算。Qvl解：根据能量守恒：冲击过程中释放的动能等于杆件增加的变形能。(a)(b)设：一重量为Q的重物以水平速度v撞在直杆上，若直杆的E、I、均为已知。试求杆内最大正应力。2/6/202334将(b)代入(a)式：解得：式中表示水平冲击时假设以冲击物重量大小的力沿水平方向以静载荷作用于冲击点时，该点沿水平方向的位移。2/6/202335所以即水平冲击时的动荷系数为杆内最大动应力为2/6/202336四、几个冲击实例的计算2/6/202337实例1等截面直杆的冲击拉伸应力lhQ已知：等截面直杆长为l，截面积为A，杆件的弹性模量为E，重物Q从高H处自由落下。解：静应力和静伸长分别为，动荷系数为冲击应力为可见：不仅与杆的截面积A有关，且与长度l、体积V=Al

有关。而且V，。2/6/202338实例2等截面简支梁的冲击弯曲应力已知：梁的抗弯刚度为EI，抗弯截面模量为W。在梁的中点处受到重物Q从高h处自由下落的冲击。解：梁中点处的静挠度为ABQhl/2l/2动荷系数最大冲击应力为可见：也与杆体积

V=Al有关。而且V，。2/6/202339ABQhl/2l/2k如果在B支座下加一弹簧，弹性系数为k，此时梁中点处的静挠度将变为即增大，动荷系数下降，使下降，此即弹簧的缓冲作用。2/6/202340实例3等截面圆轴受冲击扭转时的应力等圆截面圆轴上有飞轮，以等角速度转动，飞轮的转动惯量为,由于某种原因在A端突然刹车。求此时轴内的冲击应力。解：飞轮动能的改变量：轴的变形能(为冲击扭转力矩)2/6/202341由T=U得：解得：所以轴内冲击应力为（与体积V=Al有关）所以对于转轴，要避免突然刹车。2/6/202342例3起重机吊索下端与重物之间有一缓冲弹簧，每单位力引起的伸长为，吊索横截面面积，弹性模量，所吊重物质量为

Q=50KN。以等速

v=1m/s下降，在l=20m时突然刹车，求吊索内的应力(吊索和弹簧的质量不计)。vl解：根据重物冲击过程中释放的能量(包括动能和势能)转化为吊索增加的变形能计算。吊索和弹簧的静变形：在重物的速度v0的同时，吊索和弹簧的变形增加,即动变形为。所以=13.48cm2/6/202343因为（a）经过整理，(a)式变为解得变形增加量为vl2/6/202344吊索和弹簧的最大伸长量所以动荷系数为=1.87吊索内的应力vl2/6/202345如果吊索和重物之间没有弹簧，则由此可见弹簧所起的缓冲作用。vl