大学物理 第5章课件全

同学们好！第五章角动量角动量守恒定律刚体定轴转动定律角动量转动惯量角动量变化率力矩角动量定理角动量守恒定律空间旋转对称性学时：6重要性：大到星系，小到基本粒子都有旋转运动；微观粒子的角动量具有量子化特征；角动量遵守守恒定律，与空间旋转对称性相对应。§5.1

角动量转动惯量力矩一、角动量问题：将一绕通过质心的固定轴转动的圆盘视为一个质点系，则由于该系统质心速度为零，所以，系统总动量为零，系统有机械运动，总动量却为零？说明不宜用动量来量度转动物体的机械运动量。*引人与动量对应的角量——角动量（动量矩）大小：方向：右手螺旋法则1.质点的角动量xyzmo*质点对某参考点的角动量反映质点绕该参考点旋转运动的强弱。o例：玻尔氢原子理论假设之一：电子对核的角动量量子化oo2.质点系角动量系统内所有质点对同一参考点角动量的矢量和由第一项：即将质点系全部质量集中于质心处的一个质点上，该质点对参考点的角动量描述质点系整体绕参考点的旋转运动：第二项：质心对自己的位矢于是反映质点系绕质心的旋转运动，与参考点的选择无关，描述系统的内禀性质：第三项：各质点相对于质心角动量的矢量和3.定轴转动刚体的角动量即对的角动量：转轴角速度刚体上任一质点转轴与其转动平面交点绕圆周运动半径为转动平面刚体定轴转动的特点：(1)质点均在垂直于转轴的转动平面内，作半径不同的圆周运动；

(2)各质点的角速度大小相等，且均沿轴向。定义：质点对点的角动量的大小，称为质点对转轴的角动量。刚体对z

轴的总角动量为：式中刚体对轴的转动惯量刚体对z轴的总角动量为：对质量连续分布的刚体：式中刚体对轴的转动惯量二、刚体对轴的转动惯量1.定义刚体对定轴的转动惯量等于其各质点的质量与该质点到转轴距离的平方之积求和。若质量连续分布，则积分元选取：2.

计算刚体对轴的转动惯量J与刚体总质量有关与刚体质量分布有关与转轴的位置有关练习1.由长l的轻杆连接的质点如图所示，求质点系对过A垂直于纸面的轴的转动惯量2.

一长为的细杆，质量均匀分布，求该杆对垂直于杆，分别过杆的中点和一端端点的轴的转动惯量。解：(1)轴过中点(2)轴过一端端点3.求质量m,半径R

的球壳对直径的转动惯量解：取离轴线距离相等的点的集合为积分元4.求质量m,半径R的球体对直径的转动惯量解：以距中心，厚的球壳为积分元Ro注意：

对同轴的转动惯量才具有可加减性。平行轴定理正交轴定理对平面刚体证明见教材80页教材P.81一些均匀刚体的转动惯量表练习求长L、质量m的均匀杆对z轴的转动惯量解一：解二：解三：三、角动量的时间变化率力矩1、质点角动量的时间变化率质点位矢合力m定义：2、力矩1)对参考点的力矩大小：方向：服从右手螺旋法则2)对轴的力矩第一项方向垂直于轴，其效果是改变轴的方位，在定轴问题中，与轴承约束力矩平衡。第二项方向平行于轴，其效果是改变绕轴转动状态，称为力对轴的矩，表为代数量：即：力在转动平面内的分量轴与转动平面的交点o到力作用点的位矢力对o

点的力矩在z轴方向的分量注意：1.力矩求和只能对同一参考点（或轴）进行。矢量和代数和2.3、质点系角动量的时间变化率对个质点组成的质点系，由可得两边求和得于是：质点系总角动量的时间变化率等于质点系所受外力矩的矢量和(合外力矩)注意：合外力矩是质点系所受各外力矩的矢量和，而非合力的力矩。由图可知[例]质量为，长为的细杆在水平粗糙桌面上绕过其一端的竖直轴旋转，杆与桌面间的摩擦系数为，求摩擦力矩。

1)杆的质量均匀分布

2)杆的密度与离轴距离成正比解1）解2）设杆的线密度实际意义半径R

，质量m的匀质圆盘，与桌面间摩擦系数µ，求摩擦力矩等效简化模型：长R

，线密度总质量m

的细杆本讲内容：三个基本概念1.角动量质点质点系定轴刚体2.转动惯量3.力矩同学们好上讲内容：三个基本概念1.角动量质点质点系定轴刚体2.转动惯量3.力矩§5.2

角动量定理一、角动量定理的微分形式1.质点质点角动量的时间变化率等于质点所受的合力矩0质点系总角动量的时间变化率等于质点系所受外力矩的矢量和。内力矩只改变质点系总角动量在系内的分配，不影响总角动量。2.质点系3.定轴刚体比较由得是物体转动惯性的量度。是物体平动惯性的量度。改变物体平动状态的原因改变物体绕轴转动状态的原因刚体定轴转动定律例:

一定滑轮的质量为，半径为，一轻绳两边分别系和两物体挂于滑轮上，绳不伸长，绳与滑轮间无相对滑动。不计轴的摩擦，初角速度为零，求滑轮转动角速度随时间变化的规律。已知：求：思路：先求角加速度解：在地面参考系中，分别以为研究对象，用隔离法，分别以牛顿第二定律和刚体定轴转动定律建立方程。以向下为正方向以向上为正方向思考：×+以顺时针方向为正方向四个未知数：三个方程？绳与滑轮间无相对滑动，由角量和线量的关系：解得：

如图示，两物体质量分别为和，滑轮质量为，半径为。已知与桌面间的滑动摩擦系数为，求下落的加速度和两段绳中的张力。解：在地面参考系中，选取、和滑轮为研究对象，分别运用牛顿定律和刚体定轴转动定律得：练习向里+列方程如下：可求解例.

质量为M

的匀质圆盘，可绕通过盘中心垂直于盘的固定光滑轴转动，绕过盘的边缘有质量为

m、长为l的匀质柔软绳索（如图）。设绳与圆盘无相对滑动，试求当圆盘两侧绳长差为s

时，绳的加速度的大小。解：在地面参考系中，建立如图x坐标，设滑轮半径为r有：ox1x2sMABrxox1x2sMABrxCBCA用隔离法列方程:(以逆时针方向为正)T1JT2.CAT1mAg.CBT2mBg解得：二、角动量定理的积分形式积分形式（有限时间过程）微分形式(瞬时效应)质点质点系定轴刚体注意:1.力矩对时间的积累：角冲量定义：效果：改变角动量3.同一式中，等角量要对同一参考点或同一轴计算。一定时间过程的变化量与对应时间变化率与对应2.比较：一定时间过程的变化量与对应时间变化率与对应三、旋进——角动量定理的应用举例1、陀螺若，则在重力矩作用下，陀螺将绕垂直于板面的轴转动，即倒地。(2)当时，重力矩将改变的方向，而不改变的大小(因)。最终效果：陀螺绕竖直轴旋转

——

旋进旋进角速度2.车轮的旋进（演示）讨论：

改变的方向，旋进方向是否改变？改变配重G，对旋进有什么影响？用外力矩加速（或阻碍）旋进，会发生什么现象？3.回转仪实验：如图所示的杠杆陀螺仪。当陀螺仪高速旋转时，移动平衡物B，杆不会倾斜，而是在水平面内绕O旋转。这种运动称为旋进运动，它是在外力矩作用下产生的回转效应。4、炮弹的旋进c5、旋进现象在自然界广泛存在：地球的旋进；用电子在外磁场中的旋进解释物质的磁化的本质；…...大作业：物理现象的观察和分析录象：1-2-9②角动量定理

1-2-9③角动量守恒同学们好！§5.3

角动量守恒定律一、角动量守恒定律分量式：对定轴转动刚体，当时，由角动量定理：当时，恒矢量研究对象：质点系当质点系所受外力对某参考点（或轴）的力矩的矢量和为零时，质点系对该参考点（或轴）的角动量守恒。角动量守恒定律：注意1.守恒条件：或能否为2.与动量守恒定律对比：当时，恒矢量恒矢量当时，彼此独立请看:猫刚掉下的时候，由于体重的缘故，四脚朝天，脊背朝地，这样下来肯定会摔死。请你注意，猫狠狠地甩了一下尾巴，结果，四脚转向地面，当它着地时，四脚伸直，通过下蹲，缓解了冲击。那么，甩尾巴而获得四脚转向的过程，就是角动量守恒过程。为什么猫从高处落下时总能四脚着地？

角动量守恒现象举例适用于一切转动问题，大至天体，小至粒子...直升飞机的尾翼要安装螺旋桨？为什么银河系呈旋臂盘形结构？体操运动员的“晚旋”芭蕾、花样滑冰、跳水…...茹科夫斯基凳实验例.

一半径为R、质量为

M的转台，可绕通过其中心的竖直轴转动,质量为m的人站在转台边缘，最初人和台都静止。若人沿转台边缘跑一周(不计阻力)，相对于地面，人和台各转了多少角度？R选地面为参考系，设对转轴人：J,;台：J´,´解：系统对转轴合外力矩为零，角动量守恒。以向上为正：设人沿转台边缘跑一周的时间为t：人相对地面转过的角度：台相对地面转过的角度：二.有心力场中的运动物体在有心力作用下的运动力的作用线始终通过某定点的力力心有心力对力心的力矩为零，只受有心力作用的物体对力心的角动量守恒。应用广泛，例如：天体运动（行星绕恒星、卫星绕行星...）

微观粒子运动（电子绕核运动；原子核中质子、中子的运动一级近似；加速器中粒子与靶核散射...）例.

P.1005-18解：卫星~质点m

地球~均匀球体对称性：引力矢量和过地心对地心力矩为零卫星

m

对地心o

角动量守恒O

dFmdmdm’dF1dF2h2h1已知:地球R=6378km

卫星近地:h1=439km

v1=8.1kms-1

远地:h2=238km

求

:v2卫星m对地心o

角动量守恒增加通讯卫星的可利用率探险者号卫星偏心率高近地远地h2h1地球同步卫星的定点保持技术卫星轨道平面与地球赤道平面倾角为零严格同步条件轨道严格为圆形运行周期与地球自转周期完全相同（23小时56分4秒）地球扁率，太阳、月球摄动引起同步卫星星下点漂移（p.43图3.5-8)用角动量、动量守恒调节~定点保持技术研究微观粒子相互作用规律自学教材P.94[例五]三、角动量守恒与空间旋转对称性（了解）空间绝对位置是不可测量的空间具有平移对称性动量守恒空间绝对方向是不可测量的

空间具有旋转对称性角动量守恒空间各向同性：各方向对物理定律等价。孤立系统在某个角位置具有角动量，则在其它角位置也应具有相同的角动量，即孤立系统角动量守恒。当有力矩作用于质点系时，力矩的方向为一可测量方向，空间旋转对称性发生破缺。因此，角动量将不再守恒，其规律为角动量定理：第五章角动量角动量守恒习题课复习提要：一、转动惯量二、角动量

质点质点系定轴刚体三、力矩

质点质点系定轴刚体五、角动量守恒四、角动量定理例.已知：两平行圆柱在水平面内转动，求：接触且无相对滑动时.o1m1R1.o2R2m2o1.o2.解一：因摩擦力为内力，外力过轴，外力矩为零，则：J1+J2系统角动量守恒，以顺时针方向为正：接触点无相对滑动：又：联立1、2、3、4式求解，对不对？o1.o2.问题：(1)式中各角量是否对同轴而言？

(2)J1+J2

系统角动量是否守恒？问题：(1)式中各角量是否对同轴而言？

(2)J1+J2

系统角动量是否守恒？分别以m1,m2

为研究对象，受力如图：o2F2o1.F1f1f2系统角动量不守恒！解二：分别对m1,m2用角动量定理列方程设：f1=f2=f，以顺时针方向为正m1对o1轴：m2对o2轴：接触点：o2F2o1.F1f1f2联立各式解得：解一：m

和m2系统动量守恒

mv0=(m+m2)v解二：m

和(m+m2)系统动量守恒mv0=(m+m1+m2)v解三：mv0=(m+m2)v+m12v以上解法对不对？m2m1mA例.

已知：轻杆，m1=m,m2=4m,油灰球m，

m以速度v0撞击m2，发生完全非弹性碰撞

求：撞后m2的速率v?因为相撞时轴A作用力不能忽略不计，故系统动量不守恒。因为重力、轴作用力过轴，对轴力矩为零，故系统角动量守恒。由此列出以下方程：或：得：m2m1mNyNxA注意：区分两类冲击摆

水平方向：Fx=0，px

守恒

mv0=(m+M)v

对o

点：，守恒mv0l=(m+M)vl质点

定轴刚体（不能简化为质点）olmMFyFx(2)轴作用力不能忽略，动量不守恒，但对o

轴合力矩为零，角动量守恒(1)olmM质点质点柔绳无切向力回顾作业P.724-10mMFOA、B、C系统不守恒；A、B、C系统对o轴角动量守恒回顾作业P724-11C

BNxNyAo练习：已知m=20克，M=980克,v0=400米/秒，绳不可伸长。求m

射入M

后共同的v=?哪些物理量守恒？请列方程。解：m、M系统水平方向动量守恒（Fx=0)竖直方向动量不守恒（绳冲力不能忽略）对o

点轴角动量守恒（外力矩和为零）omM或：v=4m·s-1得：解：碰撞前后AB棒对O的角动量守恒思考：碰撞前棒对O角动量L=?

碰撞后棒对O角动量=？例.

已知：匀质细棒m,

长2l

；在光滑水平面内以v0

平动，与支点O

完全非弹性碰撞。

求：碰后瞬间棒绕O

的v0clBAl/2l/2

O撞前：(1)(2)各微元运动速度相同，但到O距离不等，棒上段、下段对轴O角动量方向相反设垂直向外为正方向，总角动量：质元角动量：线密度：取质元：xdm-l/23l/2撞后：令得：例.

P.1005-17