博弈论全套上课课件ch2 完全信息静态博弈

第二章完全信息静态博弈2主要内容完全信息静态博弈的一般分析方法纳什均衡概念经典模型及其应用混合战略纳什均衡3基础理论１、博弈的标准式２、严格劣战略（占优战略）３、纳什均衡４、纳什均衡的寻找方法4垃圾处理博弈背景：琼斯先生和史密斯先生在郊区各拥有一套周末别墅，该地区不提供垃圾日常处理服务。若共同雇一辆卡车处理垃圾，每人每年需支付500美元。或者，琼斯可以将垃圾倒在史密斯房子旁边的一块属于自己的空地上，史密斯也可以将垃圾倒在琼斯房子旁边的一块属于自己的空地上。5垃圾处理博弈周末别墅带给两位主人的收益是他们的主观享受。他们能够接受的最低出租价格可以做为别墅带给他们主观享受的货币价值。如果别人不在别墅附近倒垃圾，别墅带给每位房主的年收益假定为5000美元，如果有人倒垃圾，则为4000美元。6垃圾处理博弈的标准式4500，45003500，50005000，35004000，4000史密斯琼斯倾倒雇卡车倾倒雇卡车7垃圾处理博弈的合作解4500，45004000，40004000，40004000，4000史密斯琼斯拒绝接受拒绝接受8博弈的标准式表述：一般情况博弈的参与者；每一参与者可供选择的战略集；针对所有参与者可能选择的战略组合，每一个参与者获得的收益。9博弈的标准式表述：定义战略空间：博弈方的第个战略：博弈方的收益：定义：在一个n人博弈的标准式表述中，参与者的战略空间为，收益函数为，我们用表示此博弈。10思考在两寡头的产量博弈里，企业

是参与人，产量是战略空间，利润是

支付；其战略式表述为：11２、占优战略vs严格劣战略占优战略：不论其他人选择什么战略，参与人的最优战略是唯一的，这样的最优战略称为“占优战略”(dominantstrategy)。12占优战略均衡定义：在博弈的战略表达式中，如果对于所有的i，si*是i的占优战略，下列战略组合称为占优战略均衡：13占优战略均衡注意：如果所有人都有（严格）占优战略存在，那么占优战略均衡就是可以预测的唯一均衡。占优战略只要求每个参与人是理性的，而不要求每个参与人知道其他参与人是理性的（也就是说，不要求理性是共同知识）。为什么？14智猪博弈

5，14，49，-10，0等待小猪大猪按等待按等待是小猪的严格占优战略大猪有无严格占优战略？4大于10大于-115教科书博弈张教授和李教授都在写博弈论方面的教科书。两本教科书质量相同，但篇幅长短不同。如果有两本同样题材、同样质量的书，教师或学生们通常会选择篇幅长一点的那本。但书写得越长，要付出的努力就越多。每位作者有三个战略可供选择：400页、600页、800页。16教科书博弈:

重复剔除的占优均衡张教授李教授400页600页800页400页45，4515，5010，40600页50，1540，4015，45800页40，1045，1535，3517３、纳什均衡纳什均衡：在博弈中，如果由各个博弈方的各一个策略组成的某个策略组合中，任一博弈方的策略，都是对其余博弈方策略的组合的最优反应战略，也即

对任意都成立，则称为的一个纳什均衡。18纳什均衡与占优均衡的关系每个占优战略均衡也是一个纳什均衡。但不是每个纳什均衡都是占优均衡。纳什均衡占优均衡19例：选址博弈东方和新百是两家百货公司，他们要选一个地方建一家百货商场。可供选择的地址有四个：市郊、市中心、城市东部、城市西部。两家公司的收益矩阵如下表所示。市郊市中心城市东部城市西部市郊30，4050，9555，9555，120市中心115，40100，100130，85120，95城市东部125，4595，6560，40115，120城市西部105，5075，7595，9535，55东方新百20４、求解方法

（1）划线法1，01，30，10，40，22，0-5，-50，-8-8，0-1，-1囚徒困境-1，11，-11，-1-1，1猜硬币2，10，00，01，3夫妻之争21（2）箭头法1，01，30，10，40，22，0-5，-50，-8-8，0-1，-1囚徒困境-1，11，-11，-1-1，1猜硬币2，10，00，01，3夫妻之争22（3）重复剔除严格劣战略1，01，30，10，40，22，0左中右上下1，01，30，40，2左中1，01，3左中１２23重复剔除严格劣战略的缺陷1、假定“参与者是理性的”是共同知识。2、预测结果不精确。2，10，00，01，2芭蕾女男足球芭蕾足球24应用部分古诺模型伯川德模型豪泰林模型公共地的悲剧25一、古诺模型基本假设：产品是同质的；有两个企业，后被推广为几个企业；每个企业的边际成本不变；企业同时确定其产出水平，并相信竞争对手企业的产出水平保持不变。两企业无串谋行动，企业的行动均是独立的。26(一)两个卖方的博弈假定一个有两个企业的行业，它可由每个企业i（生产qi单位）的成本函数概括，而成本函数由下式给出：

TCi(qi)=ciqi，i=1，2，其中，c2，c1≥0，市场需求函数为

p(Q)=a-bQ，a，b＞0，a＞ci，其中

Q=q1+q2

支付函数即利润函数

π(q1，q2)=p(q1+q2)qi-TC(qi)

企业选择qi∈Ai≡[0，∞），i=1，2

27(一)两个卖方的博弈定义1如果1.(a)给定满足Max(b)给定满足Max2.则三元数组是一个古诺—纳什均衡。28(一)两个卖方的博弈反应函数q1●的情形29(一)两个卖方的博弈在均衡点处

行业总产出古诺均衡价格企业i的古诺利润（支付）水平为企业i和j的单位成本函数，其中i=j30(二)古诺均衡、竞争均衡和企业串谋比较假定：双寡头面临的线性需求曲线：P=30-Q；Q=Q1+Q2；边际成本：MC1=MC2=0厂商1总收益TR1=PQ1=（30-Q）Q1=30Q1-Q21-Q1Q2厂商1的边际收益：MR1=30-2Q1-Q2

利用利润最大化条件MR1=MC1=0，则厂商1的反应函数或反应曲线为：Q1=15-0.5Q2

；同理，可得厂商2的反应曲线：Q2=15-0.5Q1；均衡产量水平就是两条反应曲线交点，即Q1、Q2方程组的解。求得古诺均衡：产量水平Q*1=Q*2=10；均衡价格P*=30-Q=10。31(二)古诺均衡、竞争均衡和企业串谋比较若假定两寡头可以串谋（类似完全垄断），他们能共同确定产量以使总利润最大化。TR=PQ=（30-Q）Q=30Q-Q2

、MR=30-2Q；

MR=MC=0，求得Q*=15时总利润最大。如果两厂商同意平分利润，每个寡头厂商将各生产总产量的一半，即Q1=Q2=7.5；其实，任何相加为15的产量Q1和Q2的组合都使总利润最大化。因此，把Q1+Q2=15称为契约曲线，而Q1=Q2=7.5是契约曲线上的一个点。32(二)古诺均衡、竞争均衡和企业串谋比较假定两寡头按完全竞争市场定价：求得当价格等于边际成本时，Q1=Q2=15，各厂商的利润为零。从三个均衡产量可以看到：竞争性均衡：价格最低，产量最高，利润为零；串谋均衡：价格最高，产量最低，利润最高；古诺均衡：价格、产量和利润介于两种市场之间。33(二)古诺均衡、竞争均衡和企业串谋比较34(三)N个卖方的博弈假定行业由N个企业组成；有相同的成本函数企业1：对上式求导，令其等于零。得到企业1的最优反应函数：

35(三)N个卖方的博弈由于所有企业是一样的，我们推测在古诺均衡中，企业将生产相同的产出水平。根据反应函数，得均衡价格与每个企业的利润水平分别为与36(三)N个卖方的博弈当N=1时，得到垄断解当N=2时，双头垄断解当N∞时，结果与竞争市场结构大致相同37(四)古诺均衡与福利社会福利=消费者剩余+行业总利润行业总利润消费者剩余社会总福利38(四)古诺均衡与福利PPQ39二、伯川德模型假定企业选择价格而不是产出水平；有两个企业，消费者总是从最便宜的卖方购买，如果两个卖方收取价格相同，一般消费者从企业1购买，另一半从企业2购买。40二、伯川德模型如果1、给定满足2、给定满足3、和满足假定，则四元数组是一个伯川德-纳什均衡。41(一)求解伯川德均衡命题1、如果企业有相同的成本结构（c2=c1≡c）,

则伯川德均衡为和42(一)求解伯川德均衡2、如果c2-c1>，为最小可能的货币单位，则

构成一个伯川德均衡。43(一)求解伯川德均衡伯川德竞争模型P2P1450P1*(P2)P2*(P1)0N44(二)伯川德悖论市场上企业间的价格竞争并没有使均衡价格降到等于边际成本这一水平。451、Edgeworth解生产能力有限，短期不能扩大生产。假设超过一定产出水平（生产能力），扩大生产的成本是无限的；两个企业，c1=c2=0；消费者1的保留价格为3美元，消费者2的为2美元，消费者3的为1美元，消费者4的为0美元。p12341234Q462、重复博弈伯川德价格模型假定两企业只竞争一次，当期的决策不影响下期，也不受上一期的影响。如果企业进行无限次定价的重复博弈时，将产生高于边际成本均衡价格的结果。473、产品差异化伯川德模型假定产品同质，可以完全替代。现实：产品存在差异：产品本身、服务、地域等。48三、Hotelling豪泰林模型假设有一个长度为１的直线城市，消费者均匀地分布于［０，１］区间内。有两家企业。它们出售的产品性能相同，每家企业提供单位产品的成本为c。每个消费者购买一单位该产品。消费者单位距离的交通成本为t。49（一）固定价格的位置博弈当价格给定时，两家企业位置博弈的纳什均衡为：两家企业都位于城市的中间。x1-x商店1商店2x50x1-x商店1商店2x（二）固定位置的价格博弈１、两家企业分别位于城市两端。51（二）固定位置的价格博弈在该博弈中，两个参与者为企业1和企业2，其可选择的策略分别为各自的价格P1、P2。设Di（P1,P2）为需求函数，i＝1，2。若住在x的消费者在两个企业之间是无差异的，则所有在x左边的消费者都将在企业1购买，所有住在x右边的消费者都将在企业2购买，需求分别为D1=x，D2=1－x。x满足：p1+tx=p2+t(1-x)52（二）固定位置的价格博弈由此式可求得两企业的需求函数：53（二）固定位置的价格博弈利润函数分别为：企业选择各自的价格，最大化其利润：两企业的纳什均衡解：p1*=p2*=c+t；D1=D2=1/2两企业的均衡得益为：54（二）固定位置的价格博弈２、企业不固定在城市两端x1-xa1-b商店1商店255（二）固定位置的价格博弈假定企业1位于a≥0,企业2位于1-b(b≥0)，不失一般性，假定1-b>a，即企业1位于企业2的左边。

x表示从企业1和企业2购买无差别的顾客。如果a<x<1-b,则p1+t(x-a)=p2+t(1-b-x)因此，56（二）固定位置的价格博弈由此式可求得两企业的需求函数：分别写出两企业的利润函数，求得均衡价格：57（二）固定位置的价格博弈企业1、2的均衡市场份额和利润分别为：58（二）固定位置的价格博弈如果a=b，市场就在两个企业之间等分，如情况1。如果a+b=1，即两个企业定位在同一点，p1=p2=0就是唯一的均衡。当且仅当两个企业不太接近时，唯一均衡存在。59（三）位置与价格博弈企业使用价格和位置作为策略的博弈不存在均衡。a1-b商店1商店2604、公共地的悲剧公共资源：没有个人或企业拥有所有权；大家都可以自由使用。一方面：如果公民只关注个人福利，公共品就会出现短缺；另一方面，如果公民只关注个人福利，公共资源也会过度使用。61公共地的悲剧有n个农民的村庄共同拥有一片草地，每年夏天所有村民都在村庄公共的草地上放牧.gi：第i个农民养羊的数量，i=1,2,…,n.n个农民饲养的总量V:

代表每只羊的平均价值,v是G的函数,v=v(G),由于一只羊要生存至少需要一定数量的青草,，草地可以放牧羊的总数有一个上限Gmax,：当G<Gmax时,v(G)>0;当G>=G(x)时,v(G)=0。62公共地的悲剧当草地上羊很少时，增加一只羊也许不会对其他羊的价值有太大影响，但随着羊的不断增加，每只羊的价值将急剧下降。GGmaxv参与人：农民战略：养羊的数量支付：利润63公共地的悲剧假设购买和照看一只羊的成本为c，c不随养羊数目多少而变化。当其他村民养羊数量为

对于农民i，其利润函数为：（4.1）最优化的一阶条件为：（4.2）上述一阶条件可以解释为：增加一只羊有正负两方面的效应，正的效应是这只羊本身的价值v，负的效应是这只羊使所有之前的羊的价值降低。

64公共地的悲剧上述n个一阶条件定义了n个反应函数：因为所以：第i个村民的最优饲养量随其他农民的饲养量的增加而递减。65公共地的悲剧纳什均衡纳什均衡的总饲养量为尽管每个村民在决定自己增加饲养量时考虑了对现有羊价值的影响，但是他考虑的只是对自己羊的影响，而并不是对所有羊的影响，因此，最优点上的个人边际成本小于社会边际成本，纳什均衡总饲养量大于社会最优饲养量。

66公共地的悲剧纳什均衡的总饲养量：把所有村民的一阶条件加总，然后再除以n，得：

(4.3)其中表示67公共地的悲剧全社会的最优饲养量应满足：它的一阶条件为：

(4.4)与（4.3）相比可知：68公共地的悲剧公共地的悲剧证明：如果一种资源没有排他性的所有权，就会导致资源的过度使用。公海捕鱼小煤窑的过度发展……69实例公共草地养羊问题假设n=3，c=4每只羊的收益函数为70合作：总体利益最大化竞争：个体利益最大化71反应函数的问题和局限性在许多博弈中，博弈方的策略是有限且非连续时，其得益函数不是连续可导函数，无法求得反应函数，从而不能通过解方程组的方法求得纳什均衡。即使得益函数可以求导，也可能各博弈方的得益函数比较复杂，因此各自的反应函数也比较复杂，并不总能保证各博弈方的反应函数有交点，特别不能保证有唯一的交点。72三、混合战略和

混合战略纳什均衡

1-1，

-11，-11，1-1，反面正面反面正面没有一个战略组合构成纳什均衡猜硬币博弈73混合战略纳什均衡警察与小偷银行酒馆警察小偷2万元1万元东边西边警察与小偷的最优策略各是什么？74混合战略和混合战略纳什均衡社会福利博弈

23，

3-1，1-1，00，流浪流浪汉政府救济不救济寻找工作75混合战略纳什均衡上述博弈的特征是：在这类博弈中，都不存在纯纳什均衡。参与人的支付取决于其他参与人的战略；以某种概率分布随机地选择不同的行动每个参与人都想猜透对方的战略，而每个参与人又不愿意让对方猜透自己的战略。这种博弈如何找到均衡？761、混合战略Si中的战略为i的纯战略。参与者i的一个混合战略是其在战略空间Si中战略的概率分布。猜硬币博弈中，参与者的有两个纯战略，分别为正面和背面；参与者i的一个混合战略为概率分布（q，1-q）77混合战略参与者2有三个纯战略，他的一个混合战略为概率分布（q，r，1-q-r）（1/3，1/3，1/3）（1/2，1/2，0）（1，0，0）1，01，30，10，40，22，0左中右上下１２78混合战略定义：对标准式博弈假设。那么，参与者i的一个混合战略为概率分布其中对所有且79混合战略纳什均衡在n个参与人博弈的战略式表述混合战略组合是一个纳什均衡，如果对于所有的i=1，2，…，n，下式成立：802、求解混合战略纳什均衡（１）一个数值例子。博弈方1的混合策略博弈方2的混合策略2，35，23，11，5CDAB博弈方2博弈方1

策略得益博弈方1（0.8，0.2）2.6博弈方2（0.8，0.2）2.681（２）猜硬币博弈-1，11，-11，-1-1，1正面反面猜硬币方盖硬币方正面反面82

1-1，

-11，-22，2-2，西边东边西边东边(3)小偷警察博弈警察抽签决定去银行还是酒馆，2/3的机会去银行，1/3的机会去酒馆；同样，小偷也抽签决定去银行还是酒馆，2/3的机会去酒馆，1/3的机会去银行。83如何寻找混合战略纳什均衡？收益最大化法收益等值法由于混合战略伴随的是支付的不确定性，因此参与人关心的是其期望收益。最优混合战略：是指使期望收益函数最大的混合战略（给定对方的混合战略）在两人博弈里，混合战略纳什均衡是两个参与人的最优混合战略的组合。84（4）社会福利博弈

23，

3-1，1-1，00，流浪流浪汉政府救济不救济寻找工作即：流浪汉以0.2的概率选择寻找工作，0.8的概率选择游荡。收益最大化法2.00151510111311*==-=¶¶--=-+--+--+=-=-=ggqggqggqggqssggsqqs故化的一阶条件：求导，得到政府最优）（））（）（（）））（（（），（：政府的期望效用函数为）。，（流浪汉的混合战略是）；，（假定政府的混合战略是GLGLGvv85请问：政府的最优混合战略是什么？

23，

3-1，1-1，00，流浪流浪汉政府救济不救济寻找工作86混合战略纳什均衡θ*=0.5政府救济的概率：1/2；不救济的概率：1/2。流浪汉：寻找工作的概率：0.2；流浪的概率：0.8每个参与人的战略都是给定对方混合战略时的最优战略。87混合战略纳什均衡假定最优混合战略存在，给定流浪汉选择混合战略（r，1-r），政府选择纯战略救济的期望效用为：

3r+（-1）（1-r）=4r-1选择纯战略不救济的效用为：-1r+0（1-r）=-r如果一个混合战略是政府的最优选择，一定意味着政府在救济与不救济之间是无差异的。

4r-1=-rr=0.2

23，

3-1，1-1，00，流浪流浪汉政府救济不救济寻找工作收益等值法88混合战略纳什均衡对的解释：如果流浪汉以找工作的概率小于0.2,则政府选择不救济,如果大于0.2,政府选择救济,只有当概率等于0.2时,政府才会选择混合战略或任何纯战略.对*=0.5的解释如果政府救济的概率大于0.5,流浪汉的最优选择是流浪,如果政府救济的概率小于0.5,流浪汉的最优选择是寻找工作.89混合战略纳什均衡纳什均衡要求每个参与人的混合战略是给定对方的混合战略下的最优选择。因此在社会福利博弈中，，*=0.5是唯一的混合战略纳什均衡。90流浪汉寻找工作的概率小于0.2政府概率为1：不救济流浪汉寻找工作政府救济91混合战略纳什均衡的反应曲线rθ110.50.292（5）监督博弈a是应纳税款，C是检查成本，F是罚款假设C<a+F求解混合战略纳什均衡。a-C+F，-a-Fa-C，-a0，0a，-a逃税不逃税纳税人税收部门检查不检查933、混合战略和纯战略同时存在的均衡性别战的混合战略纳什均衡2，10，00，01，3时装足球时装足球丈夫妻子性别战妻子的混合策略丈夫的混合策略夫妻之争博弈的混合策略纳什均衡策略得益博弈方1（0.75，0.25）0.67博弈方2（1/3，2/3）0.7594性别战博弈rq111/33/4(r,1-r)：妻子的混合策略概率分布(q,1-q)：丈夫的混合策略概率分布95不同均衡概念的关系占优均衡DSE纯战略纳什均衡PNE混合战略纳什均衡MNE96三、多重纳什均衡的选择和分析方法纳什均衡的多重性性别战、斗鸡博弈、分蛋糕博弈纳什均衡是参与人如何博弈的一致性预测；当一个博弈有多个纳什均衡时，要所有参与人预测同一个纳什均衡会出现时非常困难的。971、帕累托占优均衡（鹰鸽博弈）这个博弈中有两个纯策略纳什均衡，（战争，战争）和（和平，和平），显然后者帕累托优于前者，所以，（和平，和平）是本博弈的一个帕累托占优均衡。-5，-5-10，88，-1010，10战争和平国家2战争和平国家1战争与和平982、风险占优均衡。9，98，00，87，7LR博弈方2UD博弈方1帕累托占优均衡（U，L）风险占优均衡（D，R）5，53，00，33，3鹿兔子猎人2鹿兔子猎人1猎鹿博弈风险占优均衡（兔子，兔子）993、聚点均衡Schelling（1960）：在现实生活中，参与人可能使用某些被博弈模型抽象掉的信息来达到一个“聚点”均衡Focalpoint。社会文化习惯、参与人过去博弈的历史，或者其他各种特征都可能是聚点均衡的依据。城市博弈（城市分组相同）、提名博弈（相同宣布一个时刻）1003、聚点均衡廉价磋商cheaptalk

参与人在博弈开始前的沟通。事前磋商也不能完全保证（U，L）的出现。9，98，00，87，7LR博弈方2UD博弈方19，90，00，