单自由度强迫振动

第3章单自由度系统强迫振动系统在外部激励作用下的振动称为受迫振动或强迫振动。自由振动只是系统对初始扰动(初始条件)的响应。由于阻尼的存在,振动现象很快就会消失。要使振动持续进行，必须有外界激励输入给系统,以补充阻尼消耗的能量。所谓谐和激励就是正弦或余弦激励。3.1单自由度系统在谐和激振下的强迫振动3.1单自由度系统在谐和激振下的强迫振动设激励为F(t)=F0sinwt，这里w为激振频率，利用牛顿定律并引入阻尼比x可得到齐次方程的通解上章已经给出。设其特解为:代入方程确定系数X0和f为：其中：为频率比。3.1单自由度系统在谐和激振下的强迫振动3.1.1非齐次方程的特解（P33-34）的全解为：3.1单自由度系统在谐和激振下的强迫振动3.1.2非齐次方程的通解——

瞬态振动和稳态振动的叠加(P39-40)方程系数A1和A2由初始条件确定。设t＝0时,则：3.1单自由度系统在谐和激振下的强迫振动所以线性阻尼振动系统在正弦激励作用下的响应（解）最终表示为:3.1单自由度系统在谐和激振下的强迫振动上述解的第一部分代表由初始条件引起的自由振动;3.1单自由度系统在谐和激振下的强迫振动第二部分代表由干扰力引起的自由振动。这两部分都是衰减振动，随时间的推移而消失，称为瞬态响应或暂态响应；最后只剩下第三部分，代表与激振力同形式的等幅的强迫振动，称为稳态响应，这才是我们最关心的。若为余弦激励,则响应（解）为：3.1单自由度系统在谐和激振下的强迫振动系数X0和f与正弦激励相同。

无阻尼系统的响应（解）3.1单自由度系统在谐和激振下的强迫振动余弦激励正弦激励3.1.3频率域研究方法——

频率响应函数和复参数（P42-45）将振动方程写为复数形式其实部和虚部分别分别代表余弦和正弦激励。令其特解为3.1单自由度系统在谐和激振下的强迫振动代入方程得到令

H(w)称为复频率响应函数，是系统对频率为w的单位谐干扰力的复响应的振幅。3.1单自由度系统在谐和激振下的强迫振动则令求得C和f为比较系数得3.1单自由度系统在谐和激振下的强迫振动由此得到3.1单自由度系统在谐和激振下的强迫振动这里的X0与f和前面方法给出的结果一样，即分别取z*式的实部和虚部就是对应于余弦和正弦激励的稳态响应。3.1单自由度系统在谐和激振下的强迫振动稳态响应分析(P34-39)1.稳态响应xp=X0sin(wt－f)的性质(P34)（1）在谐和激振条件下,响应也是谐和的,其频率与激振频率相同;（2）谐和激励强迫振动的振幅X0和相位角φ决定于系统本身的物理性质和激振力的大小与频率，与初始条件无关;3.1单自由度系统在谐和激振下的强迫振动（3）强迫振动振幅X0的大小，在工程实际中具有重要的意义。如果振幅超过允许的限度，构件就会产生过大的交变应力而导致疲劳破坏，或影响机械加工或仪表的测量精度。因此在振动工程中必需控制振幅的大小。3.1单自由度系统在谐和激振下的强迫振动2.幅频特性曲线（P35）对于稳态响应，定义动力放大系数R为响应的振幅X0与最大干扰力F0所引起的静位移的比值：以x为参数，画出R-r

曲线即幅频特性曲线，表明了阻尼和激振频率对响应幅值的影响。3.1单自由度系统在谐和激振下的强迫振动3.1单自由度系统在谐和激振下的强迫振动Rr讨论：

r<<1时(近似静载),R≈1。即响应幅值近似等于激振力幅值F0所引起的静位移F0/k;

r

>>1时3.1单自由度系统在谐和激振下的强迫振动振幅的大小主要决定于系统的惯性。这就是高速旋转的机器正常工作时运转非常平稳的原因。Rr

r≈1（激振频率接近固有频率）时，R迅速增大，振幅很大，这种现象称为共振;3.1单自由度系统在谐和激振下的强迫振动阻尼比x的影响:阻尼越小，共振越厉害。因此加大阻尼可以有效降低共振振幅。共振位置：将R对r求导数Rr令其等于0得3.1单自由度系统在谐和激振下的强迫振动而r＝1时由此看出：当x很小时的R和Rmax相差很小，所以在工程中通常认为当w＝wn时发生共振。以x为参数,画出f-r曲线即相频特性曲线,表明了阻尼和激振频率对相位差的影响。3.1单自由度系统在谐和激振下的强迫振动f3.相频特性曲线（P37）讨论：从图中可以看出,无阻尼情况下的曲线是由f＝0和f＝p的半直线段组成,在r＝1处发生间断;3.1单自由度系统在谐和激振下的强迫振动f有阻尼时f为在0～p之间变化的光滑曲线,并且不论f

取值多少,当r＝1时都有f＝p/2,即曲线都交于(1,p/2)这一点。这一现象可以用来测定系统的固有频率;

r

→∞时,f→p,激振力与位移反相,系统平稳运行;

r

→0时,f→0,激振力与位移同相,近似静位移.4.品质因子（P36)

工程上通常把共振时的动力放大系数称为品质因子，记为Q：在频率响应曲线上用的一条水平直线在共振区附近截出两点q1、q2，对应于这两点的激振频率为w1、w2，q1、q2

称为半功率点，w1、w2

之差称为系统的半功率带宽。3.1单自由度系统在谐和激振下的强迫振动3.1单自由度系统在谐和激振下的强迫振动w1/wn1

w2/wnrRq2q1求出动力放大系数对应于两点q1、q2的两个用x表示的根。由得当x<<1时,略去x

2以上小量得3.1单自由度系统在谐和激振下的强迫振动则则3.1单自由度系统在谐和激振下的强迫振动级数展开后近似为所以利用上式可以估算系统的阻尼比x，当Q>5或x<0.1时其误差不超过3％。通常把共振区取为共振区内的频率响应曲线称为共振峰。3.1单自由度系统在谐和激振下的强迫振动

【例】总质量为M的振动机支承在弹簧k和阻尼器c上,两个偏心质量m/2绕相反方向以等角速度w转动。试讨论振动机在其平衡位置附近的运动。举例解：用动量定理求振动方程。x方向的动量为代入公式求得响应为利用动量定理得举例讨论：r→∞时,则：MX→ml，sin(wt－f)→－sinwt举例由于

sin(wt－f)→－sinwt,MX→ml，则：xC→0。这表明：当r→∞（即高速旋转）时,振动机的质心几乎保持静止。即机器运行非常平稳。举例而振动机质心的位移为的全解3.1单自由度系统在谐和激振下的强迫振动谐和激励作用下的共振响应分析(P40)前面已经得出的方程共振时：r＝1，wn＝w，且3.1单自由度系统在谐和激振下的强迫振动则共振响应变为3.1单自由度系统在谐和激振下的强迫振动若为余弦激励,则共振响应（解）为对于无阻尼振动系统，根据前面得到的正弦激励响应3.1单自由度系统在谐和激振下的强迫振动共振时后面项无意义，这时将sinwt在wn处进行级数展开，忽略高次项得代入后面两项3.1单自由度系统在谐和激振下的强迫振动所以无阻尼系统正弦激励下的共振响应为3.1单自由度系统在谐和激振下的强迫振动同理求得无阻尼系统余弦激励下的共振响应为

题3.15

求图示系统在位移激励下系统的响应。解：以顺时针转角为广义坐标建立振动方程为即：代入公式即可求出稳态响应……举例

题3.16图示系统，假定缸体与活塞杆之间的阻尼系数为c，求缸体振幅与y的关系。解：振动方程为即：代公式即可求出振幅……举例题3.20求图示系统质量块的振幅。解：取静平衡位置为坐标原点建立振动方程则：代公式即可求出振幅…而：举例补充例题…假设F(t)是周期为T的函数，表示为

F(t±nT)=F(t)，n＝0,1,2,…

设函数F(t)在一个周期内分段光滑，则可以表示为傅里叶（Fourier）级数:3.2.1傅里叶级数(P45-46)3.2单自由度系统在周期激励下的强迫振动3.2周期激励下的强迫振动其中各个系数计算分为两种情况：当F(t)定义在[－T/2,T/2]上时3.2周期激励下的强迫振动若F(t)为奇函数则an＝0，若F(t)为偶函数则bn＝0，且可分别写为：3.2周期激励下的强迫振动当F(t)定义在[0,T]上时3.2周期激励下的强迫振动周期激励下的振动方程3.2.2系统对周期激励的响应(P47-50)变为3.2周期激励下的强迫振动利用上节简谐激励的响应可得到其中3.2周期激励下的强迫振动无阻尼系统在周期激励作用下的响应其中3.2周期激励下的强迫振动题3.27求无阻尼系统在图示周期激励下的稳态响应。解：激振力函数为3.2周期激励下的强迫振动

F为奇函数，可以只在半周期内积分，也可以在0～T积分，而an＝0。在0～T积分时：3.2周期激励下的强迫振动在半周期内积分时：最终结果均为：代入公式即可得出响应。3.2周期激励下的强迫振动任意激振力作用下的响应利用数学的卷积分方法求解。其基本思想是将任意激振力表示为无限多个常力之和，通过积分计算响应。3.3瞬态振动

（任意激励下的强迫振动）3.3任意激励下的强迫振动1.阶跃函数定义阶跃函数或称单位台阶函数为3.3.1冲击响应H0(t)tO1此函数无量刚，在t＝0处有跳跃。3.3任意激励下的强迫振动类似地，若在t＝a处有跳跃，函数可写为H0(t－a)。H0(t-a)tO1a3.3任意激励下的强迫振动d-函数（Dirac函数）或称单位脉冲函数,数学定义为2.d-函数(P52)OtOt13.3任意激励下的强迫振动同样可定义t＝a时的单位脉冲函数Ota3.3任意激励下的强迫振动单位脉冲函数的重要性质：3.3任意激励下的强迫振动单位脉冲激励下系统的运动微分方程为3.单位脉冲响应函数(P52-53)设初始条件为0，在Dt＝e内对方程两端积分得3.3任意激励下的强迫振动而（动量的突变）（时间极短，位移无变化）因此3.3任意激励下的强迫振动说明系统受到脉冲激励后速度发生突变，而位置不变。即获得了初始速度，然后作自由衰减振动。利用上章的公式计算振幅和相位3.3任意激励下的强迫振动于是得到系统对单位脉冲激励的响应为显然对t＝t处的单位脉冲激励的响应为

h(t)和h(t－t)称为单位脉冲响应函数，或简称脉冲响应函数。3.3任意激励下的强迫振动无阻尼系统对单位脉冲激励的响应为对t＝t处的单位脉冲激励的响应为3.3任意激励下的强迫振动设有图示任意激励F(t)，在时间区间[0,t]内的作用可视为一系列脉冲F(t)dt

连续作用叠加而成。3.3.2褶积积分（卷积积分）

——任意激励的响应(P53-57)3.3任意激励下的强迫振动F(t)tdtttF(t)F(t)在任意瞬时t=t处，大小为F(t)dt的脉冲可用d-函数表示为F(t)dtd(t-t)，相应的响应为dx=F(t)dth(t-t)。因而系统对F(t)的总响应为

这就是系统对任意激励F(t)的零初值响应。称为杜哈美（Duhamel）积分。3.3任意激励下的强迫振动1.阶跃激励（例3-3-1）几种常见激励的响应利用杜哈美积分可求得3.3任意激励下的强迫振动

特别地，若F0＝1，则上式就成为单位台阶函数H0(t)的零初值响应单位脉冲响应函数h(t)和单位台阶函数的响应g(t)之间有下面的关系3.3任意激励下的强迫振动2.斜坡载荷激励

F(t)＝at3.3任意激励下的强迫振动3.指数衰减函数激励

F(t)＝F0e-at3.3任意激励下的强迫振动无阻尼系统的任意激励零初值响应杜哈美积分阶跃激励斜坡激励指数激励3.3任意激励下的强迫振动

【题3.28】

图示系统，质量为m1的物体从高h处自由落下，与悬挂在弹簧k下的质量m2碰撞后一起作微幅振动，求振动的固有频率和响应。3.3任意激励下的强迫振动

分析：碰撞前系统静止，碰撞后两个质量一起振动。

解：以碰撞前静平衡位置为坐标原点建立方程而则固有频率3.3任意激励下的强迫振动利用动量定理计算碰撞后的初始速度即开始振动时的初始条件为因此初始条件引起的响应为3.3任意激励下的强迫振动利用杜哈美积分计算m1g引起的响应（即阶跃函数的响应）则总响应为3.3任意激励下的强迫振动

解法2：以碰撞后静平衡位置（两质量一起振动时的静平衡位置）为坐标原点建立方程而则固有频率3.3任意激励下的强迫振动显然为自由振动。初始条件为

x0为由m1引起的静变形。因此由初始条件引起的响应得到3.3任意激励下的强迫振动

与解法1的响应相差由m1引起的静变形。这与数学概念完全吻合。

P81例4.6.1

求无阻尼振动系统在图示矩形脉冲激励作用的零初值响应。

解：激振力函数为F(t)tOF0T直接利用杜哈美积分。

t在[0,T]内就是阶跃函数的响应3.3任意激励下的强迫振动t

在[T,∞)内：3.3任意激励下的强迫振动因而响应为：3.3任意激励下的强迫振动例：求无阻尼振动系统在图示三角形波干扰力作用下的零初值响应。3.3任意激励下的强迫振动

解：激振力函数为3.3任意激励下的强迫振动直接利用杜哈美积分。在[0,t1]内：3.3任意激励下的强迫振动在[t1,t2]内：3.3任意激励下的强迫振动在t2

以后：3.3任意激励下的强迫振动单自由度系统

振动理论的应用设基础的位移为x1，质量的位移为x基础运动引起的强迫振动(P75-81)x1(t)基础运动引起的强迫振动则系统的振动微分方程为若令相对位移u=x－x1

，则用x表示的方程适用于基础运动以位移形式给出;而用u表示的方程适用于基础运动以速度或加速度形式给出，这时求出的是相对运动u。x1基础运动引起的强迫振动例

求系统受y=Ysinwt

的基础运动引起的响应。解:方程为代公式求出由kYsinwt和cwYcoswt引起的响应总振幅为基础运动引起的强迫振动题3-10:车辆上装一重为Q的物块,某瞬时(t=0)车轮由水平路面进入曲线路面,并继续以等速v行驶。该曲线路面按

的规律起伏。设弹簧的刚性系数为k。求:(1)车轮进入曲线路面时物块的强迫振动方程;(2)轮的临界速度。题3-10图yxvldQ基础运动引起的强迫振动解:（1）系统的振动微分方程为振幅相位f=0，所以xvdQly基础运动引起的强迫振动（2）不能发生共振.

共振时w=wn，即：所以临界速度为基础运动引起的强迫振动题3-32:图示钢梁,I=1.46×10-5m4,E＝210GPa,A端支座有脉动力矩M＝1000(sin0.9wnt)Nm作用，物块重量为60kN，梁质量不计，求物块稳态振动振幅。题3-10图基础运动引起的强迫振动【解法1】利用材料力学挠度计算公式则设梁中间位置相对静平衡位置振动的位移为y（向下）

，则：基础运动引起的强迫振动(yM不引起弹性力)其中：

l＝3m，代公式求得振幅：即基础运动引起的强迫振动【解法2】设梁中间位置相对静平衡位置振动的位移为y1（向下,不含M引起的挠度yM）

，则：基础运动引起的强迫振动其中：

l＝3m，代公式求得振幅：即因此总振幅为：Y＝Y1＋yMmax＝0.966mm基础运动引起的强迫振动

【解法3】将力偶M引起梁中点的位移等效为作用于在梁中点的集中力F引起的位移，则有所以等效集中力基础运动引起的强迫振动设梁中间位置相对静平衡位置振动的位移为y（向下）

,则:代公式求得振幅：即基础运动引起的强迫振动基础的运动不但对系统响应有影响,而且系统也同样将力通过弹簧和阻尼传递给基础。振动向基础的传递(P72-75)对谐和振动系统，传递到基础上的力表示为振动向基础的传递其最大值为将其与激振力幅值的比值定义为力传递系数，或称力传递率振动向基础的传递画出传递率与频率比的关系图TR振动向基础的传递由关系图和传递率的公式得知:（1）当r→0即w→0和r→1.414时,传递率为1,与