广东省东莞市樟木头中学2021-2022学年高二数学理模拟试题含解析

广东省东莞市樟木头中学2021-2022学年高二数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在R上定义运算⊙：x⊙y＝x(1－y)．若对于任意x>2，不等式(x－a)⊙x≤a＋2恒成立，则实数a的取值范围是(

)A．[－1,7]

B．(－∞，3]

C．(－∞，7]

D．(－∞，－1]∪[7，＋∞)参考答案：C略2.用反证法证明命题：若整系数一元二次方程有有理根，那么中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是(

)Ａ．假设都是偶数Ｂ．假设都不是偶数Ｃ．假设至多有一个是偶数Ｄ．假设至多有两个是偶数

参考答案：B略3.不等式﹣x2﹣2x+3≤0的解集为（）A．{x|x≥3或x≤﹣1} B．{x|﹣1≤x≤3} C．{x|﹣3≤x≤1} D．{x|x≤﹣3或x≥1}参考答案：D【考点】74：一元二次不等式的解法．【分析】在不等式两边同时除以﹣1，不等式方向改变，再把不等式左边分解因式化为x﹣1与x+3的乘积，根据两数相乘同号得正可得x﹣1与x+3同号，化为两个不等式组，分别求出不等式组的解集即可得到原不等式的解集．【解答】解：不等式﹣x2﹣2x+3≤0，变形为：x2+2x﹣3≥0，因式分解得：（x﹣1）（x+3）≥0，可化为：或，解得：x≤﹣3或x≥1，则原不等式的解集为{x|x≤﹣3或x≥1}．故选D．4.已知方程表示椭圆，则k的取值范围是(

)A．k>5

B．k<3

C．3<k<5

D．3<k<5且k4参考答案：D5.如图，、分别是双曲线的两个焦点，以坐标原点为圆心，为半径的圆与该双曲线左支交于、两点，若△是等边三角形，则双曲线的离心率为

（

）A．

B．2

C．

D．参考答案：D6.已知{an}是等比数列，,则公比q=（

）

(A)

(B)-2

(C)2

(D)参考答案：D7.若函数在R上为减函数，则函数的单调递增区间(

)A.(－∞,－1) B.(－1,+∞) C.(－∞,－3) D.(－3,+∞)参考答案：C【分析】由题意可得，令，求得的定义域为，函数是减函数，本题即求函数t在上的减区间，再利用二次函数的性质可得结果.【详解】由函数在上为减函数，可得，令，求得的定义域为，且函数是减函数，所以本题即求函数t在上的减区间，利用二次函数的性质可得函数在上的减区间是，故选C.【点睛】该题考查的是有关对数型函数的单调区间，在解题的过程中，注意首先根据题意确定出参数的取值范围，之后根据复合函数的单调性法则以及结合函数的定义域求得结果.8.已知直线的倾角为，直线垂直，直线：平行，则等于（

）A．－4

B．－2

C．0

D．2参考答案：B9.到空间不共面的四点距离相等的平面的个数为（）A．1个 B．4个 C．7个 D．8个参考答案：C【考点】平面的基本性质及推论．【分析】对于四点不共面时，画出对应的几何体，根据几何体和在平面两侧的点的个数分两类，结合图形进行解．【解答】解：当空间四点不共面时，则四点构成一个三棱锥，如图：①当平面一侧有一点，另一侧有三点时，令截面与四棱锥的四个面之一平行，第四个顶点到这个截面的距离与其相对的面到此截面的距离相等，这样的平面有四个，②当平面一侧有两点，另一侧有两点时，即过相对棱的异面直线共垂线段的中点，且和两条相对棱平行的平面，满足条件．因三棱锥的相对棱有三对，则此时满足条件的平面个数是三个，所以满足条件的平面共有7个，故选：C10.已知A、B是抛物线

=2（>0）上两点，O为坐标原点，若=,且AOB的垂心恰好是此抛物线的焦点，则直线AB的方程是（

）（A）＝

（B）＝

（C）＝3

（D）＝参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若点A（1，0）和点B（5，0）到直线l的距离依次为1和2，则这样的直线有

条．参考答案：4【考点】点到直线的距离公式．【专题】转化思想；数形结合法；直线与圆．【分析】分别以A，B为圆心，以1和2为半径作圆，则符合条件的直线为两圆的公切线，即可得出结论．【解答】解：分别以A，B为圆心，以1和2为半径作圆，则符合条件的直线为两圆的公切线，显然两圆外离，故两圆共有4条公切线，∴满足条件的直线l共有4条．故答案为：4．【点评】本题考查了点到直线的距离，巧用转化法是快速解题的关键．12.已知点P是椭圆+=1上任一点，那点P到直线l：x+2y﹣12=0的距离的最小值为．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】运用椭圆的参数方程，设出点P，再由点到直线的距离公式及两角和的正弦公式，结合正弦函数的值域，即可得到最小值．【解答】解：设点P（2cosα，sinα）（0≤α≤2π），则点P到直线x+2y﹣12=0的距离为d==当sin（α+30°）=1时，d取得最小值，且为．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的方程和运用，考查椭圆的参数方程的运用：求最值，考查点到直线的距离公式，考查三角函数的值域，属于中档题．13.数列的通项公式，记，试通过计算的值，推测出参考答案：略14.已知向量则向量的关系为_____________.参考答案：相交或异面略15.（5分）抛物线y2=4x上的点P到抛物线的准线距离为d1，到直线3x﹣4y+9=0的距离为d2，则d1+d2的最小值是．参考答案：2=4x

p=2准线为x=﹣1；设点P坐标为（x，y），到抛物线准线的距离是d1=1+x．d2=∴d1+d2=令=t，上式得：=但t=，即x=时，d1+d2有最小值故答案为：16.已知f（x）=x2—5x+6则不等式f（x）>0的解集为

参考答案：17.等比数列的各项均为正数，，前三项的和为21，则__________。参考答案：168三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形的休闲区A1B1C1D1（阴影部分）和环公园人行道组成。已知休闲区A1B1C1D1的面积为4000平方米，人行道的宽分别为4米和10米。（1）若设休闲区的长米，求公园ABCD所占面积S关于的函数的解析式；（2）要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？参考答案：⑴由，知⑵当且仅当时取等号∴要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1的长为100米、宽为40米.19.（本小题14分）已知动圆P（圆心为点P）过定点A（1，0），且与直线相切，记动点P的轨迹为C．（1）求轨迹C的方程；（2）设过点P的直线l与曲线C相切，且与直线相交于点Q．试研究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．参考答案：20.已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为,且过点.（1）求该椭圆的标准方程；（2）设点，若是椭圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程.参考答案：(1)由已知得椭圆的半长轴，半焦距，则半短轴.

又椭圆的焦点在轴上,∴椭圆的标准方程为.

(2)设线段的中点为,点的坐标是，由，得，

由点在椭圆上,得,

∴线段中点的轨迹方程是.

略21.（14分）投掷四枚不同的金属硬币，假定两枚正面向上的概率均为，另两枚为非均匀硬币，正面向上的概率均为，把这四枚硬币各投掷一次，设表示正面向上的枚数.(Ⅰ)若出现一枚正面向上一枚反面向上与出现两枚正面均向上的概率相等，求的值；(Ⅱ)求的分布列及数学期望（用表示）.参考答案：解：（Ⅰ）由题意，得……3分（Ⅱ）=0，1，2，3，4.…4分…………5分；……………6分

…………7分…………8分………9分得的分布列为：01234p的数学期望为：22.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=2、c=3，cosB=．

（1）求b的值；

（2）求sinC的值．参考答案：【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】计算题．【分析】（1）由a，c以及cosB的值，利用余弦定理即可求出b的值；（2）利用余弦定理表示出cosC，把a，b，c的值代入求出cosC的值，由C的范