广东省东莞市市石龙中学2021年高一数学理上学期期末试题含解析

广东省东莞市市石龙中学2021年高一数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列函数中，是偶函数且在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A．y=﹣3|x| B．y=x C．y=log3x2 D．y=x﹣x2参考答案：A【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质进行判断即可．【解答】解：A．y=﹣3|x|是偶函数，当x＞0时，y=﹣3|x|=﹣3x为减函数，满足条件．B．y=x是奇函数，不满足条件．C．y=log3x2是偶函数，当x＞0时，y=log3x2=2y=log3x为增函数，不满足条件．D．y=x﹣x2为非奇非偶函数，不满足条件．故选A．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质．2.下列各组向量中：①，②，③，其中能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（）A．① B．①③ C．②③ D．①②③参考答案：B【考点】平面向量的基本定理及其意义．

【分析】根据平面内向量基底的定义直接进行判断．判断两个向量是否共线，即可得出结果．【解答】解：①由，可得﹣1×7≠2×5即不平行故，可以作为表示它们所在平面内所有向量的基底．②由可得3×10=5×6即故，不能作为表示它们所在平面内所有向量的基底．③由可得即不平行故，可以作为表示它们所在平面内所有向量的基底．∴答案为B【点评】本题考查向量基底的定义，通过判断是否共线判断结果．属于基础题．3.（5分）已知函数f（x）=，则有（） A． f（x）是奇函数，且f（）=f（x） B． f（x）是奇函数，且f（）=﹣f（x） C． f（x）是偶函数，且f（）=f（x） D． f（x）是偶函数，f（）=﹣f（x）参考答案：D考点： 函数奇偶性的判断．专题： 函数的性质及应用．分析： 利用函数奇偶性的定义去判断函数的奇偶性，然后通过关系式化简f（）与f（x）的关系．解答： 要使函数有意义，则1﹣x2≠0，即x≠±1，又，所以函数f（x）是偶函数．又．故选D．点评： 本题主要考查函数奇偶性的应用，要求熟练掌握函数奇偶性的性质．4.定义在R上的偶函数f(x)，对任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有<0，则()A．f(3)<f(－2)<f(1)

B．f(1)<f(－2)<f(3)C．f(－2)<f(1)<f(3)

D．f(3)<f(1)<f(－2)参考答案：A略5.已知函数，则下列结论正确的是（

）A．，为奇函数且为R上的增函数

B．，为偶函数且为R上的减函数

C.，为奇函数且为R上的增函数

D．，为偶函数且为R上的增函数参考答案：A当时,,定义域为R且∴为奇函数∵是R上的增函数,是R的减函数∴为R上的增函数，故选项A正确；当时,,定义域为R且∴f(x)为偶函数，根据1<2,f(1)<f(2)则f(x)在R上的不是减函数；根据?2<?1,f(?2)>f(?1)则f(x)在R上的不是增函数；故选项B.D不正确故选A.

6.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石参考答案：B【考点】随机抽样和样本估计总体的实际应用．【分析】根据254粒内夹谷28粒，可得比例，即可得出结论．【解答】解：由题意，这批米内夹谷约为1534×≈169石，故选：B．7.若，的等差中项为，且，则的取值范围为A. B. C. D.参考答案：C8.下列说法正确的是（）A．a?α，b?β，则a与b是异面直线B．a与b异面，b与c异面，则a与c异面C．a，b不同在平面α内，则a与b异面D．a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面参考答案：D【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】根据异面直线的定义和几何特征，逐一分析四个答案的正误，可得结论．【解答】解：若a?α，b?β，则a与b可能平行，可能相交，也可能异面，故A错误；若a与b异面，b与c异面，则a与c可能平行，可能相交，也可能异面，故B错误；若a，b不同在平面α内，则a与b可能平行，可能相交，也可能异面，故C错误；若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面，故D正确；故选：D【点评】本题考查的知识点是空间中直线与直线之间的位置关系，熟练掌握并真正理解异面直线的定义及几何特征，是解答的关键．9.集合P=，集合Q=那么P，Q的关系是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D略10.－1120°角所在象限是()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限参考答案：D[由题意，得－1120°＝－4×360°＋320°，而320°在第四象限，所以－1120°角也在第四象限．]二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知某棱锥的俯视图如图所示，主视图与左视图都是边长为2的等边三角形，则该棱锥的全面积是________.参考答案：1212.函数的定义域是

．参考答案：13.设集合则

参考答案：{1，2，3，4}14.观察下列等式：（1）（2）（3）………………由以上规律推测，第n个等式为：

．参考答案：（或）

15.已知，则_________.参考答案：【分析】根据诱导公式求得的值，根据同角三角函数的基本关系式求得的值，根据二倍角公式求得的值.【详解】依题意，由于，所以，所以.【点睛】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数基本关系式，二倍角公式，属于基础题.16.在中，D为BC边上一点，,,.若,则BD=__________参考答案：17.（5分）已知y=f（x）在定义域（﹣1，1）上是减函数，且f（1﹣a）＜f（2a﹣1），则a的取值范围是．参考答案：考点： 函数单调性的性质．专题： 计算题．分析： 根据f（1﹣a）＜f（2a﹣1），严格应用函数的单调性．要注意定义域．解答： ∵f（x）在定义域（﹣1，1）上是减函数，且f（1﹣a）＜f（2a﹣1）∴，∴故答案为：点评： 本题主要考查应用单调性解题，一定要注意变量的取值范围．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知圆及直线.当直线被圆截得的弦长为时,

求：（Ⅰ）的值；（Ⅱ）求过点并与圆相切的切线方程.参考答案：解：（Ⅰ）依题意可得圆心，则圆心到直线的距离由勾股定理可知，代入化简得解得，又所以19.已知函数（ω＞0）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值和f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）﹣m＝0在区间[0，]上有两个实数解，求实数m的取值范围．参考答案：（Ⅰ），函数的增区间为．（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）利用三角函数恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性、单调性，即可求得结论；（Ⅱ）由题意，函数图象和直线在区间上有两个不同的交点，利用正弦函数的定义域和值域，以及正弦函数的图象特征，即可求解的取值范围.【详解】（Ⅰ）由题意，函数所以函数的最小正周期为，∴，即．令，求得，可得函数的增区间为．（Ⅱ）在区间上，则，则，即，关于x的方程在区间上有两个实数解，则的图象和直线在区间上有两个不同的交点，则．【点睛】本题主要考查了三角恒等变换，以及正弦型函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，以及把关于x的方程在区间上有两个实数解，转化为两个函数图象的交点个数是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.20.（12分）已知函数f（x）=ax2﹣2bx+a（a，b∈R）（1）若a从集合{0，1，2，3}中任取一个元素，b从集合{0，1，2，3}中任取一个元素，求方程f（x）=0恰有两个不相等实根的概率；（2）若b从区间[0，2]中任取一个数，a从区间[0，3]中任取一个数，求方程f（x）=0没有实根的概率．参考答案：考点： 几何概型；古典概型及其概率计算公式．专题： 概率与统计．分析： （1）先确定a、b取值的所有情况得到共有16种情况，又因为方程有两个不相等的根，所以根的判别式大于零得到a＞b，而a＞b占6种情况，所以方程f（x）=0有两个不相等实根的概率P=0.5；（2）由a从区间[0，2]中任取一个数，b从区间[0，3]中任取一个数得试验的全部结果构成区域Ω={（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤3}，而方程f（x）=0没有实根构成的区域为M={（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤3，a≤b}，分别求出两个区域面积即可得到概率．解答： （1）a取集合{0，1，2，3}中任一元素，b取集合{0，1，2，3}中任一元素∴a、b的取值情况的基本事件总数为16．设“方程f（x）=0有两个不相等的实根”为事件A，当a≥0，b≥0时方程f（x）=0有两个不相等实根的充要条件为b＞a，且a≠0．当b＞a时，a的取值有（1，2）（1，3）（2，3）即A包含的基本事件数为3．∴方程f（x）=0有两个不相等的实根的概率P（A）=；（2）∵b从区间[0，2]中任取一个数，a从区间[0，3]中任取一个数则试验的全部结果构成区域Ω={（a，b）|0≤b≤2，0≤a≤3}这是一个矩形区域，其面积SΩ=2×3=6设“方程f（x）=0没有实根”为事件B，则事件B构成的区域为M={（a，b）|0≤b≤2，0≤a≤3，a＞b}，其面积SM=6﹣×2×2=4，由几何概型的概率计算公式可得方程f（x）=0没有实根的概率P（B）===．点评： 本题以一元二次方程的根为载体，考查古典概型和几何概型，属基础题．21.（1）设x、y、zR，且x＋y＋z＝1，求证x2＋y2＋z2≥；（2）设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c（a＞0），方程f(x)－x＝0有两个实根x1，x2，且满足：0＜x1＜x2＜，若x(0，x1)。求证：x＜f(x)＜x1

参考答案：（1）∵x＋y＋z＝1，∴1＝(x＋y＋z)2＝x2＋y2＋z2＋2xy＋2xz＋2yz

≤3(x2＋y2＋z2)

∴x2＋y2＋z2≥

（2）令F(x)＝f(x)－x，x1，x2是f(x)－x＝0的根，∴F(x)＝a(x－x1)(x－x2)∵0＜x＜x1＜x2＜

∴x－x1＜0，x－x2＜0

a＞