广东省东莞市市石碣中学2023年高三数学理模拟试卷含解析

广东省东莞市市石碣中学2023年高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.从8名女生4名男生中，选出6名学生组成课外小组，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为

参考答案：C略2.某程序框图如图所示，该程序运行结束时输出的S的值为（）A．1007 B．1008 C．2016 D．3024参考答案：B【考点】程序框图．【分析】模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的算式S是求数列的和，且数列的每4项的和是定值，由此求出S的值．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的算式：S=a1+a2+a3+a4+…+a2013+a2014+a2015+a2016=（1+1）+（0+1）+（﹣3+1）+（0+1）+…++（0+1）+（﹣2015+1）+（0+1）=2+…+2=2×504=1008所以该程序运行后输出的S值是1008．故选：B．3.“”是“直线与直线垂直”的（

）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案：A4.已知集合，集合，则等于A．

B．

C．

D．参考答案：A略5.设0＜a＜1，e为自然对数的底数，则a，ae，ea-1的大小关系为（

）A．ea-1＜a＜ae

B．ae＜a＜ea-1

C.ae＜ea-1＜a

D．a＜ea-1＜ae参考答案：B在R上单调递减得：，由函数在在上的单调性知（求导）：也可取特殊值估算检验得B正确.【命题意图】此题考查了单调性比较大小，构造函数策略.6.若θ是第二象限角且sinθ=，则=（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】GR：两角和与差的正切函数．【分析】根据同角三角函数关系式求解cosθ，从而求解tanθ，利用正切的和与差公式即可求解．【解答】解：由θ是第二象限角且sinθ=知：，则．∴．故选：B．【点评】本题考查了同角三角函数关系式和正切的和与差公式的运用和计算能力．属于基础题．7.我们知道：在平面内，点（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离公式为d=，通过类比的方法，可求得：在空间中，点（2，4，1）到直线x+2y+2z+3=0的距离为（）A．3 B．5 C． D．参考答案：B【考点】类比推理．【分析】类比点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离d=，可知在空间中，d==5【解答】解：类比点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离d=，可知在空间中，点P（x0，y0，z0）到直线Ax+By+Cz+D=0的距离d=点（2，4，1）到直线x+2y+2z+3=0的距离d==5．故选B．8.定义域为的函数满足，当时，若当时，函数恒成立，则实数的取值范围为(

)(A)

(B)

(C)

(D)

参考答案：B略9.已知函数，若，则的取值范围是（

）（A）

（B）

(C)

(D)参考答案：D10.已知公差不为0的等差数列{an}满足a1，a3，a4成等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，则的值为（）A．2 B．3 C．﹣2 D．﹣3参考答案：A【考点】等比数列的性质；等差数列的性质．【分析】由题意可得：a3=a1+2d，a4=a1+3d．结合a1、a3、a4成等比数列，得到a1=﹣4d，进而根据等差数列的通项公式化简所求的式子即可得出答案．【解答】解：设等差数列的公差为d，首项为a1，所以a3=a1+2d，a4=a1+3d．因为a1、a3、a4成等比数列，所以（a1+2d）2=a1（a1+3d），解得：a1=﹣4d．所以==2，故选：A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上，且每两点间的球面距离都是，则球心到平面ABC的距离为___________。参考答案：答案:

12.设函数,A0为坐标原点，An为函数y=f（x）图象上横坐标为的点，向量，向量i=（1，0），设为向量与向量i的夹角，则满足

的最大整数n是

.参考答案：313.已知向量a＝(sinx,1)，b＝(t，x)，若函数f(x)＝a·b在区间上是增函数，则实数t

的取值范围是_________．参考答案：略14.如图，在直角梯形ABCD中，已知BC∥AD，AB⊥AD，AB＝4，BC＝2，AD＝4，若P为CD的中点，则的值为________．参考答案：建立坐标系，应用坐标运算求数量积．以点A为坐标原点，AD、AB所在直线为x、y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(0，4)，C(2,4)，D(4,0)，P(3,2)，所以＝(－3，－2)·(－3,2)＝5.15.若二项式展开式中的常数项为60，则正实数a的值为__________；该展开式中的奇数项的系数之和为__________．参考答案：2

365【分析】利用二项式定理的通项公式，通过x的指数为0，求出常数项，可得a的值，令可得与，的值，可得奇数项的系数之和为可得答案.【详解】解：可得二项式展开式中，，可得，可得二项式的常数项为，，由为正实数，可得a=2；令，可得，，可得奇数项的系数之和为，故答案：2；365.【点睛】本题主要考查二项式定理及二项式系数的性质，属于中档题.16.关于函数，下列命题：①存在，，当时，成立；②在区间上是单调递增；③函数的图像关于点成中心对称图像；④将函数的图像向左平移个单位后将与的图像重合．其中正确的命题序号__________.（注：把你认为正确的序号都填上）参考答案：略17.若二次函数和使得在上是增函数的条件是__________________．参考答案：且略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知某公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元,每生产一千件,需要另投入2.7万元,设该公司年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完,每千件的销售收入为R(x)万元,且R(x)=(1)写出年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数关系式.(2)年生产量为多少千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大?参考答案：解:(1)当0<x≤10时,W=xR(x)-(10+2.7x)=8.1x--10;当x>10时,W=xR(x)-(10+2.7x)=98--2.7x.∴年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数关系式为W=(2)当0<x≤10时,由W′=8.1->0?0<x<9,即年利润W在(0,9)上增加,在(9,10)上减少,∴当x=9时,W取得最大值,且Wmax=38.6(万元).当x>10时,W=98-(+2.7x)≤98-2=38,仅当x=时取“=”,综上可知,当年产量为9千件时,该公司这一品牌服装的生产中所获年利润最大,最大值为38.6万元.略19.（本小题满分12分）已知数列满足=0且是的等差中项，是数列的前项和.(1)求的通项公式；（2）若，，求使成立的正整数n的最小值．参考答案：解：（Ⅰ）∵an+1-2an=0，即an+1=2an，

∴数列{an}是以2为公比的等比数列．

∵a3+2是a2，a4的等差中项，∴a2+a4=2a3+4，则2a1+8a1=8a1+4，即a1=2，

∴数列{an}的通项公式an=2n；

………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）及bn=-anlog2an得，bn=-n?2n，

∵Sn=b1+b2+…+bn，

∴Sn=-2-2?22-3?23-4?24-n?2n①

∴2Sn=-22-2?23-3?24-4?25-（n-1）?2n-n?2n+1②

②-①得，Sn=2+22+23+24+25++2n-n?2n+1

………………8分

=-n?2n+1=(1-n)?2n+1-2

………………10分

要使Sn+n?2n+1＞50成立，只需2n+1-2＞50成立，即2n+1＞52，n＞5

∴使Sn+n?2n+1＞50成立的正整数n的最小值为5．………………12分20.（14分）已知函数（1）如果存在，使得，求满足该不等式的最大整数；（2）如果对任意的，都有成立，求实数a的取值范围参考答案：【知识点】利用导数求闭区间上函数的最值．B12【答案解析】(1)6;

(2)a≥2

解析：（1）由题等价于由，

令当时，，g（x）单调递减；当时，，g（x）单调递增；又

所以，，所以，………………6分（2）对任意的，都有成立，等价于f（x）≥g（x）max．由（1）可知当时，g（x）单调递减；当时，g（x）单调递增；所以恒成立，即恒成立令，，得由（1）可知当时，h（x）单调递增；当时，h（x）单调递减；所以，∴h（x）max=h（1）=2

∴a≥2………………12分【思路点拨】（1）存在x1、x2∈[0，2]，使得g（x1）-g（x2）≥M成立，等价于g（x）max-g（x）min≥M；（2）对于任意的s、t，都有f（s）≥g（t）成立等价于f（x）≥g（x）max，进一步利用分离参数法，即可求得实数a的取值范围．21.（本小题满分12分）如图，在等腰梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，.（1）求证：平面；（2）点在线段上运动，设平面与平面二面角的平面角为，试求的取值范围.参考答案：（1）由余弦定理求出，由勾股定理的逆定理证明即可；（2）分别以直线为轴，轴，轴建立所示空间直角坐标系，令,求出平面与平面的法向量(用表示)即可求的范围.试题分析：试题解析：（1）证明：在梯形中，∵，，，∴，∴，∴，∴，∴平面平面，平面平面，平面，∴平面.（2）由（1）分别以直线为轴，轴，轴发建立如图所示空间直角坐标系，令，则，∴.设为平面的一个法向量，由，得，取，则，∵是平面的一个法向量，∴.∵，∴当时，有最小值，当时，有最大值，∴.考点：1.空间直线与直线垂直的判定；2.空间向量的应用.22.如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥侧面BB1C1C，AB=BC=1，BB1=2，∠BCC1=．（1）求证：C1B⊥平面ABC；（2）设=λ（0≤λ≤1），且平面AB1E与BB1E所成的锐二面角的大小为30°，试求λ的值．参考答案：考点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面垂直的判定．专题：空间角．分析：（1）由已知条件推导出AB⊥BC1，BC⊥BC1，由此能证明C1B⊥平面ABC．（2）以B为原点，BC，BA，BC1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．利用向量法能求出λ的值．解答： （1）证明：AB⊥侧面BB1C1C，BC1?侧面BB1C1C，∴AB⊥BC1，在△BCC1中，BC=1，CC1=BB1=2，∠BCC1=，由余弦定理得：B=BC2+C﹣2BC?CC1?cos∠BCC1=12+22﹣2×1×2×cos=3，∴BC1=，…3分∴BC2+B=C，∴BC⊥BC1，∵BC∩AB=B，∴C