广东省东莞市市樟木头职业高级中学2023年高二数学文期末试题含解析

广东省东莞市市樟木头职业高级中学2023年高二数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设向量a＝(1,0)，b＝(，)，则下列结论中正确的是()A．|a|＝|b|

B．a·b＝C．a－b与b垂直

D．a∥b参考答案：C2.已知抛物线y2＝2px(p>0)与双曲线有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为()A．

B．

C．

D．参考答案：D3.已知函数在区间上是单调递增函数，则a的取值范围为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A因为在区间上是单调递增函数所以，而在区间上所以，即令，则分子分母同时除以，得令，则在区间上为增函数所以所以在区间上恒成立即在区间上恒成立所以函数在区间上为单调递减函数所以

4.如图,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,P是侧面BB1C1C内一动点,若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是（

）A．直线

B．圆C．抛物线D．双曲线参考答案：C5.设抛物线y2=4x的焦点为F，过点M（﹣1，0）的直线在第一象限交抛物线于A、B，使，则直线AB的斜率k=（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】由题意可得直线AB的方程y﹣0=k（x+1），k＞0，代入抛物线y2=4x化简求得x1+x2和x1?x2，进而得到y1+y2和y1?y2，由，解方程求得k的值．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点F（1，0），直线AB的方程y﹣0=k（x+1），k＞0．代入抛物线y2=4x化简可得k2x2+（2k2﹣4）x+k2=0，∴x1+x2=，x1?x2=1．∴y1+y2=k（x1+1）+k（x2+1）=+2k=，y1?y2=k2（x1+x2+x1?x2+1）=4．又=（x1﹣1，y1）?（x2﹣1，y2）=x1?x2﹣（x1+x2）+1+y1?y2=8﹣，∴k=，故选：B．6.直线过点（-1，2）且与直线垂直，则方程是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A7.若集合M={x∈N|x2﹣8x+7＜0}，N={x|?N}，则M∩N等于（）A．{3，6} B．{4，5} C．{2，4，5} D．{2，4，5，7}参考答案：C【考点】交集及其运算．【分析】求解一元二次不等式化简M，再由交集运算得答案．【解答】解：∵M={x∈N|x2﹣8x+7＜0}={x∈N|1＜x＜7}={2，3，4，5，6}，N={x|?N}，∴M∩N={2，3，4，5，6}∩{x|?N}={2，4，5}，故选：C．8.a，b满足a＋2b＝1，则直线ax＋3y＋b＝0必过定点(

)．A． B．

C．

D．参考答案：B略9.设函数f（x）=（x＞0），观察：f1（x）=f（x）=，f2（x）=f（f1（x））=，f3（x）=f（f2（x））=，f4（x）=f（f3（x））=，…根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N*且n≥2时，fn（x）=f（fn﹣1（x））=_________．参考答案：略10.在极坐标系中，O为极点，，，则S△AOB=（）A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：D【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】∠AOB==．利用直角三角形面积计算公式即可得出．【解答】解：∠AOB==．∴S△AOB==5．故选：D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，已知PA⊥平面ABC，AC⊥AB，AP=BC，∠CBA=30°，D、E分别是BC、AP的中点，则异面直线AC与DE所成角的大小为

．参考答案：【考点】异面直线及其所成的角．【分析】取AB中点F，连接DF，EF，则AC∥DF，∠EDF就是异面直线AC与DE所成的角（或所成角的补角），由此能求出异面直线AC与ED所成的角的大小．【解答】解：取AB中点F，连接DF，EF，则AC∥DF，∴∠EDF就是异面直线AC与DE所成的角（或所成角的补角）．设AP=BC=2，∵PA⊥平面ABC，AC⊥AB，AP=BC，∠CBA=30°，D、E分别是BC、AP的中点，∴由已知，AC=EA=AD=1，AB=，PB=，EF=，∵AC⊥EF，∴DF⊥EF．在Rt△EFD中，DF=，DE=，∴cos∠EDF===，∴异面直线AC与ED所成的角为arccos．故答案为：arccos．12.下列结论：①方程的解集为；②存在，使；③在平面直角坐标系中，两直线垂直的充要条件是它们的斜率之积为-1；④对于实数、，命题：是命题：或的充分不必要条件，其中真命题为

．参考答案：④13.一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是

，参考答案：62.8,3.6

略14.设f(x)=且

，则=

.参考答案：15.设全集U=R，若，，则______.参考答案：{1,2}【分析】求出集合B中函数的定义域，再求的集合B的补集，然后和集合A取交集.【详解】，,故填.【点睛】本小题主要考查集合的研究对象，考查集合交集和补集的混合运算，还考查了对数函数的定义域.属于基础题.16.参考答案：7略17.正偶数列有一个有趣的现象：（1）2+4=6；（2）8+10+12=14+16；（3）18+20+22+24=26+28+30，按照这样的规律，则72在第

个等式中．参考答案：6考点：归纳推理．专题：推理和证明．分析：从已知等式分析，发现规律为：各等式首项分别为2×1，2（1+3），2（1+3+5），…，即可得出结论．解答： 解：①2+4=6；

②8+10+12=14+16；③18+20+22+24=26+28+30，…其规律为：各等式首项分别为2×1，2（1+3），2（1+3+5），…，所以第n个等式的首项为2[1+3+…+（2n﹣1）]=2×=2n2，当n=6时，等式的首项为2×36=72，所以72在第6个等式中，故答案为：6．点评：本题考查归纳推理，难点是根据能够找出数之间的内在规律，考查观察、分析、归纳的能力，是基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）在等比数列中，，公比．设，且，．（Ⅰ）求证：数列是等差数列；（Ⅱ）求的前n项和及的通项；（Ⅲ）试比较与的大小．参考答案：（Ⅰ）∵，∴为常数，∴数列为等差数列且公差．……………2分（Ⅱ）∵，∴．………3分∵，∴．∵，∴．∴解得：……………………6分∴．…………8分∵∴∴．………10分（Ⅲ）显然，当≥9时，≤0．∴≥9时，．………………12分∵，，∴当时，；当或≥9时，．……………14分19.已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，短轴上的两个顶点为A，B（A在B的上方），且四边形AF1BF2的面积为8．（1）求椭圆C的方程；（2）设动直线y=kx+4与椭圆C交于不同的两点M，N，直线y=1与直线BM交于点G，求证：A，G，N三点共线．参考答案：【考点】KL：直线与椭圆的位置关系；K3：椭圆的标准方程．【分析】（1）椭圆C的离心率，可得b=c，四边形AF1BF2是正方形，即a2=8，b=c=2．

（2）将已知直线代入椭圆方程化简得：（2k2+1）x2+16kx+24=0设M（xM，kxM+4），N（xN，kxN+4），G（xG，1），MB方程为：y=，则G（，1），欲证A，G，N三点共线，只需证，，共线，即只需（3k+k）xMxn=﹣6（xM+xN）即可．【解答】解：（1）∵椭圆C的离心率，∴b=c，因此四边形AF1BF2是正方形．…∴a2=8，b=c=2．

…∴椭圆C的方程为．

…（2）证明：将已知直线代入椭圆方程化简得：（2k2+1）x2+16kx+24=0，…△=32（2k2﹣3）＞0，解得：k．由韦达定理得：①，xM?xN=，②…设M（xM，kxM+4），N（xN，kxN+4），G（xG，1），MB方程为：y=，则G（，1），…∴，，…欲证A，G，N三点共线，只需证，共线，即（kxN+2）=﹣xN成立，化简得：（3k+k）xMxn=﹣6（xM+xN）将①②代入易知等式成立，则A，G，N三点共线得证．

…20.（13分）如图，直三棱柱中，，分别是，的中点.（1）证明：平面；（2）设，，求三棱锥的体积.参考答案：连接AC1，设AC1与A1C交于O，连接BC1，OD,------1’

在距形AA1C1C中，O为A1C中点，

∴OD为⊿ABC1的中位线，∴OD//BC1,---------2’∵,-------3’∴平面--------4’（2）∵AC=BC=2，AB=2，∴AC2+BC2=AB2-------5’∴AC⊥BC,------6’即⊿ABC是以AB为底边的等腰直角三角形，D为底边AB中点，∴CD⊥AB,且CD=-----8’又在直三棱柱中，AA1⊥面ABC,即AA1⊥CD-----9’

∵-----10’即CD为三棱锥C-A1DE的高.在矩形A1ABB1中，

---------11’--------13’21.已知函数，其中.（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若在(1,2)内只有一个零点，求a的取值范围.参考答案：（1）；（2）.【分析】（1）将代入，求出函数解析式，可得的值，利用导数求出的值，可得在点处的切线方程；（2）求出函数的导函数，结合a的讨论，分别判断函数零点的个数，综合讨论结果，可得答案.【详解】解：（1）,，则，故所求切线方程为；（2），当时，对恒成立，则在上单调递增，从而，则，当时，在上单调递减，在上单调递增，则，当时，对恒成立，则在上单调递减，在（1，2）内没有零点，综上，a的取值范围为（0，1）.【点睛】本题主要考查了函数的零点，导函数的综合运用及分段函数的运用，难度中等.22.如图所示,一辆汽车从点出发沿一条直线公路以50公里/小时的速度勻速行驶（