广东省东莞市大岭山镇中学2023年高二数学文月考试题含解析

广东省东莞市大岭山镇中学2023年高二数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=b2+1始终平分（x+1）2+（y+1）2=4的周长，则a，b应满足的关系式（）A．a2﹣2a﹣2b﹣3=0 B．a2+2a+2b+5=0C．a2+2b2+2a+2b+1=0 D．3a2+2b2+2a+2b+1=0参考答案：B【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】根据圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=b2+1始终平分（x+1）2+（y+1）2=4的周长，可得两圆交点的直线过（x+1）2+（y+1）2=4的圆心（﹣1，﹣1），两圆相减可得公共弦，将（﹣1，﹣1）代入可得结论．【解答】解：∵圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=b2+1始终平分（x+1）2+（y+1）2=4的周长∴两圆交点的直线过（x+1）2+（y+1）2=4的圆心（﹣1，﹣1）两圆方程相减可得：（2+2a）x+（2+2b）y﹣a2﹣1=0将（﹣1，﹣1）代入可得﹣2﹣2a﹣2﹣2b﹣a2﹣1=0即5+2a+2b+a2=0故选B【点评】本题考查圆与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．2.当时，下面的程序段输出的结果是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D3.已知集合，则为A．或

B．或C．或

D．或参考答案：A4.若直线Ax+By+C=0（A2+B2≠0）经过第一、二、三象限，则系数A，B，C满足的条件为（）A．A，B，C同号 B．AC＞0，BC＜0 C．AC＜0，BC＞0 D．AB＞0，AC＜0参考答案：B【考点】直线的一般式方程．【分析】利用直线斜率、截距的意义即可得出．【解答】解：∵直线Ax+By+C=0（A2+B2≠0）经过第一、二、三象限，∴斜率，在y轴上的截距＞0，∴AC＞0，BC＜0．故选：B．【点评】本题考查了直线斜率、截距的意义，属于基础题．5.曲线围成的封闭图形的面积为

（

）A.10

B.8 C. 2

D.13参考答案：A略6.正方体的表面积与其外接球表面积的比为（

）．A． B． C． D．参考答案：B设正方体的棱长为，则正方体的表面积，由正方体的体对角线就是其外接球的直径可知：，即，所以外接球的表面积：，故正方体的表面积与其外接球的表面积的比为：．故选．7.已知在极坐标系中，直线l的极坐标方程为，曲线C的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系.（1）写出直线l和曲线C的直角坐标方程；（2）若直线：与曲线C交于P，Q两点，，求的值.参考答案：（1）；（2）.【分析】（1）利用极坐标与直角坐标互化公式即可求解；（2）写出的参数方程，代入曲线C，利用韦达定理及参数t的意义即可求解【详解】（1）因为直线：，故，即直线的直角坐标方程：；因为曲线：，则曲线直角坐标方程：.（2）设直线参数方程为将其代入曲线的直角坐标系方程得，设对应的参数分别为则.【点睛】本题考查极坐标与直角坐标互化，直线参数方程，直线与抛物线的位置关系，弦长公式，准确计算是关键，是基础题.8.已知函数的图象在点处的切线为l，若l也与函数，的图象相切，则必满足（）A. B.C. D.参考答案：D函数的导数为，图像在点处的切线的斜率为，切线方程为，设切线与相切的切点为，，即有的导数为，可得，切线方程为，令，可得，由，可得，且，解得，由，可得，令，，在时单调递增，且，，所以有的根，故选D.9.三名医生和六名护士被分配到三所学校为学生体检，每校分配一名医生和二名护士，不同的分配方法共

(

)A

90

B

180

C

270

D

540

参考答案：D略10.若变量x，y满足约束条件，则的最大值是(

)A． B．1 C． D．2参考答案：C【考点】简单线性规划．【专题】转化思想；数形结合法；不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用直线的斜率的公式，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：设k=，则k的几何意义为区域内的点到原点的斜率，作出不等式组对应的平面区域如图：由图象知直线OA的斜率最大，由得，即A（2，3），此时k=，故选：C【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用直线斜率的公式结合数形结合是解决本题的关键．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设D为不等式组表示的平面区域，区域D上的点与点（1，0）之间的距离的最小值为

．参考答案：【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】首先根据题意作出可行域，欲求区域D上的点与点（1，0）之间的距离的最小值，由其几何意义为点A（1，0）到直线2x﹣y=0距离为所求，代入点到直线的距离公式计算可得答案．【解答】解：如图可行域为阴影部分，由其几何意义为点A（1，0）到直线2x﹣y=0距离，即为所求，由点到直线的距离公式得：d==，则区域D上的点与点（1，0）之间的距离的最小值等于．故答案为：．【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．12.已知（4，2）是直线l被椭圆+=1所截得的线段的中点，则l的方程是．参考答案：x+2y﹣8=0【考点】椭圆的应用；椭圆的简单性质．【分析】设直线l与椭圆交于P1（x1，y1）、P2（x2，y2），由“点差法”可求出直线l的斜率k==﹣=﹣=﹣=﹣．再由由点斜式可得l的方程．【解答】解：设直线l与椭圆交于P1（x1，y1）、P2（x2，y2），将P1、P2两点坐标代入椭圆方程相减得直线l斜率k==﹣=﹣=﹣=﹣．由点斜式可得l的方程为x+2y﹣8=0．13.已知f（x）=x2+3xf′（2），则f′（2）=．参考答案：﹣2【考点】导数的运算．【分析】把给出的函数求导，在其导函数中取x=2，则f′（2）可求．【解答】解：由f（x）=x2+3xf′（2），得：f′（x）=2x+3f′（2），所以，f′（2）=2×2+3f′（2），所以，f′（2）=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查了导数的加法与乘法法则，考查了求导函数的值，解答此题的关键是正确理解原函数中的f′（2），f′（2）就是一个具体数，此题是基础题．14.若的二项展开式中，的系数为则二项式系数最大的项为

参考答案：略15.设，若不等式对任意实数恒成立，则x取值集合是_______.参考答案：【分析】将不等式转化为，分别在、、、的情况下讨论得到的最大值，从而可得；分别在、、的情况去绝对值得到不等式，解不等式求得结果.【详解】对任意实数恒成立等价于：①当时，

②当时，③当时，④当时，

综上可知：，即当时，，解得：当时，，无解当时，，解得：的取值集合为：本题正确结果；【点睛】本题考查绝对值不等式中的恒成立问题，关键是能够通过分类讨论的思想求得最值，从而将问题转化为绝对值不等式的求解，再利用分类讨论的思想解绝对值不等式即可得到结果.16.如图所示，两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都为km，灯塔A在观察站C北偏东20°方向上，灯塔B在观察站C的南偏东40°方向上，则灯塔A与灯塔B的距离为___________km。

参考答案：17.设数列中，，则通项___________。参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分15分）设函数（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间；

（Ⅱ）若函数f(x)在x∈[－1，1]内没有极值点，求a的取值范围；

（Ⅲ）若对任意的a∈[3,6]，不等式在x∈[－2,2]上恒成立，求m的取值范围.参考答案：解：（Ⅰ）∵f′(x)=3x2+2ax－a2=3(x－)(x+a),又a>0，∴当x<－a或x>时f′(x)>0；

当－a<x<时，f′(x)<0.∴函数f(x)的单调递增区间为（－∞，－a），(，+∞)，单调递减区间为(－a，).（Ⅱ）由题设可知，方程f′(x)=3x2+2ax－a2=0在[－1，1]上没有实根∴，解得a>3.

（Ⅲ）∵a∈[3,6]，∴由（Ⅰ）知∈[1，2]，－a≤－3又x∈[－2,2]

∴f(x)max=max{f(－2),f(2)}而f(2)－f(－2)=16－4a2<0

f(x)max=f(-2)=－8+4a+2a2+m（10分）

又∵f(x)≤1在[－2，2]上恒成立

∴f(x)max≤1即－8+4a+2a2+m≤1即m≤9－4a－2a2,在a∈[3，6]上恒成立

∵9－4a－2a2的最小值为－87

∴m≤－87.19.如图，已知双曲线的右焦点F，点A，B分别在C的两条渐近线上，AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA（O为坐标原点）．求双曲线C的方程．参考答案：【考点】双曲线的简单性质．【分析】设F（c，0），通过，直线OB方程为，直线BF的方程为，解得B的坐标，求出A的坐标，然后求出AB的斜率，利用AB⊥OB，求出a2=3，即可得到双曲线C的方程．【解答】解：设F（c，0），因为b=1，所以，直线OB方程为，直线BF的方程为，解得又直线OA的方程为，则．又因为AB⊥OB，所以，解得a2=3，故双曲线C的方程为．20.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直于底面，，，，，E为A1C1的中点，过A、B、E的平面与B1C1交于点F.（1）求证：点F为B1C1的中点；（2）四边形ABFE是什么平面图形?并求其面积。参考答案：（1）见解析；（2）直角梯形，【分析】（1）利用线面平行的判定定理和性质定理，证明A1B1∥平面ABFE，A1B1∥EF，可得点F为B1C1的中点；

（2）四边形ABFE是直角梯形，先判断四边形ABFE是梯形；再判断梯形ABFE是直角梯形，从而计算直角梯形ABFE的面积．【详解】（1）证明：三棱柱中，，平面，平面，平面，又平面，平面平面，，又为的中点，∴点为的中点；（2）四边形直角梯形，理由为：由（1）知，，且，∴四边形是梯形；又侧棱B1B⊥底面ABC，∴B1B⊥AB；又AB=6，BC=8，AC=10，∴AB2+BC2=AC2，∴AB⊥BC，又B1B∩BC=B，∴AB⊥平面B1BCC1；又BF?平面B1BCC1，∴AB⊥BF；∴梯形ABFE是直角梯形；由BB1=3，B1F=4，∴BF=5；又EF=3，AB=6，∴直角梯形ABFE的面积为S=×（3+6）×5=．【点睛】本题考查了空间中的平行关系应用问题，是中档题．21.已知函数f（x）=+lnx．（1）若函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，求正实数a的取值范围；（2）当a=1时，求f（x）在[，2]上的最大值和最小值．（3）求证：对于大于1的正整数n，．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）f（x）在[1，+∞）上为增函数，等价于即ax﹣1≥0对x∈[1，+∞）恒成立，分离参数后化为函数的最值即可求解；（2）先求出函数的导函数以及导数为0的根，进而求出其在[，2]上的单调性即可求f（x）在[，2]上的最大值和最小值．（3）由（1）知f（x）=在[1，+∞）上为增函数，当n＞1时，令x=，则x＞1，故f（x）＞f（1）=0，即f（）=+ln=﹣+ln＞0即可．【解答】解：（1）解：（Ⅰ）由已知得f′（x）=，依题意：对x∈[1，+∞）恒成立，即：ax﹣1≥0对x∈[1，+∞）恒成立，也即：a对x∈[1，+∞）恒成立，∴a，即a≥1；（2）（Ⅱ）当a=1时，f'（x）=．当x∈[，1）时，f'（x）＜0，故f（x）在x∈[，1）上单调递减；当x∈[1，2]时，f'（x）＞0，f（x）在x∈[1，2]上单调递增．∴f（x）在x∈[，2]上有唯一