2023年电大作业工程数学考核作业第二次

第3章线性方程组第４章矩阵的特性值及二次型一、单项选择题1用消元法得的解为(Ｃ）ＡBCＤ2线性方程组（B)A有无穷多解B有唯一解C无解Ｄ只有零解注：经初等行变换,有,线性方程组有唯一解.3向量组,,，,得秩为(A）Ａ３Ｂ２C４设向量组为,,,，则（Ｂ）是极大无关组。ABCD注：极大无关组为:或.５与分别代表一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵,若这个方程组有解，则(A）ＡBCD６若某个线性方程组相应的齐次方程组只有零解，则该线性方程组(A)A也许无解B有唯一解C有无穷多解D无解注:若线性方程组相应的齐次方程组只有零解只能说明:系数矩阵的秩等于未知量的个数，至于系数矩阵的秩与增广矩阵的秩是否相等不得而知。例与７以下结论对的的是（Ｄ)A方程个数小于未知量个数的线性方程组一定有解B方程个数等于未知量个数的线性方程组一定有唯一解C方程个数大于未知量个数的线性方程组一定有无穷多解D齐次线性方程组一定有解(至少有零解,所以对的)８若向量组线性相关，则向量组内(A）可被该向量组内其余向量线性表出。Ａ至少有一个向量B没有一个向量C至多有一个向量D任何一个向量定理3.6９设A,Ｂ为n阶矩阵，既是A又是Ｂ的特性值，既是A又是B的属于的特性向量，则结论（A）成立。A是的特性值B是的特性值C是的特性值D注：由已知得,,，从而选AB和D不对的１０设A，B,P为n阶矩阵，若等式（C)成立，则称Ａ和B相似。ABＣD定义4．２二、填空题1当１时,齐次线性方程组有非零解．注:2向量组，线性相关.注:第五行：包含零向量的向量组一定是线性相关的.３向量组,，,得秩是3.４设齐次线性方程组的系数行列式,则这个方程组有非零解，且系数列向量是线性相关的.5向量组的极大线性无关组是.６向量组的秩与矩阵的秩相等.注：定理3．９7设线性方程组中有5个未知量,且秩(A）=3,则其基础解系中线性无关的解向量有2个.８设线性方程组有解,是它的一个特解，且的基础解系为,则的通解为:（为任意常数）.9若是的特性值,则是方程的根.注:（3)10若矩阵满足为方阵且，则称为正交矩阵.注：定义4．5三、解答题１用消元法解线性方程组解：将增广矩阵通过初等行变换化为阶梯阵：于是知，,,，为唯一解.2设有线性方程组，为什么值时,方程组有唯一解?或有无穷多解？解:方法一:①当时,有,方程组有唯一解，于是有于是当且时，方程有唯一解。②当时,有,有,知有无穷多解．当时,有由，方程组无解．于是,当时,方程组有无穷多解.方法二：于是当时,,方程组无解.当时,方程组有无穷多解.当且时，方程有唯一解。3判断向量能否由向量组线性表出,若能，写出一种表出方式．其中：,,,解：若能由向量组线性表达,有写作线性方程组即为:,于是有，所以不能由线性表出．4计算下列向量组的秩,并且判断该向量组是否线性相关?，，，解:由矩阵（认为列）进行初等行变换，有知向量组的秩为３，由于,所以向量组线性相关.５求齐次线性方程组的一个基础解系.解:将系数矩阵进行初等行变换，有于是有即，令，得化简，令,则为齐次线性方程组的一个基础解系.6求线性方程组的所有解．解：将增广矩阵进行初等行变换,有令，得相应的解向量,令,得相应的解向量,令,得相应的特解，于是线性方程组的所有解为：（其中为任意常数）．７试证：任一4维向量都可由向量组，,，线性表出,且表出方式唯一，写出这种表出方式.证：由已知可由线性表达，有写作线性方程组,有由于系数行列式所以由克拉默法则,线性方程组有唯一解又由于所以.且表出方式唯一。８试证：线性方程组有解时,它有唯一解的充足必要条件是：相应的齐次线性方程组只有零解.证:本题前提条件为:线性方程组有解一方面证明“”即:“有唯一解相应齐次线性方程组只有零解”由线性方程组有解鉴定定理，有当，即满秩时,线性方程组有唯一解.这时当然有相应齐次方程组,即满秩，所以,相应齐次线性方程组只有零解．另一方面证明“”即：“相应齐次线性方程组只有零解有唯一解“一方面，由线性方程组有解,有;又相应齐次线性方程组只有零解,有，即满秩;于是有,有结论:线性方程组有唯一解.9设是可逆矩阵的特性值，且，试证:是矩阵的特性值．证；由已知条件有非零向量,使得即上式两端左乘,得-即整理得由定义可知，是矩阵的特性值，命题得证.10用配方法将二