广东省东莞市东城高级中学2023年高一数学理上学期期末试题含解析

广东省东莞市东城高级中学2023年高一数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.1是的等比中项，2是的等差中项，则的值是(

)A．1或

B．1或

C．1或

D．1或参考答案：D2.已知全集，集合，，则集合CU（A∩B）=A．

B．

C．

D．参考答案：C3.已知数列{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和.已知，则(

)A. B. C.

D.参考答案：C【分析】将已知条件化成等比数列基本量的形式，构成和的方程，解方程求得基本量；再利用等比数列求和公式求得结果.【详解】由等比数列性质可得：又是由正数组成的等比数列

且，

本题正确选项：【点睛】本题考查等比数列求和问题，关键是能够通过已知条件构成关于等比数列基本量的方程，求解得到首项和公比.4.已知函数设

表示中的较大值,表示中的较小值,记的最小值为的最小值为,则(

)

(A)

(B)

(C)16

(D)-16参考答案：D略5.在数列{an}中，，，则等于(

)A. B. C. D.参考答案：C【分析】由数列的递推公式，分别令和，即可求解，得到答案．【详解】由题意知，数列中，，，令，则；令，则，故选C．【点睛】本题主要考查了数列的递推公式的应用，其中解答中合理应用数列的递推公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．6.设向量足，，，则与的夹角为A.

B.

C.

D.参考答案：D向量满足，，可得，所以，可求得，所以，因为向量夹角的取值范围是，所以.

7.函数的值域是（）A． B． C．（0，2] D．[2，4]参考答案：D【考点】指数函数的图象与性质．【分析】求出的范围，根据指数函数的性质求出f（x）的值域即可．【解答】解：∵≤x≤1，∴1≤≤2，∴2≤≤4，∴f（x）的值域是[2，4]，故选：D．8.已知函数在上是减函数，则的取值范围是（

）

A.

B.

C.或

D.

参考答案：D9.若函数与的定义域为R，则A.为奇函数，为偶函数

B.与均为偶函数C.与均为奇函数

D.为偶函数，为奇函数参考答案：D10.设，，，由的大小关系为（

）A． B． C． D．

参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设含有10个元素的集合的全部子集数为S，其中由3个元素组成的子集数为T，则T/S的值为

.参考答案：15/12812.已知函数，正实数满足，且，若在区间上的最大值为2，则

参考答案：213.设是定义域为，最小正周期为的函数，若，则

．参考答案：

14.函数f(x)=的单调递减区间是

参考答案：[，2]

15.函数的定义域为

．参考答案：{x|x≥﹣2且x≠0}【考点】函数的定义域及其求法．【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据函数解析式，列出是解析式有意义的不等式组，求出解集即可．【解答】解：∵函数，∴，解得x≥﹣2且x≠0；∴函数f（x）的定义域为{x|x≥﹣2且x≠0}．故答案为：{x|x≥﹣2且x≠0}．【点评】本题考查了根据函数的解析式求定义域的应用问题，是基础题目．16.已知点，，则以线段AB为直径的圆的标准方程是

．参考答案：∵，，∴AB中点C坐标为(2，1)，圆C的半径以AB为直径的圆的标准方程为，故答案为.

17.对一切实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是

。参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.求使函数是奇函数。参考答案：解析：，为奇函数，则19.（12分）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是BC的中点，AA1=AB=a（Ⅰ）求证：AD⊥B1D；（Ⅱ）求证：A1C∥平面AB1D；（Ⅲ）求三棱锥C﹣AB1D的体积．参考答案：考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题： 综合题；空间位置关系与距离．分析： （Ⅰ）在正三棱柱中，易证明BB1⊥平面ABC及AD⊥BD，根据三垂线定理可知：AD⊥B1D（Ⅱ）根据直线与平面平行的判定定理可知，只要在平面AB1D里面找到一条直线与A1C平行即可，因为D为BC中点，所以构造平行线的时候可以考虑一下构造“中位线”，连接A1B，设A1B∩AB1=E，连接DE，所以DE∥A1C．（Ⅲ）利用，即可求三棱锥C﹣AB1D的体积．解答： （Ⅰ）证明：∵ABC﹣A1B1C1是正三棱柱，∴BB1⊥平面ABC，∴BD是B1D在平面ABC上的射影在正△ABC中，∵D是BC的中点，∴AD⊥BD，根据三垂线定理得，AD⊥B1D．（Ⅱ）证明：连接A1B，设A1B∩AB1=E，连接DE．∵AA1=AB∴四边形A1ABB1是正方形，∴E是A1B的中点，又D是BC的中点，∴DE∥A1C．（7分）∵DE?平面AB1D，A1C?平面AB1D，∴A1C∥平面AB1D．（9分）（Ⅲ）由图知，AA1=AB=a，∴=S△ADCBB1=．点评： 本题考查空间垂直关系、平行关系的证明，考查三棱锥体积的计算．解题时要认真审题，注意合理地化空间问题为平面问题．20.如图是一个面积为1的三角形，现进行如下操作．第一次操作：分别连结这个三角形三边的中点，构成4个三角形，挖去中间一个三角形（如图①中阴影部分所示），并在挖去的三角形上贴上数字标签“1”；第二次操作：连结剩余的三个三角形三边的中点，再挖去各自中间的三角形（如图②中阴影部分所示），同时在挖去的3个三角形上都贴上数字标签“2”；第三次操作：连结剩余的各三角形三边的中点，再挖去各自中间的三角形，同时在挖去的三角形上都贴上数字标签“3”；…，如此下去．记第n次操作中挖去的三角形个数为an．如a1=1，a2=3．（1）求an；（2）求第n次操作后，挖去的所有三角形面积之和Pn？（3）求第n次操作后，挖去的所有三角形上所贴标签上的数字和Qn．参考答案：【考点】数列的求和．【分析】（1）由题意知，数列{an}是以1为首项，以3为公比的等比数列，进而可得an；（2）记第n次操作中挖去的一个三角形面积为bn，则{bn}是以为首项，以为公比的等比数列，进而可得第n次操作后，挖去的所有三角形面积之和Pn；（3）由题意知，第n次操作中挖去的所有三角形上所贴标签上的数字之和为n?3n﹣1，利用错位相减法，可得挖去的所有三角形上所贴标签上的数字和Qn．【解答】解：（1）由题意知，数列{an}是以1为首项，以3为公比的等比数列，所以an=3n﹣1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）记第n次操作中挖去的一个三角形面积为bn，则{bn}是以为首项，以为公比的等比数列，所以bn=，故第n次操作中挖去的所有三角形面积为3n﹣1﹣=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣从而第n次操作后挖去的所有三角形面积之和Pn==．﹣﹣﹣﹣﹣（3）由题意知，第n次操作中挖去的所有三角形上所贴标签上的数字之和为n?3n﹣1，﹣﹣所以所有三角形上所贴标签上的数字的和Qn=1×1+2×3+…+n?3n﹣1，①则3Qn=1×3+2×32+…+n?3n，②①﹣②得，﹣2Qn=1+3+32+…+3n﹣1﹣n?3n=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣故Qn=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣21.(12分)已知函数，(1)若函数的图象经过点（-1，4），分别求,的值；(2)当时，用定义法证明：在(-∞,0)上为增函数．

参考答案：22.（本小题满分12分）一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同。随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.（1）求“抽取的卡片上的数字满足”的概率；（2）求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率.参考答案：（1）；（2）.试题分析：（1）所有的可能结果共有种，而满足的共计3个，由此求得“抽取的卡片上的数字满足”的概率；（2）所有的可能结果共有种，用列举法求得满足“抽取的卡片上的数字、、完全相同”的共计三个，由此求得“抽取的卡片上的数字、、完全相同”的概率，再用1减去此概率，即得所求．试题解析：（1）所有的可能结果共有种，而满足的有、、共计3个故“抽取的卡片上的数字满足”的概率为（2）所有的可能结果共有