第三章 水动力学理论基础-改

第三章水动力学基础在自然界和工程实际中，液体一般处于流动状态。任何实际液体的运动都是在三维空间内发生和发展，但常见的水流往往有向某一个方向运动的趋势，因此，我们可以把这个方向作为流动的主要方向，选取曲线坐标，把整个流股作为研究对象，就把水流看成是一维流动而使问题简化。本章讨论的是一维流动在运动学方面的一些基本定律，反映了各种一维流动现象所共同遵循的普遍规律，是分析液体运动的重要依据。第三章水动力学基础§3-1分析液体运动的两种方法一、拉格朗日法（质点系法、实物法）将整个液体运动作为各个质点运动的总和来考虑，以单个液体质点为研究对象。在一段时间内，某一质点在空间运动的轨迹，称为该质点的“迹线”。利用迹线方程即可得到这个质点相应的空间位置及其速度向量、动水压强等水力要素。所有的质点都用这个方法来分析，就可对整个液体运动的全部过程进行全面、系统的认识。①由于流体质点有无穷多个，每个质点运动规律不同，很难跟踪足够多质点；②数学上存在难以克服的困难；③实用上，不需要知道每个质点的运动情况。§3-1分析液体运动的两种方法二、欧拉法（流场法、空间点法）欧拉法是研究被液体所充满的空间中，液体质点流经各固定空间点时的流动特性。在直角坐标系中，各运动要素是空间坐标x，y，z和时间变量t的函数。空间点的坐标x，y，z，t称为欧拉变量。则流速场u可表示为：u=u(x，y，z，t)设流速u在x、y、z三个坐标轴方向的投影是Ux,Uy,Uz流速场可写成：则：§3-1分析液体运动的两种方法压强场可以表示为：令（x,y,z）为常数，t为变数，可以得出不同瞬时通过空间某一定点的液体流速或压强的变化情况。令t为常数，x,y,z为变量，则可得出同一瞬时在流动场内通过不同空间点的液体流速和压强的分布情况。§3-1分析液体运动的两种方法§3-2描述液体运动的概念二、加速度及其表示方法质点的加速度由两部分组成：迁移加速度（位移加速度）：流动过程中质点由于位移而发生流速变化而产生的加速度。当地加速度（时间加速度）：由于时间过程，使空间点上的流速发生变化而产生加速度。一、恒定流与非恒定流恒定流：流场中所有空间点上一切运动要素都不随时间改变。即：非恒定流：只要有一个运动要素随时间改变。§3-2描述液体运动的概念落地流速方向和大小随时间变化t0t2t1u0u1u2u2u1u0孔口出口流速大小随时间变化

恒定流中，当地加速度为零，迁移加速度可以不为零。ABA'B'uAdtuBdt在水箱放水管中管径相同处取点A，管径变化处取点B。有：当水箱水位变化时：当水箱水位不变时：A点的迁移加速度和当地加速度均为零；B点的当地加速度为零，迁移加速度不为零。A点的迁移加速度为零，当地加速度不为零，为一负值；B点的当地加速度和迁移加速度均不为零。质点的加速度=当地加速度+迁移加速度非恒定引起非均匀性引起§3-2描述液体运动的概念加速度的表达式：在直角坐标系中，流速可写成：则加速度为：§3-2描述液体运动的概念第一项为当地加速度，后三项为迁移加速度。同理：三、流线和迹线1.迹线：流体质点运动时的轨迹线。即在拉格朗日法中，某一流体质点在不同时刻所占据的空间点的连线。§3-2描述液体运动的概念设曲线S是某一流体质点的迹线A2(x+dx,y+dy,z+dz)A1(x,y,z)S则有：dx=uxdtdy=uydtdz=uzdt故可得到：即为流体质点的迹线微分方程，又称迹线方程。xyz§3-2描述液体运动的概念2.流线：在流场中画出某时刻的这样一条曲线，它上面所有液体质点在该瞬时的流速向量都与这一曲线相切，这样的曲线称为流线。流线表明了某瞬时流场中各点的流速方向。非恒定流中的流线有瞬时性，流线与迹线不重合。恒定流中，流线与迹线重合。流线的性质：312源流动2汇流动1、驻点2、奇点3、切点§3-2描述液体运动的概念流线的概念图流经弯道的流线

绕过机翼剖面的流线绕叶片的流线绕突然缩小管道的流线b.流线必须是一条光滑、连续的曲线；c.流线的相交只有三种情况：1)在驻点处（流速为零的点）2)在奇点处（流速为无穷大）3)流线相切时a.流线不能相交；在流线上任取一点，该点流线S与流速u相切，即ds平行于u，则流线方程满足：在直角坐标系中，§3-2描述液体运动的概念展开后得：即为流线微分方程。用欧拉法描述液体运动时，才得出流线微分方程，它是针对一个流场而言。对流线微分方程积分时，认为时间t是常数。§3-2描述液体运动的概念四、均匀流和非均匀流（根据流线形状划分）1、均匀流：流线是平行的直线。2、非均匀流：流线既不平行也不是直线。均匀流中，迁移加速度为零。注意：恒定流与均匀流、非恒定流与非均匀流是两种不同的概念。五、流管、元流、总流1、流管：在流动区中设想一条微小的封闭曲线，通过这条曲线上的每一点可以引出一条流线，这些流线形成的一个封闭管状曲面，称为流管。2、元流：在流管中的液流。3、总流：把封闭曲线L取在运动液体的周界上，则边界内整股液流的流束称为总流。总流可视为无数个元流之和。§3-2描述液体运动的概念微小流管封闭曲线注意流管中液体不会穿过管壁（流管）向外流，流管外液体不会穿过管壁向流管内部流动恒定流时，流束形状和位置不会随时间改变非恒定流时，流束形状和位置随时间改变七、过水断面、流量与断面平均流速1.过水断面：与元流或总流正交的横断面。非均匀流中，过水断面是曲面；均匀流中，过水断面是平面。2.流量：单位时间内通过过水断面的液体体积。用Q表示。单位：（m3/s）、（l/s）元流的流量：有时流量也用重量流量或质量流量表示。六、水力半径§3-2描述液体运动的概念总流的流量：过水断面为平面

过水断面A过水断面A过水断面为曲面

AdAu1212dQ从总流中任取一个微小流束，过水断面为dA，其上的流速为u，则微小流束通过的流量为3.断面平均流速：u=vu§3-2描述液体运动的概念以一个设想的流速（）代替各点的实际流速，该流速就称为断面平均流速。以断面平均流速通过过水断面的流量与以实际流速流过该过水断面的流量相等。总流的流量Q就是断面平均流速与过水断面面积A的乘积。§3-3一维恒定总流的连续性方程一维恒定总流的连续性方程是质量守恒定律的一种特殊形式。1122dA1dA2u1u2取一恒定流中的流管，在dt时间内，从dA1流入的质量为1u1dA1dt，从dA2流出的质量为2u2dA2dt，液体不可压缩：

由质量守恒定律，有：

（元流的连续性方程）§3-3一维恒定总流的连续性方程或：总流流量等于元流流量之和，故总流的连续性方程为：引入断面平均流速：

对于理想液体或实际液体都适用。注意：当流量有流进或流出时，可以写成：Q3Q1Q2Q2Q3Q1§3-3一维恒定总流的连续性方程§3-4一维恒定总流的能量方程一、恒定元流的能量方程1.推导过程u1u22'1'1'2'1122z1z2p1p2dA1dA2取恒定元流上的1-1和2-2两断面间的流段进行分析：经过dt后,该段运动到1'-1'和2'-2'⑴§3-4一维恒定总流的能量方程动能定理：运动物体在某一时段内，动能的增量，等于作用在这个物体上全部外力所做的功之和。dV1-1'=dV2-2'=dV。则重量=dV，dm=dV/g设1-1'段流速为u1，2-2'段为u2，则动能的增量为：2)12段上所有外力作功的总和液体所受的外力有：重力、边界周围的液体压力和液体在流动过程中所受的摩擦阻力。1)1-1和2-2流段间的动能增量u1u22'1'1'2'1122z1z2p1p2dA1dA2液体不可压缩，⑵§3-4一维恒定总流的能量方程a.重力作功W1=dV（z1-z2）若z1>z2则重力作正功；若z1<z2则重力作负功。b.压力作功断面1-1上的总压力为P1=p1dA1，移动距离为ds1，作正功，为p1dA1ds1断面2-2上的总压力为P2=p2dA2，移动距离为ds2，作负功，为-p2dA2ds2压力作功为：W2=p1dA1ds1-p2dA2ds2W2=p1dV

-p2dV=（p1-p2）dVdA1ds1=dA2ds2=dVu1u22'1'1'2'1122z1z2p1p2dA1dA2§3-4一维恒定总流的能量方程u1u22'1'1'2'1122z1z2p1p2dA1dA2c.摩擦阻力作功W3=-dVhw'

摩擦阻力对流体总是作负功，用-hw'表示摩擦阻力对单位重量液体所作的功，则：所有外力作功之和为：W=W1+W2+W3

W=dV(z1-z2)+(p1-p2)dV-dVhw'

………③将②式、③式代入①式，得：除以整理得：………④§3-4一维恒定总流的能量方程不可压缩液体恒定元流的能量方程，又称伯诺力方程。反映了恒定流中沿流各点的位置高度z、压强p和流速u之间的变化规律。2.能量方程的物理意义和几何意义1)物理意义伯诺力方程中的三项分别表示单位重量液体的三种不同的能量形式：z为单位重量液体的势能（位能）。u2/2g为单位重量液体的动能。p/为单位重量液体的压能（压强势能）z+p/=该质点所具有的势能§3-4一维恒定总流的能量方程hw'为单位重量的流体从断面1-1流到2-2过程中由于克服流动的阻力作功而消耗的机械能。这部分机械能转化为热能而损失，因此称为水头损失。单位重量机械能既转化又守恒的关系。2)几何意义恒定元流伯诺力方程的各项表示了某种高度，具有长度的量纲：z为元流过水断面上某点的位置高度，称为位置水头，其量纲[z]=[L]p/：压强水头。p为相对压强时也即测压管高度，其量纲为[p/]=[MLT-2/L2]/［MLT-2/L3］=[L]z+p/+u2/2g=总机械能§3-4一维恒定总流的能量方程u2/2g：流速水头。即液体以速度u垂直向上喷射到空气中时所能达到的高度，量纲为[u2/2g]=[L/T]2/［L/T2］=[L]在水力学上称z+p/为测压管水头;z+p/+u2/2g为总水头。二、恒定总流的能量方程单位时间内通过元流两过水断面的全部液体的能量关系式为：§3-4一维恒定总流的能量方程测管水头线z1ziz2总水头线由于dQ=u1dA1=u2dA2

得到总流两过水断面的总能量之间的关系为：可分别写成：---------------------------⑤§3-4一维恒定总流的能量方程§3-4一维恒定总流的能量方程上式包含三种类型的积分1、第一类积分为它是单位时间内通过总流过水断面的液体势能的总和。为了确定这个积分需要知道总流过水断面上的平均势能或者找出总流过水断面上各点的分布规律，而这一分布规律与该断面上的流动状况有关。液体的流动可分为渐变流与急变流两类。渐变流（又称缓变流）是指诸流线接近于平行直线的流动。§3-4一维恒定总流的能量方程这就是说，各流线的曲率很小(即曲率半径很大)，而且流线间的夹角也很小。否则，就称为急变流。渐变流与急变流没有明确的界限、往往由工程需要的精度来决定。另外，渐变流的极限情况是流线为平行直线的均匀流。渐变流过水断面具有下面两个性质：(1)渐变流过水断面近似为平面；(2)恒定渐变流过水断面上，动水压强的分布与静水压强的分布规律相同。§3-4一维恒定总流的能量方程现证明如下：在过水断面上、任意两相邻流线间取微小柱体，长为，底面积为。(如图示)。分析该柱体所受轴线方向的作用力：上下底面的压强:柱体自重沿轴线方向的投影，其中：为重力与轴线的夹角；侧面上的动水压强以及侧面上的摩擦力趋于零；两底面上的摩擦力因与柱轴垂直故在轴线方向投影为零；在恒定渐变流条件下惯性力可略去不计。根据达朗伯原理，沿轴线方向的各作用力与惯性力之代数和等于零，§3-4一维恒定总流的能量方程注意到代入化简为积分得上式说明了恒定渐变流中同一过水断而上的动水压强按静压规律分布，但是对于不同的过水断面，上式中的常数一般是不同的。若所取过水断面处于均匀流和渐变流中，则断面动水压强符合静水压强分布规律。即：为常数有---------------------------⑥2、实际动能式中----------------⑦3、---------------------------⑧§3-4一维恒定总流的能量方程（动能修正系数）将⑥⑦⑧代入⑤。并注意到Q1=Q2=Q再两边除以rQ,则三、能量（伯诺力）方程的几何表示——水头线总流伯诺力方程的量纲：显然其量纲：[z]=[L]Z：总流过水断面上某点的位置高度，称为位置水头，其量纲[z]=[L]§3-4一维恒定总流的能量方程p/：压强水头。p为相对压强时也即测压管高度，其量纲为u2/2g：流速水头。量纲为显然：hw也具有长度的量纲z+p/称为测压管水头，以Hp表示；z+p/+u2/2g称为总水头，以H表示。总水头与测压管水头之差等于流速水头。§3-4一维恒定总流的能量方程几何线段表示总水头线的坡度称为水力坡度，表示沿程每单位距离上的水头损失，通常用J表示。z1z2z3z4z5z6测管水头线p1/p2/p3/p4/p5/p6/总水头线1v2/2g2v2/2g3v2/2g4v2/2g5v2/2g6v2/2ghw1-2hw1-3hw1-4hw1-5hw1-6§3-4一维恒定总流的能量方程若总水头线是倾斜直线，则：若总水头线是曲线，水力坡度是变值，则：zipi/测管水头线iv2/2g总水头线hw1-i若流速不变，测管水头线与总水头线平行；流速沿程增大，总水头线与测管水头线之间的垂直距离沿程增大；流速变小，则垂直距离缩短。§3-4一维恒定总流的能量方程四、能量（伯诺力）方程的应用条件1.流体必须是恒定流，并且为不可压缩液体；2.作用于流体上的质量力只有重力，流体流动边界是静止的，除了流动损失的能量以外，在两个断面之间没有能量输入或输出；3.计算断面应为渐变流断面或均匀流断面；4.能量方程在推导过程中假定流量沿程不变。实际对于有流量分出或汇入的情况仍适用；§3-4一维恒定总流的能量方程若有能量输入或输出：5.必须选取一个基准面，为了方便，一般z0；6.方程两边的压强必须一致。§3-4一维恒定总流的能量方程112233Q1Q3Q2Q1H11cc00d2A渐变流断面v0vc水箱的来流断面和收缩断面是渐变流断面11管道出口断面1-1是渐变流断面管道或明渠突然扩散和突然缩小附近为急变流突然缩小突然扩大3管道平面转弯nsR111-1剖面管道顶部压强分布渐变流断面上动水压强分布规律：水流射入大气中时的渐变流断面，动水压强不服从静水压强分布规律例如，孔口收缩断面，其上流线近似平行，各点均与大气接触，压强约为大气压强。

固体边界约束的渐变流过水断面，动水压强符合静水压强分布规律.典型的急变流：水流流过凸曲面（立面转弯）nRgaHγHngaR水流流过凹曲面（立面转弯）

HaγH

λγHv21212水面＝测压管水头线v1α1v122gα2v222gz1z2hw总水头线v21212水面＝测压管水头线v1α1v122gα2v222gz1z2hw总水头线11s22334455ipi/γv0hwiH0

总水头线测压管水头线v022gH五、能量（伯诺力）方程应用举例例1：无固体边界约束。图示为一跌水。已知a=4.0米，h=0.5米，V1=1.0米/秒，求水股2-2断面处的流速V2。ahV11122v2解：①选取基准面0-000②选计算断面1-1、2-2③计算点，即已知数最多的点，该点可代表断面其他点。总流的能量方程为：其中：z1=a+h，z2=0，p1=p2=0hw1-2=0，取1=2=1.0§3-4一维恒定总流的能量方程代入：（米/秒）§3-4一维恒定总流的能量方程例2：①文丘里流量计：z1z21122d1d2hmhp1/p2/bQv由连续原理，恒定流中断面平均流速与过水断面面积成反比。喉道处断面缩小，流速增加，动能增加，而总势能只能减小，其减小值等于测压管水头差h，令：1=2=1.0，有§3-4一维恒定总流的能量方程即：…………①测得：………②由连续性方程知：则单位动能增值为：……③§3-4一维恒定总流的能量方程z1z21122d1d2hmhp1/p2/bQv将②、③代入①得：则：其中为文丘里系数§3-4一维恒定总流的能量方程实际流量式为：µ为文丘里管的流量系数，通常µ=0.970.99②比托管的测速原理AuuA=0，pA为最大值，点A称为驻点，此时，液流的动能全部变成压能。zA=zB=0，uA=0pB/uAB00hpA/§3-4一维恒定总流的能量方程考虑能量损失和对流场干扰：pB/uAB00hpA/§3-4一维恒定总流的能量方程h1动压管静压管Δhh2AAA-A12例3试证明图中所示的具有底坎的矩形断面渠道中的三种水流是否有可能发生．证：（a）以0-0为基准面，列1-1，2-2断面能量方程：整理得：假设这种水流可以发生必须＞与实际情况矛盾，故这种水流不可以发生。也可以比较两个断面上的总机械能的变化来判断（总机械能不可能增加）。（b）以0-0为基准面，列1-1，2-2断面能量方程：因为＞势能沿程减少又＜动能沿程增加只要总机械能沿流程减少．也就是说势能的减少能补偿动能的增加与水头损失之和，这种水流就有可能发生．§3-5一维恒定总流的动量方程动量定律：单位时间内物体的动量变化等于作用于此物体的外力的合力。系统：质量为常数的一团液体。控制体：被液体所流过的相对而言于某个坐标系的一个固定不变的空间区域。1-1′段上取一微小体积，质量为：ZXY1'1'2'2'1122u1u2A1A2§3-5一维恒定总流的动量方程动量为一、恒定总流的动量方程1-1'段的动量为：同理可得2-2'段的动量。引入动量修正系数1，1表示了单位时间内通过断面的实际动量与单位时间内以相应的断面平均流速通过的动量的比值。一般液体中，1=1.021.05，常简化采用1=1.0§3-5一维恒定总流的动量方程动量差：单位时间内动量的变化是：ZXY1'1'2'2'1122u1u2A1A2P1P2GR'外力有：上游液体作用于断面1-1上的动水压力P1，下游液体作用于断面2-2上的动水压力P2，重力G和四周边界对这段流体的总作用力R'。§3-5一维恒定总流的动量方程总流的动量定理为：ZXY1'1'2'2'1122u1u2A1A2P1P2GR'§3-5一维恒定总流的动量方程注意事项：1、应在两渐变流断面处取隔离体，但中间也可为急变流；2、动量方程是矢量式，式中的流速和作用力都是有方向的，视其方便选取投影轴，应注意各力及速度的正负号；3、外力包括作用在隔离体上的所有的质量力和表面力。固体边界对流体的作用力可事先假设其方向，若解出该力的计算值为正说明假设方向正确，否则实际作用方向与假设方向相反；4、应是输出动量减输入动量；5、动量方程只能求解一个未知数，若方程中未知数多于一个时，需和连续性方程、动量方程联解；6、应该用相对压强。例：如图示：输水管道在某处水平方向转60°的弯，管径d=500mm，流量Q=1m3/s。已知p1=18mH2O柱，p2=17.7mH2O柱，要求确定水流对弯管的作用力。yxo1122v1v2解：弯管内的水流为急变流，对水流进行受力分析X、y方向的表达式：p1p2R'xR'yR'60°1122G§3-5一维恒定总流的动量方程§3-5一维恒定总流的动量方程令：1=2=1.0，代入上式：R'与x方向的夹角为：水流对弯管的作用力R与R'大小相等，方向相反。§3-5一维恒定总流的动量方程例2：在矩形渠道中修筑一大坝。已知单位宽度流量为15m3/s，水深h1=5m，h2=1.76m，求作用于单位宽度坝上的力F。假定摩擦力与水头损失不计。h1h2Q1122p1p2R解：取隔离体总压力：§3-5一维恒定总流的动量方程水平方向上的动量方程：§3-5一维恒定总流的动量方程R=（12.5-1.55-8.45）=2.59.8=24.5KN则水对坝的作用力F=-R=-24.5KN若h2未知，如何求解h2？解：其中：z1=h1=5mp1=0v1=3m/sα1=α2=1.0Z2=h2p2=0§3-5一维恒定总流的动量方程整理：h23-5.495h22+11.48=0利用试算法：h2=1.76m代入：§3-5一维恒定总流的动量方程§3-6恒定总流的动量矩方程动量矩定理：作用在系统上的外力对某固定点的力矩矢量和等于系统内流体对同一点的动量矩对时间的导数。即：对一维恒定元流的动量矩方程：对一维恒定总流的动量矩方程：§3-6恒定总流的动量矩方程注意：V1和V2分别为流体流入控制体和流出控制体的绝对速度矢量。例：如图为具有轴对称喷水装置，rA=rB=0.3米，喷嘴A和B的流量均为1.0l/s，喷嘴直径均为25mm，不计损失，试确定喷水装置的旋转速度。vA'vA"rArBvB"

vB'ABOv1v2解：设旋转速度为无外力作用于该系统

则有：取两臂到出口段为控制体，则进入喷水管的流体对O轴之矩为零，即：§3-6恒定总流的动量矩方程则：而：绝对速度：因为：AA=AB=§3-6恒定总流的动量矩方程代入：1000110-3[(2.04-0.3)0.3+(2.04-0.3)0.3]=0=6.8（1/s）vA'vA"rArBvB"

vB'ABOv1v2§3-6恒定总流的动量矩方程§3~7连续性微分方程利用质量守恒原理来导出三元流动的连续性微分方程在连续充满整个流场的流体中，任取一个以点为中心的微小六面体。xzydxdydzMN流体通过点的流速为M点坐标N点坐标边长为dx、dy、dz§3~7连续性微分方程按泰勒级数展开，可得M、N点的流体流速（忽略高阶微量）同理：单位时间内流进左面的质量是：§3~7连续性微分方程单位时间内流出右面的质量是：单位时间内在x方向上流出流进的质量差为：同理在y、z方向上，质量差为：§3~7连续性微分方程由质量守恒，流出与流进六面体质量差之总和等于六面体内因密度变化而减少的质量，即：整理：即为连续性微分方程的一般形式对于恒定流则：§3~7连续性微分方程对不可压缩流体：ρ=常数则：上式表明液体的体积膨胀率为零，即一个方向上有拉伸，则在其它方向上必有压缩。§3~7连续性微分方程§3~8理想液体的运动微分方程（欧拉方程）上节是从运动学角度分析流动规律，现在从动力学角度来探讨流动原理在运动的理想流体中，任取一个以点为中心的微小六面体。边长为dx、dy、dzxzydxdydzMN流体通过点的流速为§3~8理想液体的运动微分方程（欧拉方程）由牛顿内摩擦定律得：切应力表面力只有动水压强若点的动水压强为则M、N点的动水压强为：在x方向上，利用牛顿第二定律：§3~8理想液体的运动微分方程（欧拉方程）两边除以同理：称为理想液体的运动微分方程，对恒定流或非恒定流，对不可压缩流体或可压缩流体都适用。§3~8理想液体的运动微分方程（欧拉方程）若为静止流体，则加速度为零，上式变为：欧拉平衡微分方程自学：理想液体运动微分方程的积分，第96页§3~8理想液体的运动微分方程（欧拉方程）§3~9液体微团的运动一元水动力学的四个基本方程：连续性方程、能量方程、动量方程、动量矩方程。下面介绍二元流动与三元流动的分析方法：刚体运动的组成：平移和绕某瞬时轴的转动两部分液体微团（质点）的运动：除平移和转动外，还要发生变形运动（包括线变形与角变形）通过分析微团上邻近两点的速度关系来说明这个问题若在时刻t流场中任一液体微团某点A(x，y，z）的速度分量为则相邻点的速度分量可按泰勒级数展开得到。§3~9液体微团的运动oxyz·A(x,y,z)·M(x+dx,y+dy,z+dz)略去二阶以上的微量，则为显示液体微团运动的三个组成部分，将上式中的第一个式子并重新组织，得到：§3~9液体微团的运动同理：§3~9液体微团的运动引入符号：§3~9液体微团的运动ABCDxy物理意义：分析六面体微团的一个面在其所在的xoy平面上的运动，然后将结果推广到yoz和zox平面上去，得到液体微团的三元流动情况。设在t时刻的矩形平面ABCD上A点的分速度为ux与uy，进而推出B、C、D点的速度分量。§3~9液体微团的运动xy§3~9液体微团的运动对液体微团运动的分析：⑴、ux、uy及uz分别是液体微团在x、y、z方向的平移速度。⑵、θx、θy、θz分别是液体微团在x、y、z方向的线变形速度。因为沿x方向的绝对变形（伸长或缩短）为：沿x方向的单位时间的相对变形为：即为x方向的线变形速度同理分别为y、z方向的线变形速度1、线变形速度§3~9液体微团的运动由材料力学：体积变形速度θ应等于三个方向线变形速度之和。在利用不可压缩流体的连续性微分方程，可得：即不可压缩流体的连续性微分方程描述了不可压缩流体的体积变形速度为零。2、转动角速度(忽略分母中高阶微量）同理代表转动的角速度§3~9液体微团的运动规定：顺时针转动为正，逆时针转动为负。可以看出，微团ABCD经过dt时间以后，由900内产生后，其直角的变化速度是：直角的变化可以由三种不同的组合情况：⑴如dα、dβ转动的方向相反，数值大小相等，即所以角分线A1M不转动，说明液体只有剪切变形，微团不旋转。⑵如dα、dβ转动的方向相同，数值大小相等，即微团ABCD角仍等于900，说明微团只有旋转，没有剪切变形，但是角分线转动了dθ角度。⑶一般情况，dα、dβ角转动的方向和大小可能相等、也可能不相等，说明微团即有剪切变形又有旋转运动。§3~9液体微团的运动定量关系的分析：角分线的旋转角速度：在xoy平面内，令3、剪切变形当微团既有剪切变形又有旋转时，使A1B2转动dα角是剪切和旋转总效果造成的。因已知角速度为dα/dt，则从总效果中扣除旋转运动后，就得到了剪切变形，称为角变形速度。用表示§3~9液体微团的运动或将以上结论推广到三维空间，微团运动的基本形式：1、平移运动速度ux、uy、uz2、变形运动线变形速度（线变率）：角变率：§3~9液体微团的运动旋转角速度：海姆霍兹速度分解定理：平移速度线变率角变率变形速度转动的角速度§3~9液体微团的运动海姆霍兹速度分解定理说明：液体微团任一点M的速度大小等于平移速度+变形速度+转动角速度；该式的重要意义还在于它把旋转运动从一般运动中分离出来，这就可以把流体运动分成有旋流动和无旋流动。该定理的作用主要是分析问题，而不在于直接地用它算出某一具体的速度。§3~9液体微团的运动§3~10有旋流动与无旋流动无旋流动：质点流速不形成微小质团转动的流动。也称为有势流动。有旋流动：质点流速形成微小质团转动的流动。也称为有涡流动。液体本身无旋转，为无旋流动有旋§3~10有旋流动与无旋流动涡线微分方程：abcdabcdabcdabcd液体微团作无旋（涡）运动液体作平面圆周运动bacd液体作平面圆周运动液体微团作无涡运动bacd液体微团作有旋（涡）运动液体作平面圆周运动bacdbacdbacd无旋流动的条件：例1、水从桶底小孔自由泄流，水作近似圆周运动，各点的流速近似认为与半径成反比，即，试判别这种流动类型。xy解：任一质点的流速分量为：旋转角速度为零无旋流动，但有角变形。例2若将盛水圆桶绕本身的铅垂轴作等速旋转，，判别流动类型。xy解：§3~10有旋流动与无旋流动有旋流动例3已知园管恒定流动的流速场为：试分析此流动有无线变形，有无角变形，该流场是有旋流场还是无旋流场。§3~10有旋流动与无旋流动解：无线变形有角变形有旋流动即直线均匀流也是有旋流动§3~10有旋流动与无旋流动§3~11流速势与流函数、流网本节讨论恒定无旋流动。1、流速势：从数学分析知道，对于无旋流动，是使成为某一函数的全微分的充分与必要条件，则函数的全微分可写成比较以上两式得§3~11流速势与流函数、流网这个函数称为无旋流动的流速势。无漩流必为有势流，反之亦然。§3~11流速势与流函数、流网从上式知道，对于无旋（势）流，只要能确定流速势一个未知数，便可方便地求得三个未知数，再利用伯努力方程进一步可求得压强分布。所以，无旋（势）流的关键在于确定流速势。对于不可压缩液体，利用连续性微分方程得或式中是拉普拉斯算子符§3~11流速势与流函数、流网满足该方程的函数称为调和函数。对于xoy平面上的不可压缩液体的平面（二元）流，上式分别写为：2、流函数根据不可压缩液体的平面流动的连续性微分方程，有它是使称为某一函数的全微分的充分与必要条件，则有§3~11流速势与流函数、流网所以就称为不可压缩液体的平面流动的流函数。实际上，无论是无旋势流还是有旋流动，无论是理想液体还是实际液体，在不可压缩液体的平面流动中必存在流函数。上式说明了若能确定流函数一个未知数，则可求得。若则得到显然，这是平面流线方程。因此，等流函数线就是流线方程。例.对于

(1)是否有势流动？若有势，确定其势函数。(2)是否是不可压缩流体的流动？(3)求流函数。的平面流动，问：解：（1）为有势流动，存在势函数（2）若满足即为不可压缩流动为不可压缩流体的流动，存在流函数

（3）§3~11流速势与流函数、流网流函数还有另外一个物理意义，这就是：在不可压缩液体的平面流动中，任意两条流线的流函数之差等于这两条流线间所通过的液体流量。现证明如下：如图所示，在流函数的两条流线间有任一曲线AB(不一定垂直于流线)，在它上面任取一微元线段dl，假定垂直于流动平面的宽度等于1，则通过它的单宽流量为§3~11流速势与流函数、流网故式中n是微元线段dl的法向单位矢量；是流速u在微元线段dl的法向分量。这一积分与曲线AB的形状无关，仅决定于AB两点的值。由此得证。y§3~11流速势与流函数、流网3．流网不可压缩液体的平面势流中，势函数与流函数有一定关系，即等势线与等流函数线处处正交，现在证明这个问题：在等势线上在等流函数上由第一个式子再利用得§3~11流速势与流函数、流网由第二个式子再利用得则从解析几何知道，上式说明了等势线与等流函数线应相互垂直。等势线与等流函数线构成的正交网格称为流网(如图示)。在工程上，可利用绘制流网的方法，图解与计算势流流速场，再运用势流的伯诺里方程便可计算压强场。§3~11流速势与流函数、流网例已知平面点源(汇)流动：(1)问是无旋流还是有旋流；(2)若是无旋流，求其流速势；(3)求平面流动的流函数；(4)求压强分布。解(1)§3~11流速势与流函数、流网故所以是无旋流。(2)对于点源(汇)流动，为方便起见采用极坐标系。如图示，§3~11流速势与流函数、流网因故上式中积分常数可任意给定，现取积分常数等于零。从该式可见，等势线是一簇以原点为心的同心圆(r＝常数)。(3)因故§3~11流速势与流函数、流网上式中，则积分常数等于零。从上式可见，等流函数线是一簇通过原点的射线(＝常数)，由此说明了等势线与等流函数线互相正交。(4)由式若不计重力的影响，则§3~11流速势与流函数、流网得称为平面点源(汇)强度。参考答案3~23~53~63~113~183~21第三章小结与习题课一、几个基本概念恒定流与非恒定流均匀流与非均匀流渐变流与急变流二、恒定总流的连续性方程三、恒定总流的能量方程应用条件：1、恒定渐变流2、不可压缩流体3、质量力只有重力注意事项：1、沿流动方向在渐变流处取过水断面列能量方程；2、基准面原则上可任意选取，但应尽量使各断面的位置水头为正值；3、压强标准亦可任意选取，即可采用相对压强也可采用绝对压强，但对同一问题必须采用相同的标准。而当某断面有可能出现真空现象时，尽量采用绝对压强；4、对于管道计算点常取断面中心点，对于带自由液面的流动计算点常取在自由液面上；5、应取已知量尽量多的断面；6、当一个问题中有2~3个未知量时，需和连续性方程、动量方程联解；7、对于有分叉的管流或明渠流能量方程仍可应用，因为上述能量方程是对单位重量水体而言。四、恒定总流的动量方程注意事项：1、应在两渐变流断面处取隔离体，但中间也可为急变流；2、动量方程是矢量式，式中的流速和作用力都是有方向的，视其方便选取投影轴，应注意各力及速度的正负号；3、外力包括作用在隔离体上的所有的质量力和表面力。固体边界对流体的作用力可事先假设其方向，若解出该力的计算值为正说明假设方向正确，否则实际作用方向与假设方向相反；4、应是输出动量减输入动量；5、动量方程只能求解一个未知数，若方程中未知数多于一个时，需和连续性方程、动量方程联解；6、应该用相对压强。五、例题例1在应用能量方程时，为什么计算断面不能取在急变流断面？解答：为了确定积分式例2有一如图所示的等直径弯管，试问：⑴水流由低流向高处的AB管段中断面平均流速v是否会沿程减少？在由高处流向低处的BC管段中断面平均流速v是否会沿程增大？为什么？⑵如果不计管中的水头损失，何处压强最小？何处最大？进口内A点的压强是否为γH？ABCH11解：⑴因为v=Q/A，V只与Q、A有关，与其他因素没有关系，故从A→B→C，流速无变化。⑵选过A点水平面为基准面，对A、B两点列能量方程：＞选过C点水平面为基准面，对A、C两点列能量方程：＞＞＞对1—1和A点列能量方程：例3①粘性流体总水头线沿程的变化是：⑴沿程下降；⑵沿程上升；⑶保持水平；⑷前三种情况都有可能。②粘性流体测压管水头线沿程的变化是：⑴沿程下降；⑵沿程上升；⑶保持水平；⑷前三种情况都有可能。例4水流从图示水平放置的圆形喷管喷入大气。已知喷嘴直径，，若测得出口流速，试求水流对喷嘴的作用力F，不计水头损失。解：取基准面（0-0与管轴重合），渐变流过水断面（1-1、2-2）如图所示，计算点均取在管轴上，则从1→2建立恒定总流的伯努力方程：由连续性方程：取得取在x方