第三章轴向拉伸和压缩

第三章轴向拉伸和压缩

1屋架结构的简化轴向拉伸和压缩的概念

工程中有很多构件，例如屋架中的杆，是等直杆，作用于杆上的外力的合力的作用线与杆的轴线重合。在这种受力情况下，杆的主要变形形式是轴向伸长或缩短。轴向拉伸和压缩2轴向拉压的工程实例：工程桁架3

活塞杆FF厂房的立柱4轴向拉压的概念：（2）变形特点：杆沿轴线方向伸长或缩短。（1）受力特点：FN1FN1FN2FN2外力合力作用线与杆轴线重合。以轴向拉压为主要变形的杆件，称为拉压杆或轴向承载杆。5两个FP力指向端截面，使杆发生纵向收缩，称为轴向压力。FPFPFPFP

在杆的两端各受一集中力FP作用，两个FP力大小相等，指向相反，且作用线与杆轴线重合两个FP力背离端截面，使杆发生纵向伸长，称为轴向拉力。轴向拉伸和压缩6第一节轴向拉（压）杆的内力所谓内力，从广义上讲，是指杆件内部各质点之间的相互作用力。显然，在无荷载时，这种力是自然存在的，但一旦有外部荷载存在，杆件内部质点之间的相对位置就要发生改变，这种由于荷载作用而引起的受力构件内部之间相互作用力的改变量称为附加内力。建筑力学中研究的是这种附加内力，以后简称内力。轴向拉伸和压缩7构件中的内力随着变形的增加而增加大，但对于确定的材料，内力的增加有一定的限度，超过这一限度，构件将发生破坏。因此，内力与构件的强度和刚度都有密切的联系。在研究构件的强度、刚度等问题时，必须知道构件在外力作用下某截面上的内力值。轴向拉伸和压缩8二、求内力的基本方法——截面法

内力的计算是分析构件强度、刚度、稳定性等问题的基础。求内力的一般方法是截面法。

截面法的基本步骤：

（1）截开：在所求内力的截面处，假想地用截面将杆件一分为二。

（2）代替：任取一部分，其弃去部分对留下部分的作用，用作用在截开面上相应的内力（力或力偶）代替。

（3）平衡：对留下的部分建立平衡方程，根据其上的已知外力来计算杆在截开面上的未知内力。轴向拉伸和压缩9例：已知外力F，求：1－1截面的内力FN

。解：FF1—1∑X=0,FN

-F=0,

FFN（截面法确定）①截开。②代替，FN

代替。③平衡，FN=F。FNF以1－1截面的右段为研究对象：内力FN沿轴线方向，所以称为轴力。10三、轴向拉（压）杆的内力——轴力

轴向拉（压）杆的内力是一个作用线与杆件轴线重合的力，习惯上把与杆件轴线相重合的内力称为轴力。并用符号FN表示。

轴力的正负规定:

FN与外法线同向,为正轴力(拉力)FN与外法线反向,为负轴力(压力)FNFNFNFN轴向拉伸和压缩11

注意:

在计算杆件内力时，将杆截开之前，不能用合力来代替力系的作用，也不能使用力的可传性原理以及力偶的可移性原理。因为使用这些方法会改变杆件各部分的内力及变形。轴向拉伸和压缩12120kN20kN30kNABCD12233∑Fx=0FN1+20=0FN1=-20kN于1-1截面处将杆截开，取右段为分离体，设轴力为正值。则例1试求等直杆指定截面的轴力。FN120kND轴向拉伸和压缩1320kN20kNFN2DC

于2-2截面处将杆截开，取右段为分离体，设轴力为正值。则120kN20kN30kNABCD12233∑Fx=0-FN2+20-20=0FN2=0轴向拉伸和压缩14FN320kN20kN30kNDCB

于3-3截面处将杆截开，取右段为分离体，设轴力为正值。则120kN20kN30kNABCD12233∑Fx=0-FN3+30+20-20=0FN3=30kN轴向拉伸和压缩15

任一截面上的轴力的数值等于对应截面一侧所有外力的代数和，且当外力的方向使截面受拉时为正，受压时为负。FN=ΣF结论120kN20kN30kNABCD12233FN1=-20kNFN2=0FN1=-20kN轴向拉伸和压缩16四、轴力图

为了形象地表明杆的轴力随横截面位置变化的规律，通常以平行于杆轴线的坐标（即x坐标）表示横截面的位置，以垂直于杆轴线的坐标（即FN坐标）表示横截面上轴力的数值，按适当比例将轴力随横截面位置变化的情况画成图形，这种表明轴力随横截面位置变化规律的图称为轴力图。轴向拉伸和压缩17（1）反映出轴力与截面位置变化关系，较直观；（2）确定出最大轴力的数值及其所在横截面的位置，即确定危险截面位置，为强度计算提供依据。意义：轴向拉伸和压缩18例

图示杆的A、B、C、D处分别作用着大小为FA=5F、FB=8F、FC=4F、FD=F的轴向力，方向如图，试求杆内各段的内力并画出杆的轴力图。FN1ABCDFAFBFCFDO解：

求OA段内力FN1：设截面如图ABCDFAFBFCFD19FN2FN3DFDFN4ABCDFAFBFCFDO求CD段内力：

求BC段内力：求AB段内力：FN3=5F，FN4=FFN2=–3F，BCDFBFCFDCDFCFDFN2=–3F，FN3=5F，FN4=FOA段内力20轴力图如下图示FNx2F3F5FFABCDFAFBFCFDOFN3=5F，FN4=FFN2=–3F，21

例杆受力如图所示。试画出杆的轴力图。BD段：DE段：AB段：30kN20kN30kN402010–++FN图（kN）

注：内力的大小与杆截面的大小无关，与材料无关。轴向拉伸和压缩22

轴力图要求：练习直杆受力如图所示，试画出杆的轴力图。2FPFP2FP5FPABCED轴向拉伸和压缩正负号数值阴影线与轴线垂直图名23问题提出：FPFPFPFP1.内力大小不能衡量构件强度的大小。2.强度(1)内力在截面分布集度应力；

(2)材料承受荷载的能力。第二节轴向拉（压）杆的应力轴向拉伸和压缩24FRAK总应力：一、应力的概念受力杆件截面上某一点处的内力集度称为该点的应力。总应力p是一个矢量，通常情况下，它既不与截面垂直，也不与截面相切。为了研究问题时方便起见，习惯上常将它分解为与截面垂直的分量σ和与截面相切的分量τ。轴向拉伸和压缩25总应力分解为与截面相切pK工程中应力的单位常用Pa或MPa。1Pa=1N/m2

1MPa=1N/mm2另外，应力的单位有时也用kPa和GPa，各单位的换算情况如下：1kPa=103Pa，1GPa=109Pa=103MPa1MPa=106Pa正应力σ剪应力τ与截面垂直轴向拉伸和压缩26说明：（1）应力是针对受力杆件的某一截面上某一点而言的，所以提及应力时必须明确指出杆件、截面、点的名称。（2）应力是矢量，不仅有大小还有方向。（3）内力与应力的关系：内力在某一点处的集度为该点的应力；整个截面上各点处的应力总和等于该截面上的内力。轴向拉伸和压缩27FPFP’变形规律试验：二、拉（压）杆横截面上的应力观察发现：当杆受到轴向拉力作用后，所有的纵向线都伸长了，而且伸长量都相等，并且仍然都与轴线平行；所有的横向线仍然保持与纵向线垂直，而且仍为直线，只是它们之间的相对距离增大了。轴向拉伸和压缩28根据从杆件表面观察到的现象，从变形的可能性考虑，可推断：

轴向拉杆在受力变形时，横截面只沿杆轴线平行移动。由此可知：横截面上只有正应力σ。假如把杆想象成是由许多纵向纤维组成的话，则任意两个横截面之间所有纵向纤维的伸长量均相等，即两横截面间的变形是均匀的，所以拉（压）杆在横截面上各点处的正应力σ都相同。

sFNFP轴向拉伸和压缩29通过上述分析知：轴心拉杆横截面上只有一种应力——正应力，并且正应力在横截面上是均匀分布的，所以拉杆横截面上正应力的计算公式为式中A—拉（压）杆横截面的面积；FN—轴力。

当轴力为拉力时，正应力为拉应力，取正号；当轴力为压力时，正应力为压应力，取负号。轴向拉伸和压缩30对于等截面直杆，最大正应力一定发生在轴力最大的截面上。（思考：变截面杆呢？）习惯上把杆件在荷载作用下产生的应力，称为工作应力。通常把产生最大工作应力的截面称为危险截面，产生最大工作应力的点称为危险点。对于产生轴向拉（压）变形的等直杆，轴力最大的截面就是危险截面，该截面上任一点都是危险点。轴向拉伸和压缩311、斜截面上应力确定(1)内力确定：(2)应力确定：①应力分布——均布②应力公式——FNa=FFFFFFNaFNa三、轴向拉压杆任意斜面上应力的计算322、符号规定⑴、a：斜截面外法线与x轴的夹角。x轴逆时针转到n轴“a”规定为正值；x轴顺时针转到n轴“a”规定为负值。⑵、sa：同“s”的符号规定⑶、ta：在保留段内任取一点，如果“ta

”对保留段内任一点之矩为顺时针方向规定为正值，反之为负值。an33,横截面上。,450斜截面上。3、斜截面上最大应力值的确定FNa34

例7-1

图示结构，试求杆件AB、CB的应力。已知F=20kN；斜杆AB为直径20mm的圆截面杆，水平杆CB为15×15的方截面杆。FABC

解：1、计算各杆件的轴力。用截面法取节点B为研究对象45°12BF45°轴向拉伸和压缩35BF45°2、计算各杆件的应力。轴向拉伸和压缩36例7.2一阶梯形直杆受力如图所示，已知横截面面积为试求各横截面上的应力。解：计算轴力画轴力图利用截面法可求得阶梯杆各段的轴力为F1=50kN,F2=-30kN,F3=10kN,F4=-20kN。轴力图。轴向拉伸与压缩（2）、计算机各段的正应力AB段：BC段：CD段：DE段：例7.3石砌桥墩的墩身高其横截面尺寸如图所示。如果载荷材料的重度求墩身底部横截面上的压应力。第7章轴向拉伸与压缩墩身横截面面积：墩身底面应力：（压）一、拉压杆的变形及应变第三节轴向拉（压）杆的变形及胡克定律纵向变形长度量纲FP

FP

all1a1横向变形轴向拉伸和压缩41

为了消除原始尺寸对杆件变形量的影响，准确说明杆件的变形程度，将杆件的纵向变形量△l除以杆的原长l，得到杆件单位长度的纵向变形。横向线应变

线应变--每单位长度的变形，无量纲。纵向线应变FP

FP

all1a1轴向拉伸和压缩42二、泊松比

从上述分析我们已经知道：杆件在轴向拉（压）变形时，纵向线应变ε与横向线应变ε′总是正、负相反的。通过实验表明：当轴向拉（压）杆的应力不超过材料的比例极限时，横向线应变ε′与纵向线应变ε的比值的绝对值为一常数，通常将这一常数称为泊松比或横向变形系数。用μ表示。或泊松比μ是一个无单位的量。它的值与材料有关，可由实验测出。

轴向拉伸和压缩43三、胡克定律

当杆内应力不超过材料的某一极限值（“比例极限”）时引进比例常数EE称为材料的弹性模量，可由实验测出。量纲与应力相同。从式可推断出：对于长度相同，轴力相同的杆件，分母EA越大，杆的纵向变形△l就越小，可见EA反映了杆件抵抗拉（压）变形的能力，称为杆件的抗拉（压）刚度。——胡克定律。轴向拉伸和压缩44若将上式的两边同时除以杆件的原长l，并将代入，于是得——胡克定律。表明：在弹性范围内，正应力与线应变成正比。比例系数即为材料的弹性模量E。轴向拉伸和压缩45

例7-2一矩形截面钢杆，其截面尺寸b×h=3mm×80mm，材料的E=200GPa。经拉伸试验测得：在纵向100mm的长度内，杆伸长了0.05mm，在横向60mm的高度内杆的尺寸缩小了0.0093mm，试求：⑴该钢材的泊松比；⑵杆件所受的轴向拉力FP。解：（1）求泊松比。

求杆的纵向线应比ε求杆的横向线应变ε′求泊松比μ轴向拉伸和压缩46（2）计算杆受到的轴向拉力由虎克定律σ=ε·E计算图示杆件在FP作用下任一横截面上的正应力可求得在FP作用下，杆件横截面上的轴力σ=ε·E=5×10-4×200×103=100MPa又按照应力的计算公式FN=σ·A=100×3×80=24×103=24kN该杆为二力杆，任一截面上的轴力与两端拉力相等，即FN=FP，所以该杆受到的轴向外力FP=24kN。轴向拉伸和压缩47例分段求解:试分析杆AC的轴向变形

Dl。C截面的位移？48F2FaaABCFNxF3F例：已知杆件的E、A、F、a。求：△LAC、δB（B截面位移）εAB

（AB

段的线应变）。解：1)计算内力，画FN图：2)计算：负值表示位移向下49三）、画节点位移图求节点位移二）、求各杆的变形量△li；以垂线代替图中弧线一）、分析受力确定各杆的内力FNil2ABl1CF就是C点的近似位移。四、杆系结构的节点位移求C点的节点位移？C点的节点位移图50写出图2中B点位移与两杆变形间的关系分析：F拉压一、受力分析：二、画B点的节点位移图：1）画沿原杆伸长或缩短线；2）作伸长或缩短线端点垂线；B’点就是节点B的位移点。B点水平位移：B点垂直位移：B点位移：51例：杆1为钢管，A1=100mm²，E1=200GPa,l1=1m;杆2为铝管，A2=250mm²，E2=70GPa。P=10kN。试求：节点A点的垂直位移。解：1)求各杆内力2)求各杆的伸长3)画A点的位移图52例：设横梁ABCD为刚梁，横截面面积为76.36mm²的钢索绕过无摩擦的滑轮。设F=20kN，试求：刚索的应力和C点的垂直位移。设刚索的E=177GPa。解：1）、求钢索内力：对：ABD2)钢索的应力和伸长分别为：60°ABCD60°F400400800钢索ABCDFFNFN53ABCD刚索B′D′1

c△△△23）画变形图求C点的垂直位移为：60°ABCD60°F400400800刚索例：设横梁ABCD为刚梁，横截面面积为76.36mm²的钢索绕过无摩擦的滑轮。设F=20kN，试求：刚索的应力和C点的垂直位移。设刚索的E=177GPa。2)钢索的伸长为：54解：1、画轴力图2、由强度条件设计截面积AB：FN1（x1）=F+γA1x1

xFNP

F+γL1A1

F+γL1A1+γL2A2例：结构如图，已知材料的[]=2

MPa，E=20GPa,混凝土容重=22kN/m³，设计上下两段的面积并求A截面的位移△A。F=100kN12m12mABCBC：FN2（x2）=F+γL1A1+

γA2x2x1x2（-）55AB：FN1（x1）=F+γA1x1F=100kN12m12mABCBC：FN2（x2）=F+γL1A1+

γA2x2x1x2例：结构如图，已知材料的[]=2

MPa，E=20GPa,混凝土容重=22kN/m³，设计上下两段的面积并求A截面的位移△A。

xFNP

F+γL1A1

F+γL1A1+γL2A2563、确定A截面的位移F=100kN12m12mABCAB：FN1（x1）=F+γA1x1BC：FN2（x2）=F+γL1A1+

γA2x257材料的力学性能：是材料在受力过程中表现出的各种物理性质。在常温、静载条件下，塑性材料和脆性材料在拉伸和压缩时的力学性能。7.4.1标准试样试样原始标距与原始横截面面积关系者,有为比例试样。

国际上使用的比例系数k的值为5.65。若k为5.65的值不能符合这一最小标距要求时，可以采取较高的值（优先采用11.3值）。58试样按照GB/T2975的要求切取样坯和制备试样。采用圆形试样，换算后59低碳钢为典型的塑性材料。在应力–应变图中呈现如下四个阶段：601、弹性阶段（段）段为直线段，点对应的应力称为比例极限，用P表示

正应力和正应变成线性正比关系，即遵循胡克定律，弹性模量E和的关系：612、屈服阶段（段）过b点，应力变化不大，应变急剧增大，曲线上出现水平锯齿形状，材料失去继续抵抗变形的能力，发生屈服现象

工程上常称下屈服强度为材料的屈服极限，表示。

用材料屈服时，在光滑试样表面可以观察到与轴线成的纹线，称为滑移线。

623、强化阶段（段）材料晶格重组后，又增加了抵抗变形的能力，要使试件继续伸长就必须再增加拉力，这阶段称为强化阶段。处的应力，称为强度极限()曲线最高点冷作硬化现象，在强化阶段某一点处，缓慢卸载，冷作硬化使材料的弹性强度提高，而塑性降低的现象则试样的应力–应变曲线会沿着回到634、局部变形阶段（段）试样变形集中到某一局部区域，由于该区域横截面的收缩，形成了图示的“颈缩”现象最后在“颈缩”处被拉断。代表材料强度性能的主要指标：和强度极限屈服极限可以测得表示材料塑性变形能力的两个指标：伸长率和断面收缩率。（1）伸长率64灰口铸铁是典型的脆性材料，其应力–应变图是一微弯的曲线，如图示没有明显的直线。无屈服现象，拉断时变形很小，强度指标只有强度极限其伸长率对于没有明显屈服阶段的塑性材料，通常以产生0.2%的塑性应变所对应的应力值作为屈服极限表示。称为名义屈服极限，用65（2002年的标准称为规定残余延伸强度，延伸率为0.2%时的应力。）表示，例如，表示规定残余用66材料压缩时的力学性能金属材料的压缩试样，一般制成短圆柱形，柱的高度约为直径的1.5~3倍，试样的上下平面有平行度和光洁度的要求非金属材料，如混凝土、石料等通常制成正方形。低碳钢是塑性材料，压缩时的应力–应变图，如图示。在屈服以前，压缩时的曲线和拉伸时的曲线基本重合，屈服以后随着压力的增大，试样被压成“鼓形”，最后被压成“薄饼”而不发生断裂，所以低碳钢压缩时无强度极限。67铸铁是脆性材料，压缩时的应力–应变图，如图示，试样在较小变形时突然破坏，压缩时的强度极限远高于拉伸强度极限（约为3~6倍），破坏断面与横截面大致成的倾角。铸铁压缩破坏属于剪切破坏。68建筑专业用的混凝土，压缩时的应力–应变图，如图示。混凝土的抗压强度要比抗拉强度大10倍左右。69第五节许用应力、安全系数和强度计算一、许用应力和安全系数塑性材料脆性材料极限应力

n—安全系数—许用应力。任何一种材料都存在一个能承受应力的上限，这个上限称为极限应力，常用符号σo表示。轴向拉伸和压缩70塑性材料的许用应力脆性材料的许用应力

选取安全系数的原则是：在保证构件安全可靠的前提下，尽可能减小安全系数来提高许用应力。

确定安全系数时要考虑的因素，如：材料的均匀程度、荷载的取值和计算方法的准确程度、构件的工作条件等。塑性材料nS取1.4～1.7；脆性材料nb取2.5～3。某些构件的安全系数和许用应力可以从有关的规范中查到。轴向拉伸和压缩71二、轴向拉压杆的强度计算σmax≤[σ]

σmax是杆件的最大工作应力，可能是拉应力，也可能是压应力。对于脆性材料的等截面杆，其强度条件式为：

式中：σtmax及[σt]分别为最大工作拉应力和许用拉应力；σcmax及[σc]分别为最大工作压应力和许用压应力。1.强度条件轴向拉伸和压缩72根据强度条件，可以解决三类强度计算问题1、强度校核：2、设计截面：3、确定许可载荷：⒉强度条件在工程中的应用轴向拉伸和压缩73例7-4正方形截面阶梯形砖柱。已知：材料的许用压应力[σC]=1.05MPa，弹性模量E=3GPa，荷载FP=60kN，试校核该柱的强度。解（1）画轴力图如图b所示。（2）计算最大工作应力需分段计算各段的应力，然后选最大值。轴向拉伸和压缩74σmax=0.96MPa＜[σC]=1.05MPa

（3）校核强度比较得：最大工作应力为压应力，产生在AB段。即|σmax|=0.96Mpa。所以该柱满足强度要求。轴向拉伸和压缩75

例7-5已知钢筋混凝土组合屋架受到竖直向下的均布荷载q=10kN/m，水平钢拉杆的许用应力[σ]=160MPa。试按要求设计拉杆AB的截面。⑴拉杆选用实心圆截面时，求拉杆的直径。⑵拉杆选用二根等边角钢时，选择角钢的型号。1.4m钢拉杆q8.4m解（1）整体平衡求支反力FAyFBy轴向拉伸和压缩76钢拉杆q=4.2kN/mFAy（3）设计拉杆的截面。FNFCyFCx（2）求拉杆的轴力。用截面法取左半个屋架为研究对象，列平衡方程ΣMC=0轴向拉伸和压缩77当拉杆为实心圆截面时取d=23mm。当拉杆用角钢时，查型钢表。每根角型的最小面积应为

选用两根36×3的3.6号等边角钢。轴向拉伸和压缩7836×3的3.6号等边角钢的横截面面积

A1=210.9mm2故此时拉杆的面积为

A=2×210.9mm2=421.8mm2＞393.8mm2能满足强度要求，同时又比较经济。轴向拉伸和压缩79[例]已知一圆杆受拉力F=25kN，直径