第三章 第七节 正弦定理和余弦定理

第七节正弦定理和余弦定理正弦定理与余弦定理定理正弦定理余弦定理内容（R是△ABC外接圆的半径）

在△ABC中，有a2=_______________;b2=_______________c2=_______________b2+c2-2bccosAc2+a2-2cacosBa2+b2-2abcosC面积公式定理正弦定理余弦定理变形公式①a=_________,b=_________,c=_________；②sinA∶sinB∶sinC=_______③

2RsinA2RsinB2RsinCa∶b∶c,sinC=定理正弦定理余弦定理解决的问题①已知两角和任一边，求其它边和角②已知两边和其中一边的对角，求其它边和角①已知三边,求各角②已知两边和它们的夹角,求第三边和其他角注意：1.用正弦定理求角时，有时会出现多个解，要注意分析取舍2.在已知两边及一边的对角时，有时用余弦定理列方程比正弦定理更简捷，要灵活使用定理。判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）.（1）在△ABC中，A＞B必有sinA＞sinB.()（2）正弦定理对直角三角形不成立.()（3）在△ABC中共有三个角、三个边六个量，可以已知三个量求另外三个量.()（4）余弦定理对任意三角形均成立.()（5）正弦定理可以实现边角互化，但余弦定理不可以.()答案：（1）√（2）×（3）×（4）√（5）×例2：在△ABC中，a,b，c分别是角A，B，C的对边，且（1）求角B的大小.（2）若求a,c的值.（1）（2013·唐山模拟）在△ABC中,则B=()（2）（2013·惠阳模拟）已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边，若则sinC等于()变式训练CA(3).在△ABC中，B＝30°，C＝120°，则a∶b∶c＝_____.

（4）（2013·西安模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c.①若求A的值；②若求sinC的值.（5）如图,在△ABC中，点D在BC边上，AD=33,（1）求sin∠ABD的值.（2）求BD的长.【拓展提升】

1.已知两边和其中一边的对角时解三角形的情况已知两边和其中一边的对角,解三角形时,注意解的情况.如已知a,b,A,则有两解、一解、无解三种情况.2.解三角形中的常用公式和结论(1）A+B+C=π.(2)sin(A+B)=sinC，cos(A+B)=-cosC，tan（A+B）=-tanC.

(3)(4)三角形ABC中（8）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c，且满足则边a=()(7).在△ABC中，已知a2＝b2＋bc＋c2，则角A等于______.(5)(2013·重庆模拟)在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a,b,c，若a2+b2=2c2，则角C的最大值为()(6)（2013·济南模拟）已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC=3∶2∶4，则cosC等于()CBC(2).△ABC满足acosB=bcosA，则△ABC的形状为()(A)直角三角形(B)等边三角形(C)等腰三角形(D)等腰直角三角形(1)(2013·哈尔滨模拟)在△ABC中,若a=2bcosC,则△ABC是()(A)锐角三角形 (B)等腰三角形(C)钝角三角形 (D)直角三角形B变式训练（3）△ABC中，若b=asinC,c=acosB,则△ABC的形状为------三角形C(4)△ABC中，已知a-b=ccosB－ccosA，则△ABC的形状为()(A)等腰三角形(B)直角三角形(C)等腰直角三角形(D)等腰或直角三角形D【拓展提升】

1.三角形形状的判断思路(1)若出现边与边的关系时主要看是否有等边或是否符合勾股定理等.(2)若出现角与角的关系时主要是看是否有等角、有无直角或钝角等.2.判定三角形形状的两种常用途径(1)边化角：通过正弦定理或余弦定理，化边为角,利用三角变换得出三角形内角之间的关系后进行判断.(2)角化边：利用正弦定理或余弦定理，化角为边,通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系后进行判断.四、正、余弦定理综合问题【典例】(12分)（2012·江苏高考）在△ABC中，已知（1）求证：tanB=3tanA.（2）若求A的值．变式训练1.(2012·湖北高考)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若(a+b-c)(a+b+c)=ab,则角C等于()(A)30° (B)45° (C)60° (D)120°D2.(2013·合肥模拟)在△ABC中,sin2A≤sin2B+sin2C-sinBsinC,则A的取值范围是()(A)(0,] (B)[,π)(C)(0,] (D)[,π)C3.(2012·北京高考)在△ABC中,a=2,b+c=7,cosB=,则b=

.4.在△ABC中，若2acosB=c，则的取值范围是()4C5.(2013·巢湖模拟）已