非机理模型在数学建模中的应用

关于非机理模型在数学建模中的应用第一页，共四十四页，2022年，8月28日

当人们对研究对象的内在特性和各因素间的关系有比较充分的认识时，一般用机理分析方法建立数学模型，但如果由于客观事物内部规律的复杂性及人们认识程度的限制，无法分析实际对象的内在的因果关系、建立合乎机理规律的数学模型，那么通常的办法是搜集大量的数据，基于对数据的统计分析去建立模型。本部分将介绍概率统计的基本应用描述与分析，以及用途最为广泛的两类数理统计随机模型——统计回归模型和马氏链模型。概率与统计思想在数学建模中的应用沈阳建筑大学理学院第二页，共四十四页，2022年，8月28日例1.报童的诀窍问题报童售报：a(零售价)

>b(购进价)

>c(退回价)售出一份赚a-b；退回一份赔b-c

每天购进多少份可使收入最大？分析购进太多卖不完退回赔钱购进太少不够销售赚钱少应根据需求确定购进量.存在一个合适的购进量一、概率论在建模中的应用第三页，共四十四页，2022年，8月28日每天需求量是随机的优化问题的目标函数应是长期的日平均收入每天收入是随机的等于每天收入的期望第四页，共四十四页，2022年，8月28日建模

设每天购进n份，日平均收入为G(n)求n使G(n)最大

已知售出一份赚a-b；退回一份赔b-c调查需求量的随机规律——每天需求量为r的概率f(r),r=0,1,2…准备第五页，共四十四页，2022年，8月28日求解将r视为连续变量第六页，共四十四页，2022年，8月28日结果解释nP1P2取n使

a-b~售出一份赚的钱

b-c~退回一份赔的钱Orp第七页，共四十四页，2022年，8月28日二、数据的统计描述与分析

数理统计学是以概率论为基础，从实际观测资料出发，研究如何合理的搜集资料（数据）来对随机变量的分布函数、数字特征等进行估计、分析和推断。更具体地说：数理统计学是研究从一定总体中随机抽出一部分（称为样本）的某些性质，以此对所研究总体的性质作出推测性的判断。具体包括：参数估计、假设检验、方差分析、回归分析及马尔可夫链等。沈阳建筑大学理学院第八页，共四十四页，2022年，8月28日

一件产品由若干零件组装而成，标志产品性能的某个参数取决于这些零件的参数。零件参数包括标定值和容差。进行成批生产时，标定值表示一批零件参数的平均值，容差则给出了参数偏离其标定值的容许范围。若将零件参数视为随机变量，则标定值代表期望，在生产部门无特别要求时，容差通常规定为均方差的3倍。例2.零件的参数设计沈阳建筑大学理学院背景介绍第九页，共四十四页，2022年，8月28日

某粒子分离器某参数由7个零件的参数决定，经验公式为y的目标值为y0=1.5。当y偏离y0±0.1时，产品为次品，质量损失1000元；当y偏离y0±0.3时，产品为废品，质量损失9000元。沈阳建筑大学理学院第十页，共四十四页，2022年，8月28日表1零件参数标定值容许范围及其成本标准值容许范围C等B等A等x1[0.075,0.125]/25/x2[0.225,0.375]2050/x3[0.075,0.125]2050200X4[0.075,0.125]50100500X5[1.125,1.875]50//X6[12,20]1025100x7[0.5625,0.9375]/25100

零件参数的标定值有一定容许变化范围，容差分A、

B、C三个等级，用与标定值的相对值表示，A等为±1%，B等为±5%，C等为±10%。7个零件参数标定的容许范围及不同容差等级的成本见表1（符号“/”表示无此等级的零件）。沈阳建筑大学理学院第十一页，共四十四页，2022年，8月28日

考虑当成批生产，每批产量1000个时，如原设计7个零件参数的标定值：x1=0.1，x2=0.3，x3=0.1，x4=0.1，x5=1.5，x6=16，x7=0.75，容差均取便宜的等级。

请综合考虑y偏离y0的损失和零件成本，重新设计零件参数（包括标定值和容差），并与原设计比较，总费用降低多少？沈阳建筑大学理学院第十二页，共四十四页，2022年，8月28日

目标函数为总费用，它由两部分组成：一是零件的成本；二是由于产品的参数y偏离目标值y0造成的损失。因此，原问题可归结为在一定约束条件下的非线性规划问题。1、问题的分析

由于零件在加工制造过程中存在多种随机因素，如零件安装的误差，刀具的磨损，测量的误差等等，因此，由中心极限定理知零件的参数可以看成是服从正态分布的随机变量。设七个零件的加工是独立的，则七个零件的参数可视作相互独立的正态随机变量，即设2、关于零件参数的假设沈阳建筑大学理学院第十三页，共四十四页，2022年，8月28日3、模型的初步建立

由于产品的参数y为零件参数的函数，也是随机变量，记l(y)为生产一件产品造成的损失，则l(y)是随机函数，且可表达为：(1)

其中生产一件产品的平均损失费用(2)

沈阳建筑大学理学院第十四页，共四十四页，2022年，8月28日4、模型中变量的分布及参数的求解（1）首先估计y的分布

需要解决下面两个问题：用什么分布描述y？估计出分布后，如何计算相应的参数？

可采用模拟的办法产生一批X=(X1,X2,…X7)的样本，这样就得到了y的模拟样本，由此可以对y的分布进行统计分析。沈阳建筑大学理学院第十五页，共四十四页，2022年，8月28日

这里采用MATLAB软件编程进行试验，然后使用histfit(y)指令根据模拟y的样本画出的直方图及其正态密度的拟合。

用上面的程序计算的结果，看来本问题将y视为正态分布是合理的。沈阳建筑大学理学院第十六页，共四十四页，2022年，8月28日（2）对所提出的y为正态分布进行假设检验及参数的相应估计拟合检验法来检验y是否服从正态分布方法：皮尔逊N(μ,σ2)，这里μ和σ2可以由y的样本进行矩估计或极大似然估计，

对均值得检验可直接调用ztest、ttest指令来完成，其调用格式如下：[h,p,ci]=ztest(x,mu,sigma,alpha,tail)：均方差sigma

为已知。[h,p,ci]=ttest(x,mu,alpha,tail)：均方差sigma为未知。沈阳建筑大学理学院第十七页，共四十四页，2022年，8月28日

从结果看：p=0.8387，并不是小概率事件，且h=0，因此所提原假设（即H0:μ=μ0）成立，结果表明：Y仍为正态分布，即：其概率密度函数为：

因此，大批生产时平均每件产品的质量损失费用为：(3)

沈阳建筑大学理学院第十八页，共四十四页，2022年，8月28日5、模型解析表达式最终的确定产品总费用＝零件总成本＋质量损失费用。生产一批1000件产品总费用的目标函数可写成

设cij为第i个参数取第j个容差等级时所需成本，第1，2，3容差等级分别表示A，B，C等级。

设dij为0-1变量，如果第i个参数取第j个容差等级则取值为1，否则取值为0。(4)

沈阳建筑大学理学院第十九页，共四十四页，2022年，8月28日最终数学模型如下：(5)

沈阳建筑大学理学院第二十页，共四十四页，2022年，8月28日回归模型是用统计分析方法建立的最常用的一类模型.通过对数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型.

不涉及回归分析的数学原理和方法.

通过实例讨论如何选择不同类型的模型.

对软件得到的结果进行分析，对模型进行改进.由于客观事物内部规律的复杂及人们认识程度的限制,无法分析实际对象内在的因果关系，建立合乎机理规律的数学模型.三、统计回归模型沈阳建筑大学理学院第二十一页，共四十四页，2022年，8月28日例3.香皂的销售量

问题建立香皂销售量与价格、广告投入之间的模型;预测在不同价格和广告费用下的香皂销售量.收集了30个销售周期本公司香皂销售量、价格、广告费用，及同期其他厂家同类牙膏的平均售价.9.260.556.804.253.70307.930.055.803.853.80298.510.256.754.003.7527.38-0.055.503.803.851销售量(百万块)价格差（元）广告费用(百万元)其他厂家价格(元)本公司价格(元)销售周期沈阳建筑大学理学院第二十二页，共四十四页，2022年，8月28日基本模型y~公司香皂销售量x1~其他厂家与本公司价格差x2~公司广告费用x2yx1yx1,x2~解释变量(回归变量,自变量)y~被解释变量（因变量）0,1

,2,3~回归系数~随机误差（均值为零的正态分布随机变量）沈阳建筑大学理学院第二十三页，共四十四页，2022年，8月28日MATLAB统计工具箱

模型求解[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x,alpha)

输入

x=~n4数据矩阵,第1列为全1向量alpha(置信水平,0.05)

b~的估计值bint~b的置信区间r~残差向量y-xb

rint~r的置信区间Stats~检验统计量

R2,F,p,s2

y~n维数据向量输出

由数据y,x1,x2估计参数参数估计值置信区间17.3244[5.728228.9206]1.3070[0.68291.9311]-3.6956[-7.49890.1077]0.3486[0.03790.6594]R2=0.9054F=82.9409p<0.0001s2=0.04900123沈阳建筑大学理学院第二十四页，共四十四页，2022年，8月28日结果分析y的90.54%可由模型确定参数参数估计值置信区间17.3244[5.728228.9206]1.3070[0.68291.9311]-3.6956[-7.49890.1077]0.3486[0.03790.6594]R2=0.9054F=82.9409p<0.0001s2=0.04900123F远超过F检验的临界值p远小于=0.05

2的置信区间包含零点(右端点距零点很近)x2对因变量y的影响不太显著x22项显著可将x2保留在模型中模型从整体上看成立沈阳建筑大学理学院第二十五页，共四十四页，2022年，8月28日销售量预测价格差x1=其他厂家价格x3-本公司价格x4估计x3调整x4控制价格差x1=0.2元，投入广告费x2=6.5百万元销售量预测区间为[7.8230，8.7636]（置信度95%）上限用作库存管理的目标值下限用来把握公司的现金流若估计x3=3.9，设定x4=3.7，则可以95%的把握知道销售额在7.83203.729（百万元）以上控制x1通过x1,x2预测y(百万支)沈阳建筑大学理学院第二十六页，共四十四页，2022年，8月28日模型改进x1和x2对y的影响独立

参数参数估计值置信区间17.3244[5.728228.9206]1.3070[0.68291.9311]-3.6956[-7.49890.1077]0.3486[0.03790.6594]R2=0.9054F=82.9409p<0.0001s2=0.04260123参数参数估计值置信区间29.1133[13.701344.5252]11.1342[1.977820.2906]-7.6080[-12.6932-2.5228]0.6712[0.25381.0887]-1.4777[-2.8518-0.1037]R2=0.9209F=72.7771p<0.0001s2=0.049030124x1和x2对y的影响有交互作用沈阳建筑大学理学院第二十七页，共四十四页，2022年，8月28日两模型销售量预测比较预测区间[7.8230，8.7636]预测区间[7.8953，8.7592]控制价格差x1=0.2元，投入广告费x2=6.5百万元预测区间长度更短略有增加预测值预测值沈阳建筑大学理学院第二十八页，共四十四页，2022年，8月28日x2=6.5x1=0.2x1x1x2x2两模型与x1,x2关系的比较沈阳建筑大学理学院第二十九页，共四十四页，2022年，8月28日交互作用影响的讨论价格差x1=0.1价格差x1=0.3加大广告投入使销售量增加（x2大于6百万元）价格差较小时增加的速率更大x2价格优势会使销售量增加价格差较小时更需要靠广告来吸引顾客的眼球沈阳建筑大学理学院第三十页，共四十四页，2022年，8月28日完全二次多项式模型MATLAB中有命令rstool直接求解从输出Export可得鼠标移动十字线(或下方窗口输入)可改变x1,x2,左边窗口显示预测值及预测区间沈阳建筑大学理学院第三十一页，共四十四页，2022年，8月28日香皂的销售量

建立统计回归模型的基本步骤

根据已知数据从常识和经验分析,辅之以作图,

决定回归变量及函数形式(先取尽量简单的形式).

用软件(如MATLAB统计工具箱)求解.

对结果作统计分析:R2,F,p,s2是对模型整体评价,

回归系数置信区间是否含零点检验其影响的显著性.

模型改进,如增添二次项、交互项等.

对因变量进行预测.沈阳建筑大学理学院第三十二页，共四十四页，2022年，8月28日马氏链的基本方程基本方程转移概率矩阵（非负，行和为1）~状态概率向量四、马氏链模型沈阳建筑大学理学院第三十三页，共四十四页，2022年，8月28日马氏链的两个重要类型1.正则链

~从任一状态出发经有限次转移能以正概率到达另外任一状态(如例1).w~稳态概率正则链正则链满足满足沈阳建筑大学理学院第三十四页，共四十四页，2022年，8月28日马氏链的两个重要类型2.吸收链

~存在吸收状态（一旦到达就不会离开的状态i,pii=1）,且从任一非吸收状态出发经有限次转移能以正概率到达吸收状态(如例2).有r个吸收状态的吸收链的转移概率阵标准形式R有非零元素yi~从第i个非吸收状态出发，被某个吸收状态吸收前的平均转移次数.沈阳建筑大学理学院第三十五页，共四十四页，2022年，8月28日例5.钢琴销售的存贮策略

钢琴销售量很小，商店的库存量不大以免积压资金.

一家商店根据经验估计，平均每周的钢琴需求为1架.存贮策略：每周末检查库存量，仅当库存量为零时，才订购3架供下周销售；否则，不订购.

估计在这种策略下失去销售机会的可能性有多大?

以及每周的平均销售量是多少?背景与问题沈阳建筑大学理学院第三十六页，共四十四页，2022年，8月28日问题分析

顾客的到来相互独立，需求量近似服从泊松分布，其参数由需求均值为每周1架确定，由此计算需求概率.存贮策略是周末库存量为零时订购3架周末的库存量可能是0,1,2,3，周初的库存量可能是1,2,3.用马氏链描述不同需求导致的周初库存状态的变化.动态过程中每周销售量不同，失去销售机会（需求超过库存）的概率不同.

可按稳态情况（时间充分长以后）计算失去销售机会的概率和每周的平均销售量.

沈阳建筑大学理学院第三十七页，共四十四页，2022年，8月28日模型假设钢琴每周需求量服从泊松分布，平均每周1架.存贮策略：当周末库存量为零时，订购3架，周初到货；否则，不订购.以每周初的库存量作为状态变量，状态转移具有无后效性.在稳态情况下计算失去销售机会的概率和每周的平均销售量,作为该存贮策略的评价指标.沈阳建筑大学理学院第三十八页，共四十四页，2022年，8月28日模型建立

Dn~第n周需求量，均值为1的泊松分布

Sn~第n周初库存量(状态变量)状态转移规律

Dn

0123>3P0.3680.3680.184