山西省阳泉市仙人乡中学2022-2023学年高三数学文期末试卷含解析

山西省阳泉市仙人乡中学2022-2023学年高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.记Sn是等比数列{an}的前n项和，若，则公比q=（

）A.0 B.－1 C.1 D.无法确定参考答案：B【分析】用和表示，结合以及可求出的值.【详解】由题意可知，且，解得.故选：B.【点睛】本题考查等比数列求项和中基本量的计算，考查运算求解能力，属于基础题.2.一名小学生的年龄和身高（单位：cm)的数据如下：

年龄x6789身高y118126136144由散点图可知，身高y与年龄x之间的线性回归直线方程为，预测该学生10岁时的身高为(A)154.(B)153(C)152(D)151参考公式：回归直线方程是：参考答案：B由表格可知因线性回归直线方程过样本中心，则预测该学生10岁时的身高为153.3.已知命题是的充分不必要条件；命题若数列的前项和，那么数列是等差数列.则下列命题是真命题的是（

）A．

B．

C.

D．参考答案：B4.设等差数列的前项和为，若，，则（

）（A）16

（B）20

（C）24

（D）26参考答案：A5.函数的部分图象如右图所示，设是图象的最高点，是图象与轴的交点，则(

)A.

B.

C.

D.参考答案：B略6.已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x）=且f（x+2）=f（x），g（x）=，则方程f（x）=g（x）在区间上的所有实根之和为(

)A．﹣8 B．﹣7 C．﹣6 D．0参考答案：B【考点】分段函数的应用．【专题】计算题；数形结合；函数的性质及应用．【分析】化简g（x）的表达式，得到g（x）的图象关于点（﹣2，1）对称，由f（x）的周期性，画出f（x），g（x）的图象，通过图象观察上的交点的横坐标的特点，求出它们的和【解答】解：由题意知g（x）==2+，函数f（x）的周期为2，则函数f（x），g（x）在区间上的图象如右图所示：由图形可知函数f（x），g（x）在区间上的交点为A，B，C，易知点B的横坐标为﹣3，若设C的横坐标为t（0＜t＜1），则点A的横坐标为﹣4﹣t，所以方程f（x）=g（x）在区间上的所有实数根之和为﹣3+（﹣4﹣t）+t=﹣7．故选：B．【点评】本题考查分段函数的图象和运用，考查函数的周期性、对称性和应用，同时考查数形结合的能力，属于中档题．7.已知

（

）

（A）

（B）－

（C）

（D）－参考答案：答案：D8.三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法.所谓割圆术，就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率的方法.如图是刘徽利用正六边形计算圆周率时所画的示意图，现向圆中随机投掷一个点，则该点落在正六边形内的概率为（

）A． B．

C．

D．参考答案：A设圆的半径为，则圆的面积，正六边形的面积，所以向圆中随机投掷一个点，该点落在正六边形内的概率，故选A.9.已知,则（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A10.“”是“函数

在R上单调递减”的(

)A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C.充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知[x）表示大于x的最小整数，例如[3）=4，[﹣2，﹣1）=﹣1．下列命题中真命题为

．（写出所有真命题的序号）①函数f（x）=[x）﹣x的值域是（0，1]；②若{an}为等差数列，则[an）也是等差数列；③函数f（x）=[x）﹣x是周期函数；④若x∈（1，4），则方程[x）﹣x=有3个根．参考答案：①③④【考点】命题的真假判断与应用．【专题】数形结合；函数的性质及应用；简易逻辑．【分析】①由于函数f（x）=[x）﹣x=，即可判断出真假；②是假命题，例如，则[an）为1，1，2，2，2，3，…，不是等差数列；③由于f（x+1）=[x）+1﹣（x+1）=[x）﹣x=f（x），因此函数f（x）=[x）﹣x是周期为1的周期函数，；④如图所示，即可判断出真假．【解答】解：①∵函数f（x）=[x）﹣x=，因此f（x）的值域是（0，1]，是真命题；②若{an}为等差数列，则[an）也是等差数列，是假命题，例如，则[an）为1，1，2，2，2，3，…，不是等差数列；③∵f（x+1）=[x+1）﹣（x+1）=[x）+1﹣（x+1）=[x）﹣x=f（x），因此函数f（x）=[x）﹣x是周期为1的周期函数，是真命题；④若x∈（1，4），则方程[x）﹣x=有3个根，如图所示，是真命题．综上可得：真命题为①③④．故答案为：①③④．【点评】本题考查新定义函数、函数的图象与性质，考查了数形结合思想方法、推理能力与计算能力，属于中档题．12.设Sn为数列{an}的前n项和，已知，，则an=______，S100=______．参考答案：

【分析】由已知可得=2，=2n，然后利用累加法可求{an}的通项公式；结合以上所求代入可得Sn=，然后利用错位相减可求Sn，进而可求S100．【详解】由，，可得=2，=2n，∴=2，，…，以上n-1个式子相加可得，=2+22+…+2n-1==2n-2，∴=2n，∴an=；Sn=，∴=，两式相减可得，===，∴，∴．故答案为：；．【点睛】本题主要考查了累加法求解数列的通项公式及利用错位相减求解数列的和，注意仔细审题，认真计算，属中档题．13.已知直线与圆交于、两点，且，其中为坐标原点，则正实数的值为

.

参考答案：214.函数的值域为

.参考答案：(0,+∞)

15.设，若直线与轴相交于点，与轴相交于点，且坐标原点到直线的距离为，则面积的最小值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C16.圆心在抛物线上，并且和该抛物线的准线及轴都相切的圆的标准方程为

．参考答案：

17.已知函数f(x)的导数f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，若f(x)在x＝a处取得极大值，则a的取值范围是________．参考答案：(－1,0)略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在直角坐标系xoy中，直线l过点M（3，4），其倾斜角为45°，以原点为极点，以x正半轴为极轴建立极坐标，并使得它与直角坐标系xoy有相同的长度单位，圆C的极坐标方程为ρ=4sinθ．（Ⅰ）求直线l的参数方程和圆C的普通方程；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B，求|MA|?|MB|的值．参考答案：【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）直线l过点M（3，4），其倾斜角为45°，参数方程为，（t为参数）．由极坐标与直角坐标互化公式代入化简即可得出圆C的普通方程；（Ⅱ）直线l的参数方程代入圆方程得+9=0，利用|MA|?|MB|=|t1|?|t2|=|t1t2|即可得出．【解答】解：（Ⅰ）直线l过点M（3，4），其倾斜角为45°，参数方程为，（t为参数）．圆C的极坐标方程为ρ=4sinθ，直角坐标方程为x2+y2﹣4y=0；（Ⅱ）将直线的参数方程代入圆方程得：+9=0，设A、B对应的参数分别为t1、t2，则t1+t2=5，t1t2=9，于是|MA|?|MB|=|t1|?|t2|=|t1t2|=9．19.（本小题满分12分）

定义：若两个椭圆的离心率相等，则称两个椭圆是“相似”的，如图，椭圆与椭圆是相似的两个椭圆，并且相交于上下两个顶点，椭圆的长轴长为4，椭圆短轴长是1，点分别是椭圆的左焦点与右焦点。（1）求椭圆的方程；（2）过的直线交椭圆于点，求面积的最大值。参考答案：20.（14分）已知函数．（1）当时，如果函数g（x）=f（x）﹣k仅有一个零点，求实数k的取值范围；（2）当a=2时，试比较f（x）与1的大小；（3）求证：（n∈N*）．参考答案：【考点】不等式的证明；函数的零点；利用导数研究函数的极值．【专题】数形结合；分类讨论；函数的性质及应用．【分析】（1）利用函数f（x）的导数求出它的单调区间和极值，由题意知k大于f（x）的极大值，或k小于f（x）的极小值．（2）令h（x）=f（x）﹣1，由h′（x）＞0得h（x）在（0，+∞）上是增函数，利用h（1）=0，分x＞1、0＜x＜1、当x=1三种情况进行讨论．（3）根据（2）的结论，当x＞1时，，令，有，可得，由，证得结论．【解答】解：（1）当时，，定义域是（0，+∞），求得，令f'（x）=0，得，或x=2．∵当或x＞2时，f'（x）＞0；当时，f'（x）＜0，∴函数f（x）在（0，]、（2，+∞）上单调递增，在上单调递减．∴f（x）的极大值是，极小值是．∵当x趋于0时，f（x）趋于﹣∞；当x趋于+∞时，f（x）趋于+∞，由于当g（x）仅有一个零点时，函数f（x）的图象和直线y=k仅有一个交点，k的取值范围是{k|k＞3﹣ln2，或}．（2）当a=2时，，定义域为（0，+∞）．令，∵，∴h（x）在（0，+∞）上是增函数．

①当x＞1时，h（x）＞h（1）=0，即f（x）＞1；②当0＜x＜1时，h（x）＜h（1）=0，即f（x）＜1；

③当x=1时，h（x）=h（1）=0，即f（x）=1．（3）证明：根据（2）的结论，当x＞1时，，即．令，则有，∴．∵，∴．【点评】本题主要考查函数导数运算法则、利用导数求函数的极值、证明不等式等基础知识，考查分类讨论思想和数形结合思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力和创新意识，属于中档题．21.已知各项为正数的等差数列满足，，且（）．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，