第八章-相关与回归分析

第八章相关与回归分析第一节相关与回归分析的基本概念第二节一元线性回归分析第三节多元线性回归分析第四节非线性回归分析

——可化为线性回归的曲线回归学习目标1. 掌握一元线性回归的基本原理和参数的最小二乘估计方法2.掌握回归方程的显著性检验利用回归方程进行预测掌握多元线性回归分析的基本方法了解可化为线性回归的曲线回归掌握相关系数的含义、计算方法和应用用Excel进行回归分析相关与回归分析的基本概念一、函数关系与相关关系函数关系的例子某种商品的销售额(y)与销售量(x)之间的关系可表示为

y=p

x(p为单价是常量)圆的面积(S)与半径之间的关系可表示为S=R2

企业的原材料消耗额(y)与产量(x1)

、单位产量消耗(x2)

、原材料价格(x3)之间的关系可表示为y=x1x2x3

客观现象的数量联系

（函数关系）（一元线性函数关系）两个变量是一一对应的确定关系设有两个变量x和y，变量y随变量x一起变化，并完全依赖于x

，当变量x取某个数值时，

y依确定的关系取相应的值，则称y是x的函数，记为y=f(x)，其中x称为自变量，y称为因变量各观测点落在一条线上

xy客观现象的数量联系

（相关关系）相关关系的例子商品的消费量(y)与居民收入(x)之间的关系商品销售额(y)与广告费支出(x)之间的关系粮食亩产量(y)与施肥量(x1)、降雨量(x2)、温度(x3)之间的关系收入水平(y)与受教育程度(x)之间的关系父亲身高(y)与子女身高(x)之间的关系（简单线性相关关系）变量间关系不能用函数关系精确表达一个变量的取值不能由另一个变量唯一确定当变量x取某个值时，变量y的取值可能有几个各观测点分布在直线周围

xy函数关系与相关关系的联系由于存在测量误差，函数关系在现实中往往表现为相关关系。函数关系是相关分析的工具。相关分析需要借助函数来近似描述具有相关关系的变量之间的数量联系。相关关系的类型按变量多少按相关形式按相关程度按相关方向简单相关关系的图示不相关负线性相关正线性相关非线性相关完全负线性相关完全正线性相关二、相关分析与回归分析相关分析（概念）

相关分析是分析研究变量之间相关关系的一种统计分析方法。广义的相关分析包括两个方面的主要内容：一是测定变量之间相关关系的密切程度；二是寻找一个合适的数学关系式来描述相关的变量之间的数值变化关系。一般所说的相关分析是指通过统计指标来测定变量之间相关关系密切程度的统计分析方法。回归分析（概念）回归分析也是分析研究变量之间相关关系的统计分析方法。其主要目的是：建立合适的数学模型（或数学表达式，回归方程），来近似描述变量之间的数量变化关系，以便通过已知的自变量来估计或预测未知的因变量值。一个自变量两个及两个以上自变量回归分析多元回归析一元回归线性回归非线性回归线性回归非线性回归回归分析与相关分析的区别相关分析中，所有变量处于平等的地位；回归分析中，必须确定哪个变量为因变量，需要用其它变量解释，哪个或哪些变量称为自变量，用于解释或预测因变量的变化相关分析中所涉及的变量都是随机变量；回归分析中，因变量是随机变量，把自变量作为给定的非随机的确定变量对待相关分析主要是描述两个变量之间相关关系的密切程度；回归分析的目的在于揭示自变量对因变量变化的影响大小，以便进行预测和控制三、相关系数及其计算相关关系的测度

（相关系数）对变量之间关系密切程度的度量对两个变量之间线性相关程度的度量称为简单相关系数若相关系数是根据总体全部数据计算的，称为总体相关系数，记为若是根据样本数据计算的，则称为样本相关系数，记为r相关关系的测度

（相关系数）

样本相关系数的计算公式或化简为相关关系的测度

（相关系数取值及其意义）

r

的取值范围是[-1,1]|r|=1，为完全相关r=1，为完全正相关r=-1，为完全负正相关

r=0，不存在线性相关关系-1r<0，为负相关0<r1，为正相关|r|越趋于1表示关系越密切；|r|越趋于0表示关系越不密切相关关系的测度

（相关系数取值及其意义）-1.0+1.00-0.5+0.5完全负相关无线性相关完全正相关负相关程度增加r正相关程度增加相关关系的测度

（相关系数计算例）【例】居民收入与消费水平数据见下表（单位：百元），计算相关系数。相关关系的测度

（计算结果）解：根据样本相关系数的计算公式有家庭人均消费支出与人均可支配收入之间的相关系数为0.9878相关系数的显著性检验

（概念要点）

1. 检验两个变量之间是否存在线性相关关系采用t检验检验的步骤为提出假设：H0：；H1：0

计算检验的统计量：

确定显著性水平，并作出决策若t>t，拒绝H0

若t<t，接受H0相关系数的显著性检验

（实例）

对前例计算的相关系数进行显著性检(0.05)提出假设：H0：；H1：0计算检验的统计量3.根据显著性水平＝0.05，查t分布表得t(n-2)=2.201由于t=17.9113>t(13-2)=2.201，拒绝H0，人均消费支出与可支配收入之间的相关关系显著第二节一元线性回归一.一元线性回归模型参数的最小二乘估计回归方程的显著性检验预测及应用回归模型与回归方程一元线性回归模型

（概念要点）描述因变量如何依赖于自变量和随机误差项的数学表达式称为回归模型当模型中只涉及一个自变量时称为一元回归模型，若因变量y与自变量x之间为线性关系时称为一元线性回归回归模型中随机误差项的均值为0，也就是说因变量的数学期望是自变量的函数，该函数称为因变量对自变量的回归函数（或回归方程）。“回归”一词的由来（高尔顿的例子）一元线性回归模型

（概念要点）

对于只涉及一个自变量的简单线性回归模型可表示为

y=b1+b2x+u模型中，y是x的线性函数(部分)加上误差项线性部分反映了由于x的变化而引起的y的变化误差项u是随机变量反映了除x和y之间的线性关系之外的随机因素对y的影响是不能由x和y之间的线性关系所解释的变异性1和2称为模型的参数一元线性回归模型

（基本假定）误差项u是一个期望值为0的随机变量，即E(u)=0。对于一个给定的x值，y的期望值为E(y)=1+

2x误差项u的方差σ2为常数误差项u之间不存在序列相关自变量是给定的变量，与随机误差项不相关随机误差项服从正态分布，即u~N(0,σ2)总体回归方程描述y的平均值或期望值如何依赖于x的参数方程称为总体回归方程简单线性回归方程的形式如下

E(y)=1+2x方程的图示是一条直线，因此也称为直线回归方程1是回归直线在y轴上的截距，是当x=0时y的期望值2是直线的斜率，称为回归系数，表示当x每变动一个单位时，y的平均变动值估计(经验)的回归方程

（样本回归方程）

简单线性回归中样本回归方程为总体回归方程中包含未知的回归系数，必须通过样本进行估计，当回归参数用样本的估计量替代时所得到的方程称为样本回归方程。参数1和2的最小二乘估计最小二乘法使因变量的观察值与估计值之间的离差平方和达到最小来求得和的方法。即用最小二乘法拟合的直线来代表x与y之间的关系与实际数据的误差比其他任何直线都小最小二乘法

（图示）最小二乘法

（

和的计算公式）

根据最小二乘法的要求，可得求解和的标准方程如下最小二乘估计的性质无偏性线性性方差最小性估计方程的求法

（实例）【例】根据例8.1中的数据，配合人均月食品支出对人均月收入的回归方程

根据和的求解公式得估计(经验)方程估计方程的求法

（Excel的输出结果）回归方程的显著性检验离差平方和的分解因变量y的取值是不同的，y取值的这种波动称为变差。变差来源于两个方面由于自变量x的取值不同造成的除x以外的其他因素(如x对y的非线性影响、测量误差等)的影响对一个具体的观测值来说，变差的大小可以通过该实际观测值与其均值之差来表示离差平方和的分解

（图示）xyy{}}离差分解图离差平方和的分解

（三个平方和的关系）2.两端平方后求和有从图上看有SST=SSR+SSE总变差平方和（SST）{回归平方和（SSR）{残差平方和（SSE）{离差平方和的分解

（三个平方和的意义）总平方和(SST)反映因变量的n个观察值与其均值的总离差回归平方和(SSR)反映自变量x的变化对因变量y取值变化的影响，或者说，是由于x与y之间的线性关系引起的y的取值变化，也称为可解释的平方和残差平方和(SSE)反映除x以外的其他因素对y取值的影响，也称为不可解释的平方和或剩余平方和样本决定系数

（判定系数r2

）回归平方和占总离差平方和的比例反映回归直线的拟合程度取值范围在[0,1]之间

r21，说明回归方程拟合的越好；r20，说明回归方程拟合的越差判定系数等于相关系数的平方，即r2＝(r)2回归方程的显著性检验

（线性关系的检验

）检验自变量和因变量之间的线性关系是否显著具体方法是将回归离差平方和(SSR)同剩余离差平方和(SSE)加以比较，应用F检验来分析二者之间的差别是否显著如果是显著的，两个变量之间存在线性关系如果不显著，两个变量之间不存在线性关系回归方程的显著性检验

（检验的步骤）提出假设H0：线性关系不显著2.计算检验统计量F确定显著性水平，并根据分子自由度1和分母自由度n-2找出临界值F作出决策：若FF,拒绝H0；若F<F,接受H0回归方程的显著性检验

（方差分析表）（续前例）Excel

输出的方差分析表平方和均方估计标准误差Sy

(总体方差的估计）实际观察值与回归估计值离差平方和的均方根反映实际观察值在回归直线周围的分散状况从另一个角度说明了回归直线的拟合程度计算公式为注：上例的计算结果为1.8286回归系数的显著性检验

（要点）2.在一元线性回归中，等价于回归方程的显著性检验检验x与y之间是否具有线性关系，或者说，检验自变量x对因变量y的影响是否显著回归系数的显著性检验

（样本统计量的分布）

是根据最小二乘法求出的样本统计量，它有自己的分布的分布具有如下性质分布形式：正态分布由于无未知，需用其估计量Sy来代替得到的估计的标准差回归系数的显著性检验

（步骤）提出假设H0:b2=0(没有线性关系)H1:b2

0(有线性关系)计算检验的统计量

确定显著性水平，并进行决策t>t，拒绝H0；t<t，接受H0回归系数的显著性检验

（实例）提出假设H0：b2=0人均收入与人均食品之间无线性关系H1：b2

0人均收入与人均食品之间有线性关系计算检验的统计量

t=10.07>t

（13）=2.160，拒绝H0，表明人均收入与人均食品支出之间有线性关系对前例的回归系数进行显著性检验(＝0.05)预测及应用利用回归方程进行预测根据自变量x

的取值估计或预测因变量y的取值估计或预测的类型点估计或点预测y的平均值的点估计y的个别值的点估计区间估计（区间预测）y的平均值的区间估计y的个别值的区间估计利用回归方程进行预测

（点估计）2.点估计值有y的平均值的点估计y的个别值的点估计3.在点估计条件下，平均值的点估计和个别值的的点估计是一样的，但在区间估计中则不同对于自变量x的一个给定值x0

，根据回归方程得到因变量y的一个估计值利用回归方程进行预测

（点估计）

y的平均值的点估计利用估计的回归方程，对于自变量x的一个给定值x0

，求出因变量y

的平均值的一个估计值E(y0)，就是平均值的点估计在前面的例子中，假如我们要估计人均收入为200元时，所有家庭人均食品支出的平均值，就是平均值的点估计。根据估计的回归方程得利用回归方程进行预测

（点估计）

y的个别值的点估计利用估计的回归方程，对于自变量x的一个给定值x0

，求出因变量y

的一个个别值的估计值，就是个别值的点估计2.比如，如果我们只是想知道某家庭人均收入为200元时的人均食品支出是多少，则属于个别值的点估计。根据估计的回归方程得利用回归方程进行预测

（区间估计）点估计不能给出估计的精度，点估计值与实际值之间是有误差的，因此需要进行区间估计对于自变量x的一个给定值x0，根据回归方程得到因变量y0

的平均值或y0的一个估计区间（前者通常称为区间估计问题，后者通常称为预测问题）利用回归方程进行预测

（置信区间估计）

y的平均值的置信区间估计利用估计的回归方程，对于自变量x的一个给定值x0

，求出因变量y

的平均值E(y0)的估计区间，这一估计区间称为置信区间

E(y0)

在1-置信水平下的置信区间为式中：Sy为估计标准误差利用回归方程进行预测

（置信区间估计:算例）【例】根据前例，求出人均收入为200元时，人均食品支出的95%的置信区间解：根据前面的计算结果＝46.03，Sy=1.8286，t(15-2)＝2.160，n=15

置信区间为=46.032.160×1.83=46.03±3.9528人均食品支出的95%的置信区间为42.0772

元~49.9828元之间利用回归方程进行预测

（预测区间估计）

y的个别值的预测区间估计利用估计的回归方程，对于自变量x的一个给定值x0

，求出因变量y

的一个个别值y0的估计区间，这一区间称为预测区间

y0在1-置信水平下的预测区间为利用回归方程进行估计和预测

（置预测区间估计:算例）【例】根据前例，求出人均收入为200元时，人均食品支出的95%的预测区间解：根据前面的计算结果有＝46.03，Sy=14.95，t(15-2)＝2.160，n=15

置信区间为=46.032.16×2.5852人均食品支出的95%的预测区间为40.45元~51.61元之间影响区间宽度的因素1. 置信水平(1-)区间宽度随置信水平的增大而增大2. 数据的离散程度(s)区间宽度随离散程度的增大而增大3. 样本容量区间宽度随样本容量的增大而减小4. 用于预测的x与x的差异程度区间宽度随x与x的差异程度的增大而增大置信区间、预测区间、回归方程第三节多元线性回归一.多元线性回归模型回归参数的估计回归方程的显著性检验回归系数的显著性检验多元线性回归的预测多元线性回归模型多元线性回归模型

（概念要点）对于n组实际观察数据(yi;xi1,，xi2

，，xip)，(i=1,2,…,n)，多元线性回归模型可表示为y1

=b0+b1x11+b2x12

++

bpx1p

+e1y2=b0+b1x21

+b2x22

++

bpx2p

+e2

yn=b0+b1xn1

+b2xn2

++

bpxnp

+en{……多元线性回归模型

（基本假定）自变量x1，x2，…，xp是确定性变量，不是随机变量,且自变量之间不存在多重共线性随机误差项ε的期望值为0，且方差σ2都相同。误差项ε是一个服从正态分布的随机变量，即ε~N(0,σ2)，且相互独立。多元线性回归方程

（概念要点）描述y的平均值或期望值如何依赖于x1，x1

，…，xp的方程称为多元线性回归方程多元线性回归方程的形式为

E(y)=0+1x1

+2x2

+…+

pxpb1，b2，，bp称为偏回归系数

bi

表示假定其他变量不变，当xi

每变动一个单位时，y的平均变动值多元线性回归方方程的直观解释二元线性回归模型(观察到的y)回归面0ix1yx2(x1,x2)}多元线性回归的估计(经验)方程总体回归参数是未知的，利用样本数据去估计用样本统计量代替回归方程中的未知参数

即得到估计的回归方程

是估计值是y

的估计值参数的最小二乘估计参数的最小二乘法

（要点）根据最小二乘法的要求，可得求解各回归参数的标准方程如下使因变量的观察值与估计值之间的离差平方和达到最小来求得

。即回归方程的显著性检验多重样本决定系数

（多重判定系数R2

）回归平方和占总离差平方和的比例反映回归直线的拟合程度取值范围在[0,1]之间

R21，说明回归方程拟合的越好；R20，说明回归方程拟合的越差等于多重相关系数（复相关系数R）的平方，即

R2=(R)2修正的多重样本决定系数

（修正的多重判定系数R2

）由于增加自变量将影响到因变量中被估计的回归方程所解释的变异性的数量，为避免高估这一影响，需要用自变量的数目去修正R2的值用n表示观察值的数目，p表示自变量的数目，修正的多元判定系数的计算公式可表示为回归方程的显著性检验

（步骤）提出假设H0：12p=0线性关系不显著H1：1，2，，p至少有一个不等于02.计算检验统计量F3.确定显著性水平和分子自由度p、分母自由度n-p-1找出临界值F4.作出决策：若FF，拒绝H0；若F<F，接受H0回归系数的显著性检验

（要点）如果F检验已经表明了回归模型总体上是显著的，那么回归系数的检验就是用来确定每一个单个的自变量xi

对因变量y的影响是否显著对每一个自变量都要单独进行检验应用t

检验在多元线性回归中，回归方程的显著性检验不再等价于回归系数的显著性检验回归系数的显著性检验

（步骤）提出假设H0：bi=0(自变量xi与

因变量y没有线性关系)H1：bi

0(自变量xi与

因变量y有线性关系)计算检验的统计量t

确定显著性水平，并进行决策tt，拒绝H0；t<t，接受H0一个二元线性回归的例子销售额、人口数和年人均收入数据地区编号销售额（万元）y人口数(万人)x1年人均收入(元)x21234567891033.335.527.630.431.953.135.629.035.134.532.429.126.331.229.240.729.823.028.226.91250165014501310131015801490152016201570【例】一家百货公司在10个地区设有经销分公司。公司认为商品销售额与该地区的人口数和年人均收入有关，并希望建立它们之间的数量关系式，以预测销售额。有关数据如下表。试确定销售额对人口数和年人均收入的线性回归方程，并分析回归方程的拟合程度，对线性关系和回归系数进行显著性检验(=0.05)。一个二元线性回归的例子

(Excel输出的结果)一个二元线性回归的例子

(计算机输出结果解释)销售额与人口数和年人均收入的二元回归方程为

多重判定系数R2=0.9373；调整后的R2=0.9194

回归方程的显著性检验F=52.3498F>F0.05(2,7)=4.74，回归方程显著回归系数