山西省长治市黎城县东阳关中学2021年高三数学文联考试题含解析

山西省长治市黎城县东阳关中学2021年高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，若A=45°，AC=4，则△ABC最短边的边长等于（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】余弦定理．【分析】由题意判断得到a为最短边，利用正弦定理即可求出值．【解答】解：△ABC中，A，B，C成等差数列，∴A+C=2B，又A+B+C=180°，∴3B=180°，解得B=60°；又A=45°，∴C=75°；又AC=b=4，由=，得a===；∴△ABC最短边a的边长等于．故选：C．2.已知函数y=的最大值为M,最小值为m,则的值为

（

）

A、

B、

C、

D、参考答案：C因为由题意，函数的定义域是[-3，1]y=由于-x2-2x+3在[-3，1]的最大值是4，最小值是0,因此可知m,和M的值分别是2，，因此可知比值为，选C3.函数f（x）=的图象大致为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】3O：函数的图象．【分析】先研究函数的性质，可以发现它是一个奇函数，再研究函数在原点附近的函数值的符号，从而即可得出正确选项．【解答】解：此函数是一个奇函数，故可排除C，D两个选项；又当自变量从原点左侧趋近于原点时，函数值为负，图象在X轴下方，当自变量从原点右侧趋近于原点时，函数值为正，图象在x轴上方，故可排除B，A选项符合，故选A．4.在复平面内，复数的对应点位于(

)A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：D5.某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需运往地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次．派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润为（A）4650元

（B）4700元

（C）4900元

（D）5000元参考答案：C设派用甲型卡车x（辆），乙型卡车y（辆），获得的利润为u（元），，由题意，x、y满足关系式作出相应的平面区域，在由确定的交点处取得最大值4900元，选C．6.若x0是方程ex=3﹣2x的根，则x0属于区间(

) A．（﹣1，0） B．（0，） C．（，1） D．（1，2）参考答案：C考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：根据题意，设函数f（x）=ex﹣（3﹣2x），判断函数f（x）在哪个区间内存在零点即可．解答： 解：根据题意，设函数f（x）=ex﹣（3﹣2x）=ex+2x﹣3，∵f（﹣1）=e﹣1﹣2﹣3＜0，f（0）=e0+0﹣3=﹣2＜0，f（）=+2×﹣3=﹣2＜0，f（1）=e+2﹣3=e﹣1＞0，f（2）=e2+4﹣3=e2+1＞0，∴f（）?f（1）＜0；∴f（x）在区间（，1）内存在零点，即x0∈（，1）．故选：C．点评：本题考查了判断函数零点的应用问题，解题时应根据根的存在性定理进行解答，是基础题目．7.已知焦点在x轴上的椭圆方程为，随着a的增大该椭圆的形状（

）A.越接近于圆 B.越扁C.先接近于圆后越扁 D.先越扁后接近于圆参考答案：A椭圆方程为焦点在轴上的椭圆方程，，解得，由于在不断的增大，所以对函数为单调递增函数，即短轴中的在不断增大，即离心率不断减小，所以椭圆的形状越来越接近于圆，故选A.8.已知集合，，则等于

A.[－1,6]

B.(1,6]

C.[－1,+∞)

D.[2,3]参考答案：B9.函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（

）

(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：C略10.菱形ABCD的边长为2，现将△ACD沿对角线AC折起使，求此时所成空间四面体体积的最大值（）A. B. C.1 D.参考答案：A【分析】在等腰三角形中，取的中点为，则有，通过，根据面面垂直的性质定理，可以证明出，设，，在中，，由题意可知：，这样可以求出空间四面体体积的表达式，通过换元法，利用导数，可以求出空间四面体的体积的最大值.【详解】设的中点为，因为，所以，又因为，，所以，设，，在中，，由题意可知：，设，则，且，∴，∴当时，，当时，，∴当时，取得最大值，∴四面体体积的最大值为．故选：．【点睛】本题考查了空间四面体体积最大值问题，正确求出体积的表达式，利用同角的三角函数关系、二倍角的正弦公式、换元法、导数法是解题的关键.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在平面直角坐标系xOy中，已知角的始边均为x轴的非负半轴，终边分别经过点，，则的值为

．参考答案：12.点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧AB的长度小于1的概率为 。参考答案：解析：如图可设,则,根据几何概率可知其整体事件是其周长，则其概率是。13.已知满足，则的取值范围是

．参考答案：14.上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆相交”发生的概率为

.参考答案：15.右图是一次考试结果的频数分布直方图，根据该图可估计，这次考试的平均分数为(

).A.46

B.36

C.56

D.60

参考答案：A略16.已知函数在x＝－1时有极值0，则m+n＝_________；参考答案：m＝2，n＝9.m+n=11f'(x)＝3x2＋6mx＋n；由题意，f'(－1)＝3－6m＋n＝0

f(－1)＝－1＋3m－n＋m2＝0

解得或

但m＝1，n＝3时，f'(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0恒成立

即x＝－1时不是f(x)的极值点，应舍去17..已知平面内两个定点和点，P是动点，且直线PM,PN的斜率乘积为常数，设点P的轨迹为C.①存在常数，使C上所有点到两点(－4,0),(4,0)距离之和为定值；②存在常数，使C上所有点到两点(0,－4),(0,4)距离之和为定值；③不存在常数，使C上所有点到两点(－4,0),(4,0)距离差的绝对值为定值；④不存在常数，使C上所有点到两点(0,－4),(0,4)距离差的绝对值为定值.其中正确的命题是_______________.（填出所有正确命题的序号）参考答案：②④【分析】由题意首先求得点P的轨迹方程，然后结合双曲线方程的性质和椭圆方程的性质考查所给的说法是否正确即可.【详解】设点P的坐标为：P（x，y），依题意，有：，整理，得：，对于①，点的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，且c＝4，a＜0，椭圆在x轴上两顶点的距离为：2＝6，焦点为：2×4＝8，不符；对于②，点的轨迹为焦点在y轴上的椭圆，且c＝4，椭圆方程为：，则，解得：，符合；对于③，当时，，所以，存在满足题意的实数a，③错误；对于④，点的轨迹为焦点在y轴上的双曲线，即，不可能成为焦点在y轴上的双曲线，所以，不存在满足题意的实数a，正确.所以，正确命题的序号是②④.【点睛】本题主要考查轨迹方程的求解，双曲线方程的性质，椭圆方程的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）已知椭圆，椭圆以的长轴为短轴，且与有相同的离心率。（1）求椭圆的方程；（2）设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆和上，，求直线的方程。参考答案：（Ⅰ）由已知可设椭圆的方程为，其离心率为，故，则，故椭圆的方程为------------4分（Ⅱ）解法一两点的坐标分别为，由及（Ⅰ）知，三点共线且点不在轴上，因此可设直线的方程为.------------6分将代入中，得，所以，将代入中，得，所以，------------8分又由，得，即，------------10分解得

，故直线的方程为或-------------12分解法二

两点的坐标分别为，由及（Ⅰ）知，三点共线且点不在轴上，因此可设直线的方程为.将代入中，得，所以，又由，得，，将代入中，得，即，解得

，故直线的方程为或19.如图，椭圆：（）和圆：，已知圆将椭圆的长轴三等分，椭圆右焦点到右准线的距离为，椭圆的下顶点为，过坐标原点且与坐标轴不重合的任意直线与圆相交于点、．（1）求椭圆的方程；（2）若直线、分别与椭圆相交于另一个交点为点、.①求证：直线经过一定点；②试问：是否存在以为圆心，为半径的圆，使得直线和直线都与圆相交？若存在，请求出所有的值；若不存在，请说明理由。参考答案：（1）依题意，，则，∴，又，∴，则，∴椭圆方程为． 4分（2）①由题意知直线的斜率存在且不为0，设直线的斜率为，则：，由得或∴， 6分用去代，得，方法1：，∴：，即，∴直线经过定点．方法2：作直线关于轴的对称直线，此时得到的点、关于轴对称，则与相交于轴，可知定点在轴上，当时，，，此时直线经过轴上的点，∵∴，∴、、三点共线，即直线经过点，综上所述，直线经过定点． 10分②由得或∴，则直线：，设，则，直线：，直线：， 13分假设存在圆心为，半径为的圆，使得直线和直线都与圆相交，则由（）得对恒成立，则，由（）得，对恒成立，当时，不合题意；当时，，得，即，∴存在圆心为，半径为的圆，使得直线和直线都与圆相交，所有的取值集合为． 16分解法二：圆，由上知过定点，故；又直线过原点，故，从而得．略20.本小题满分12分）已知函数（I）求函数的最小正周期和单调递增区间；（II）将函数的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的，再把所得到的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求函数在区间上的值域.参考答案：略21.甲、乙两人为了响应政府“节能减排”的号召，决定各购置一辆纯电动汽车．经了解目前市场上销售的主流纯电动汽车，按续驶里程数R（单位：公里）可分为三类车型，A：80≤R＜150，B：150≤R＜250，C：R≥250．甲从A，B，C三类车型中挑选，乙从B，C两类车型中挑选，甲、乙二人选择各类车型的概率如下表：车型概率人ABC甲pq乙/若甲、乙都选C类车型的概率为．（Ⅰ）求p，q的值；（Ⅱ）求甲、乙选择不同车型的概率；（Ⅲ）某市对购买纯电动汽车进行补贴，补贴标准如下表：车型ABC补贴金额（万元/辆）345记甲、乙两人购车所获得的财政补贴和为X，求X的分布列和数学期望．参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】（Ⅰ）由相互独立事件同时发生概率乘法公式和概率分布列性质列出方程组能求出p，q．（Ⅱ）设“甲、乙选择不同车型”为事件A，利用互斥事件概率加法公式能求出甲、乙选择不同车型的概率．（Ⅲ）由题意X的可能取值为7，8，9，10，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，解得p=，q=．（Ⅱ）设“甲、乙选择不同车型”为事件A，