山西省长治市东火联校东火中学2021年高二数学理期末试卷含解析

山西省长治市东火联校东火中学2021年高二数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.等比数列的各项均为正数，且，则++…+=（

）A.12

B.10

C.8

D.

2+参考答案：B2.直线x=t分别与函数、g（x）=的图象交于P、Q两点，当实数t变化时，|PQ|的最大值为（）A．2 B． C．1 D．参考答案：A【考点】三角函数的最值．【分析】将|PQ|表示成t的三角函数，利用公式asinx+bcosx=sin（x+θ）化简|PQ|，利用三角函数的有界性求出最大值．【解答】解：∵、g（x）=，∴|PQ|=|f（t）﹣g（t）|=|sin（2t﹣）﹣cos（2t﹣）|=|2sin（2t+）|≤2∴|PQ|的最大值为2，故选：A．3.若存在，使不等式成立，则实数a的取值范围是(

)

A.

B.

C.

D.参考答案：A4.当时，，则的单调递减区间是（

）

A．

B．（0，2）

C

D．参考答案：D5.散点图在回归分析过程中的作用是（

）

A．查找个体个数

B．比较个体数据大小关系

C．探究个体分类

D．粗略判断变量是否线性相关参考答案：D6.设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么双曲线的离心率是（

）A

B

C

D

参考答案：D略7.我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1524石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）A．1365石 B．338石 C．168石 D．134石参考答案：C【分析】根据254粒内夹谷28粒，可得比例，即可得出结论．【解答】解：由题意，这批米内夹谷约为1524×=168石，故选：C．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，比较基础．8.如图，在边长为2的正六边形ABCDEF内任取一点P，则点P到正六边形六个顶点的距离都大于1的概率为（

）A. B. C. D.参考答案：A【分析】先求出正六边形的面积，再求出到正六边形一个顶点的距离小于等于的图形面积，利用面积比即可求出结果.【详解】因为正六边形的边长为2，所以其面积为；又到正六边形顶点的距离小于等于1的图像面积为，所以点到正六边形六个顶点的距离都大于的概率为.故选A.【点睛】本题主要考查与面积有关的几何概型，熟记概率计算公式即可，属于基础题型.9.已知等差数列前项和为，，210，130，=（

）（A）12

（B）14

（C）16

（D）18参考答案：B10.已知函数的图象是连续不断的，的对应值如下表：在下列区间内，函数一定有零点的是(

)A．

B．

C．

D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（3x2+k）dx=10，则k=

．参考答案：1【考点】69：定积分的简单应用．【分析】欲求k的值，只须求出函数3x2+k的定积分值即可，故先利用导数求出3x2+k的原函数，再结合积分定理即可求出用k表示的定积分．最后列出等式即可求得k值．【解答】解：∵∫02（3x2+k）dx=（x3+kx）|02=23+2k．由题意得：23+2k=10，∴k=1．故答案为：1．【点评】本小题主要考查直定积分的简单应用、定积分、利用导数研究原函数等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．12.已知变量满足约束条件，则目标函数的最大值是

.参考答案：3

略13.直线：与曲线交点的个数为_________。

参考答案：314.设m∈R，复数z=2m2﹣3m﹣5+（m2﹣2m﹣3）i，当m=

时，z为纯虚数．参考答案：【考点】A2：复数的基本概念．【分析】直接由实部为0且虚部不为0列式求解．【解答】解：由题意，得，解得m=．故答案为：．15.设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax+2y=0与直线l2：x+(a+1)y+4=0平行的

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条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”)参考答案：充分不必要条件16.方程组的增广矩阵为

．参考答案：略17.不等式x2﹣3x﹣18≤0的解集为． 参考答案：[﹣3，6]【考点】一元二次不等式的解法． 【专题】计算题；方程思想；定义法；不等式的解法及应用． 【分析】不等式可化为（x+3）（x﹣6）≤0．解得x≤﹣3≤x≤6，由此得到不等式的解集． 【解答】解：不等式x2﹣3x﹣18≤0，即（x+3）（x﹣6）≤0． 解得x≤﹣3≤x≤6， 故不等式解集为[﹣3，6]， 故答案为：[﹣3，6]． 【点评】本题主要考查了一元二次不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知抛物线的焦点为,直线与轴交点为,与的交点为,且.(Ⅰ)求的方程;(Ⅱ)过的直线与相交于两点,若的垂直平分线与相交于两点,且四点在同一圆上,求的方程.参考答案：(Ⅰ)(Ⅱ)或试题分析：（Ⅰ）设点Q的坐标为（，4），把点Q的坐标代入抛物线C的方程，求得，根据求得p的值，可得C的方程．（Ⅱ）设l的方程为x=my+1（m≠0），代入抛物线方程化简，利用韦达定理、中点公式、弦长公式求得弦长|AB|．把直线l′的方程代入抛物线方程化简，利用韦达定理、弦长公式求得|MN|．由于MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|，由此求得m的值，可得直线l的方程试题解析：(Ⅰ)设点,,则由抛物线定义知,所以得,即的方程为;(Ⅱ)如右图所示,设,中点为,,则由得,其中恒成立,所以,,易求得,又,所以,,即,代入中得,,其中恒成立,故,,又易求得的中点,故,而由共圆知,,即,代入得,同时约去且化简得,又,所以,即,也即直线或.考点：直线与圆锥曲线的综合问题19.如图，中心在原点的椭圆的焦点在x轴上，长轴长为4，焦距为2，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）是否存在过M（0，2）的直线与椭圆交于A，B两个不同点，使以AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线方程，若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（Ⅰ）设椭圆的方程为：，由继而求出b2=a2﹣c2=1，继而得出椭圆方程．（Ⅱ）设直线斜率为k，则直线l的方程为：y=kx+2，由得：（4k2+1）x2+16kx+12=0，由OA⊥OB得到x1x2+y1y2=0．代入求解即可．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的方程为：，∵2a=4∴a=2…∵…∴b2=a2﹣c2=1…所以，椭圆的方程为：…（Ⅱ）法一：假设存在过M（0，2）的直线l与椭圆交于A、B两个不同点，使以AB为直径的圆过原点，依题意可知OA⊥OB．①当直线l的斜率不存在时，A、B分别为椭圆短轴的端点，不符合题意

…②当直线l的斜率存在时，设为k，则直线l的方程为：y=kx+2由得：（4k2+1）x2+16kx+12=0…令△＞0，得：（16k）2﹣4?（4k2+1）?12=4k2﹣3＞0∴…设A（x1，y1），B（x2，y2），则…又y1=kx1+2，y2=kx2+2∴==…∵OA⊥OB∴x1x2+y1y2=0…∴∴∴k=±2…∴直线l的方程为：y=±2x+2，即2x﹣y+2=0或2x+y﹣2=0，所以，存在过M（0，2）的直线与椭圆交于A、B两个不同点，使以AB为直径的圆过原点，其方程为：2x﹣y+2=0或2x+y﹣2=0．…（Ⅱ）法二：假设存在过M（0，2）的直线l与椭圆交于A、B两个不同点，使以AB为直径的圆过原点，依题意可知OA⊥OB，设直线l的方程为：x=m（y﹣2）…由得：（m2+4）y2﹣4m2y+4m2﹣4=0…令△＞0，得：16m4﹣4?（m2+4）?（4m2﹣4）=64﹣48m2＞0∴…设A（x1，y1），B（x2，y2），则…又=…∵OA⊥OB∴x1x2+y1y2=0…∴∴，∴…∴所求直线的方程为：，即2x﹣y+2=0或2x+y﹣2=0所以，存在过M（0，2）的直线与椭圆交于A、B两个不同点，使以AB为直径的圆过原点，其方程为：2x﹣y+2=0或2x+y﹣2=0…【点评】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合题，属于难度较大的题目，计算量大，在高考中经常在压轴题中出现．20.如图，A，B，C三个观察哨，A在B的正南，两地相距6km，C在B的北偏东60°，两地相距4km.在某一时刻，A观察哨发现某种信号，并知道该信号的传播速度为1km/s；4秒后B,C两个观察哨同时发现这种信号。在以过A,B两点的直线为y轴，以线段AB的垂直平分线为x轴的平面直角坐标系中，指出发了这种信号的地点P的坐标。参考答案：解:设点P的坐标为（x,y）,则A(0,-3),B(0,3),C().因为|PB|=|PC|，所以点P在BC的中垂线上．因为，BC中点D（），所以直线PD方程为①。又因为|PB|-|PA|=4，所以点P必在以A，B为焦点的双曲线的下支上，双曲线方程为②联立①②，解得y=,或y=(舍去)所以x=所以P点坐标为（）21.已知圆O：，直线.（1）若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当∠AOB=时，求k的值.（2）若，P是直线l上的动点，过P作圆O的两条切线PC、PD，切点为C、D，探究：直线CD是否过定点；（3）若EF、GH为圆O：的两条相互垂直的弦，垂足为M（1，），求四边形EGFH的面积的最大值.参考答案：（1）∵∠AOB=，∴点O到l的距离

………2分∴=·

………4分（2）由题意可知：O、P、C、D四点共圆且在以OP为直径的圆上，设.其方程为：即

又C、D在圆O：上∴

即

………7分由

得

∴直线CD过定点

………9分（3）设圆心Ogc直线EF、GH的距离分别为.则

………11分∴

∴当且仅当即时，取“=”∴四边形EGFH的面积的最大值为.

………14分22.（本小题满分13分）已知函数f(x)＝x3＋x－16，(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；参考答案：解：(1)∵f(2)＝23＋2－16＝－6，

……………2分∴点(2，－6)在曲线上．∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，

∴在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝3×22＋1＝13.

……………4分∴切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)．即y＝13x－32.

……………6分(2)设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f′(x0)＝