山西省运城市博海中学2023年高三数学理下学期期末试题含解析

山西省运城市博海中学2023年高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设复数z满足=|1﹣i|+i（i为虚数单位），则复数z为（）A．﹣i B．+i C．1 D．﹣1﹣2i参考答案：A【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的模的计算公式、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：复数z满足=|1﹣i|+i=+i，则复数z=﹣i．故选：A．【点评】本题考查了复数的模的计算公式、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.设函数的最小正周期为，且则（

）

B.

D.参考答案：D略3.已知正整数列中，，则等于 （

） A．16 B．8 C． D．4参考答案：D略4.如果执行下面的程序框图，那么输出的结果s为（）A．8 B．48 C．384 D．384参考答案：C【考点】程序框图．【分析】先根据已知循环条件和循环体判定循环的次数，然后根据运行的后s的值找出规律，从而得出结论．【解答】解：根据题意可知该循环体运行4次第一次：s=2，i=4＜10，第二次：s=8，i=6＜10，第三次：s=48，i=8＜10，第四次：s=384，s=10≥10，结束循环，输出结果S=384，故选：C．5.过双曲线（）的左焦点作轴的垂线交双曲线于点，为右焦点，若，则双曲线的离心率为

（

）

A．

B．

C．

D．2参考答案：B6.已知O为所在平面内一点，满足，则点O是的（

）A.外心

B.内心

C.垂心

D.重心参考答案：C略7.在中，已知,则的面积是（

）A．

B．

C．或

D．参考答案：【知识点】正弦定理；三角形面积公式.C8答案C

解析：根据正弦定理：,即，解得或，则或，所以=或，故选C。【思路点拨】先利用正弦定理求出C,再得到A，然后利用三角形面积公式求出面积即可。8.某四棱锥的三视图如图1所示（单位：cm），则该四棱锥的体积是(

)A．

B．

C．

D．参考答案：D试题分析：从三视图可以得到该几何体为四棱锥,且该四棱锥的底面为正方形且边长为3,从侧视图可得该四棱锥的高为1,所以该四棱锥的体积为,故选D考点：三视图四棱锥体积9.执行如图所示的程序框图，若输出的结果是，则判断框内的取值范围是

A.(30，42]

B.(42，56]

C.(56，72]

D.(30，72)

参考答案：B10.“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：B由，可得或，即或，所以是成立的必要不充分条件，故选B．

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知向量的模为2，向量为单位向量，，则向量与的夹角大小为

．参考答案：12.已知是虚数单位，实数满足则

▲

.参考答案：13.已知数列{an}中，a1=2，an=2﹣，设Sn是数列{bn}的前n项和，bn=lgan，则S99=

．参考答案：2考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：an=2﹣，变形为﹣=1，利用等差数列的通项公式可得an，可得bn=lgan═lg（n+1）﹣lgn，利用“累加求和”即可得出．解答： 解：∵an=2﹣，∴，∴=1+，化为﹣=1，∴数列是等差数列，首项为1，公差为1，∴，解得an=．∴bn=lgan═lg（n+1）﹣lgn，∴Sn=[lg（n+1）﹣lgn]+[lgn﹣lg（n﹣1）]+…+（lg3﹣lg2）+（lg2﹣lg1）=lg（n+1）．∴S99=lg100=2．故答案为：2．点评：本题考查了递推式、等差数列的通项公式、“累加求和”、对数的运算性质，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14.设x=，则tan（π+x）等于

．参考答案：15.（5分）设不等式组，表示的平面区域为D，若指数函数y=ax的图象上存在区域D上的点，则a的取值范围是．参考答案：1＜a≤3【考点】：二元一次不等式（组）与平面区域；指数函数的图像与性质．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：先依据不等式组，结合二元一次不等式（组）与平面区域的关系画出其表示的平面区域，再利用指数函数y=ax的图象特征，结合区域的角上的点即可解决问题．解：作出区域D的图象，联系指数函数y=ax的图象，能够看出，当图象经过区域的边界点C（2，9）时，a可以取到最大值3，而显然只要a大于1，图象必然经过区域内的点．则a的取值范围是1＜a≤3．故答案为：1＜a≤3【点评】：这是一道略微灵活的线性规划问题，本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组、指数函数的图象与性质，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．16.已知满足，且目标函数的最小值是5，则的最大值____.

参考答案：10略17.若角的终边落在射线上，则=____________。参考答案：0三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某单位拟建一个扇环面形状的花坛（如图所示），该扇环面是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角为θ（弧度）．（1）求θ关于x的函数关系式；（2）已知在花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y，求y关于x的函数关系式，并求出x为何值时，y取得最大值？参考答案：考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：（1）利用扇形的弧长公式，结合环面的周长为30米，可求θ关于x的函数关系式；（2）分别求出花坛的面积、装饰总费用，可求y关于x的函数关系式，换元，利用基本不等式，可求最大值．解答： 解：（1）由题意，30=xθ+10θ+2（10﹣x），∴θ=（0＜x＜10）；（2）花坛的面积为﹣==（10﹣x）（5+x）；装饰总费用为xθ?9+10θ?9+2（10﹣x）?4=9xθ+90θ+8（10﹣x）=170+10x，∴花坛的面积与装饰总费用的比为y=．令17+x=t，则y=，当且仅当t=18时取等号，此时x=1，θ=，∴当x=1时，y取得最大值．点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查扇形的弧长公式，考查基本不等式的运用，确定函数模型是关键．19.已知函数R．（1）若，①当时，求函数f(x)的极值（用a表示）；②若f(x)有三个相异零点，问是否存在实数a使得这三个零点成等差数列？若存在，试求出a的值；若不存在，请说明理由；（2）函数f(x)图象上点A处的切线与f(x)的图象相交于另一点B，在点B处的切线为，直线的斜率分别为，且，求a，b满足的关系式．参考答案：解：（1）①由及，得，

令，解得或.由知，，单调递增，，单调递减，，单调递增，因此，的极大值为，的极小值为.②当时，，此时不存在三个相异零点；当时，与①同理可得的极小值为，的极大值为.要使有三个不同零点，则必须有，即.

不妨设的三个零点为，且，则，，

①，②，③②-①得，因为，所以，

④同理，

⑤⑤-④得，因为，所以，

又，所以.

所以，即，即，因此，存在这样实数满足条件.

（2）设A（m，f(m)）,B(n，f(n))，则，，又，由此可得，化简得，因此，，

所以，，所以.

20.郑州市为了缓解交通压力，大力发展公共交通，提倡多坐公交少开车.为了调查市民乘公交车的候车情况，交通主管部门从在某站台等车的45名候车乘客中随机抽取15人，按照他们的候车时间（单位：分钟）作为样本分成6组，如下表所示：（1）估计这45名乘客中候车时间少于12分钟的人数；（2）若从上表第四、五组的5人中随机抽取2人做进一步的问卷调查，求抽到的2人恰好来自不同组的概率.参考答案：

略21.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足．（1）求的值；（2）若，求b的取值范围参考答案：（1）；（2）.【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，结合，可求，利用同角三角函数基本关系式可求的值．（2）由（1）可求，又由，利用余弦定理可得，结合范围，利用二次函数的性质可求的范围．【详解】（1）因为所以，即因为，所以又因为解得：.（2）∵，可得，由余弦定理可得：∵，∴所以的取值范围为.【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理，二次函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，考查了函数思想的应用，属于中档题．22.如图，在平面四边形ABCD中，△ABC等边三角形，，以AC为折痕将△ABC折起，使得平面ABC⊥平面ACD．(1)设E为BC的中点，求证：AE⊥平面BCD;(2)若BD与平面ABC所成角的正切值为，求二面角的余弦值．参考答案：（1）证明：因为平面平面，平面平面，平面，，所以平面.

………1分又平面，所以.

………2分

在等边中，因为为的中点，所以.

…3分

因为，，，

所以平面.

…4分（2）由（1）知平面，