山西省运城市中学东校2021-2022学年高三数学理联考试题含解析

山西省运城市中学东校2021-2022学年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.集合，则=(

)A．

B．

C．

D．参考答案：B2.下列函数中，满足“对任意，（0，），当<时，都有>的是A．=

B.=

C.=

D参考答案：A3.设的内角的对边分别是，若，则为A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定参考答案：B4.已知函数f（x）=sinx+λcosx的图象的一个对称中心是点（，0），则函数g（x）=λsinxcosx+sin2x的图象的一条对称轴是直线（）A．x=B．x=C．x=D．x=﹣参考答案：D考点：两角和与差的正弦函数；正弦函数的对称性．专题：三角函数的求值．分析：由对称中心可得λ=﹣，代入g（x）由三角函数公式化简可得g（x）=﹣sin（2x+），令2x+=kπ+解x可得对称轴，对照选项可得．解答：解：∵f（x）=sinx+λcosx的图象的一个对称中心是点（，0），∴f（）=sin+λcos=+λ=0，解得λ=﹣，∴g（x）=﹣sinxcosx+sin2x=sin2x+=﹣sin（2x+），令2x+=kπ+可得x=+，k∈Z，∴函数的对称轴为x=+，k∈Z，结合四个选项可知，当k=﹣1时x=﹣符合题意，故选：D点评：本题考查两角和与差的三角函数，涉及三角函数对称性，属中档题．5.三个数a=（）﹣1，b=2，c=log3的大小顺序为（）A．b＜c＜a B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜a＜c参考答案：C【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数函数、对数函数的单调性求解．【解答】解：∵，1=20＜b=2＜2，c=log3，c=log3＜=0，∴c＜b＜a．故选：C．6.设集合，，则A∩B等于（

）A.(0,4) B.(4,9) C.(－1,4) D.(－1,9)参考答案：A【分析】利用一元二次不等式的解法化简集合，再化简集合，由交集的定义求解即可.【详解】中不等式变形得，

解得，所以，由中不等式解得，所以，

则，故选A.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.7.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(1)＝0，f￠(x)是f(x)的导函数，当x＞0时总有xf￠(x)＜f(x)成立，则不等式f(x)＞0的解集为

（A）{x|x＜－1或x＞1} （B）{x|x＜－1或0＜x＜1}

（C）{x|－1＜x＜0或0＜x＜1} （D）{x|－1＜x＜1且x≠0}参考答案：B略8.已知M是抛物线C：y2=2px（p＞0）上一点，F是抛物线C的焦点，若|MF|=p，K是抛物线C的准线与x轴的交点，则∠MKF=（）A．45° B．30° C．15° D．60°参考答案：A【考点】抛物线的简单性质．【分析】设点M（，p），K（﹣，0），则直线KM的斜率k=1，即可求得∠MKF=45°．【解答】解：由题意，|MF|=p，则设点M（，p），∵K（﹣，0），∴kKM=1，∴∠MKF=45°，故选A．9.函数，则的图象只可能是参考答案：C因为函数都为偶函数，所以也为偶函数，图象关于轴对称，排除A,D.当时，函数，所以当时，，所以选C.10.某校新校区建设在市二环路主干道旁，因安全需要，挖掘建设了一条人行地下通道，地下通道设计三视图中的主（正）视力（其中上部分曲线近似为抛物）和侧（左）视图如图（单位：m），则该工程需挖掘的总土方数为（）A．560m3 B．540m3 C．520m3 D．500m3参考答案：A【考点】抛物线的应用；用定积分求简单几何体的体积．【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】建立直角坐标系，求出抛物线的方程，求出正（主）视图上部分抛物线与矩形围成的部分面积、下部分矩形面积，即可求出挖掘的总土方数．【解答】解：以顶部抛物线顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系，易得抛物线过点（3，﹣1），其方程为y=﹣，那么正（主）视图上部分抛物线与矩形围成的部分面积S1==2=4，下部分矩形面积S2=24，故挖掘的总土方数为V=（S1+S2）h=28×20=560m3．故选：A．【点评】本题是对抛物线方程在实际生活中应用的考查，考查学生的计算能力，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在的边上随机取一点,记和的面积分别为和，则的概率是

．参考答案：

略12.（5分）若幂函数f（x）=xa的图象经过点（2，8），则a=

．参考答案：3考点： 幂函数的概念、解析式、定义域、值域．专题： 函数的性质及应用．分析： 根据幂函数f（x）的图象经过点（2，8），列出方程，求出a的值．解答： ∵幂函数f（x）=xa的图象经过点（2，8），∴2a=8；解得a=3．故答案为：3．点评： 本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．13.已知函数，若存在，使得.则实数b的取值范围是__________.参考答案：

(－2,0)14.已知等比数列{an}中，a1+a3=，则a6=．参考答案：【考点】等比数列的通项公式．【分析】根据条件列出关于a1和q的方程组，解得即可．【解答】解：∵a1+a3=，∴，解得q=，a1=2，∴a6=2×（）5=，故答案为：【点评】本题考查等比数列的定义，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．15.设函数f（x）=﹣2x2+4x在区间[m，n]上的值域是[﹣6，2]，则m+n的取值的范围是．参考答案：[0，4]【考点】3W：二次函数的性质．【分析】分别求出f（x）=﹣6和f（x）=2的解，根据f（x）的单调性得出m+n的最值．【解答】解：令f（x）=﹣6解得x=﹣1或x=3，令f（x）=2得x=1．又f（x）在[﹣1，1]上单调递增，在[1，3]上单调递减，∴当m=﹣1，n=1时，m+n取得最小值0，当m=1，n=3时，m+n取得最大值4．故答案为[0，4]．16.定义在上的函数满足，且函数为奇函数，给出下列命题：①函数不是周期函数;②函数的图像关于点对称；③函数的图像关于轴对称，其中真命题的序号为

.参考答案：②

③17.已知函数，则函数的最大

值为

.参考答案：5三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分14分)如图，在正方体中，分别为的中点.

（1）求证：平面；

（2）求证：平面平面.参考答案：证明（1）：连接，设，连接，………2分因为O，F分别是与的中点，所以，且，又E为AB中点，所以，且，从而，即四边形OEBF是平行四边形，所以，

……………6分又面，面，所以面.

……………8分（2）因为面，面，所以，

…………10分又，且面，，所以面，…………12分而，所以面，又面，所以面面.

………14分19.已知椭圆：的左、右焦点分别为F1，F2，短轴的两个顶点与F1，F2构成面积为2的正方形.（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）直线l与椭圆在y轴的右侧交于点P，Q，以PQ为直径的圆经过点F2，PQ的垂直平分线交x轴于A点，且，求直线l的方程.参考答案：解：（Ⅰ）因为椭圆短轴的两个端点和其两个焦点构成正方形，所以，因为，所以，，故椭圆的方程为.（Ⅱ）设，，直线：，显然，由，得，由韦达定理得，，，，，由，得，即，得，即，点，所以线段的中垂线方程为，令，可得，，由，得，将代入上式，得，整理为，解得，所以，或，，经检验满足题意，所以直线的方程为或.

20.（14分）已知f（x）=1﹣x+lnx，g（x）=mx﹣1（m＞0）（1）求函数y=f（x）的单调区间；（2）若f（x）≤g（x）恒成立，求m的取值范围；（3）当m=2时，令b=f（a）+g（a）+2，求证：b﹣2a≤1．参考答案：（Ⅰ）求导，由，得.当时，；当时，.

所以，函数在上是增函数，在上是减函数.-------------5分

(Ⅱ)令

则因为，所以，由得当时，，在上是增函数；当时，，在上是减函数.所以，在上的最大值为，解得所以当时恒成立.

-------------10分

（Ⅲ）由题意知，.由（Ⅰ）知，即有不等式.

于是

即

-------------14分21.一个袋子中装有形状大小完全相同的球9个，其红球3个，白球6个，每次随机取1个，知道取出3此红球即停止.（Ⅰ）从袋中不放回地取球，求恰好取4次停止的概率；（Ⅱ）从袋中有放回的取球：①求恰好取5次停止的概率；②记5次之内（含5次）取到红球的个数为，求随机变量分布列及数学期望．参考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）①.②随机变量的所有可能取值为0,1,2,3，且，，，，所以随机变量的分布列为：所以随机变量的数学期望.22.如图，已知矩形ABCD中，AB=2AD=2，O为CD的中点，沿AO将三角形AOD折起，使.（Ⅰ）求证：平面AOD⊥ABCO；（Ⅱ）求直线BC与平面ABD所成角的正弦值.

参考答案：（Ⅰ）∵在矩形ABCD中，AB=2AD=2，O为CD中点，

∴△AOD，△BOC为等腰直角三角形，

∴∠AOB=90o,即OB⊥OA.………………（1分）

取AO中点H，连结DH，BH，则OH=DH=，

在Rt△BOH中，BH2=BO2+OH2=,

在△BHD中，DH2+BH2=又DB2=3，

∴DH2+BH2=DB2，∴DH⊥BH.…………（2分）

又DH⊥OA,OA∩BH=H……………（3分）

∴DH⊥面ABCO，……………………（4分）

而DH∈平面AOD，…………………