信号与系统课后答案

PAGEPAGE39信号与系统课后答案第1章1-1题1-1图示信号中，哪些是连续信号？哪些是离散信号？哪些是周期信号？哪些是非周期信号？哪些是有始信号？(c)(d)题1-1图解(a)、(c)、(d)为连续信号；(b)为离散信号；(d)为周期信号；其余为非周期信号；(a)、(b)、(c)为有始（因果）信号。1-2给定题1-2图示信号f(t)，试画出下列信号的波形。[提示：f(2t)表示将f(t)波形压缩，f()表示将f(t)波形展宽。](a)2f(t2)(b)f(2t)(c)f()(d)f(t+1)题1-2图解以上各函数的波形如图p1-2所示。图p1-21-3如图1-3图示，R、L、C元件可以看成以电流为输入，电压为响应的简单线性系统SR、SL、SC，试写出各系统响应电压与激励电流函数关系的表达式。SSRSLSC题1-3图解各系统响应与输入的关系可分别表示为1-4如题1-4图示系统由加法器、积分器和放大量为a的放大器三个子系统组成，系统属于何种联接形式？试写出该系统的微分方程。题1-4图解系统为反馈联接形式。设加法器的输出为x(t)，由于且故有即1-5已知某系统的输入f(t)与输出y(t)的关系为y(t)=|f(t)|，试判定该系统是否为线性时不变系统？解设T为系统的运算子，则可以表示为不失一般性，设f(t)=f1(t)+f2(t)，则故有显然即不满足可加性，故为非线性时不变系统。1-6判断下列方程所表示的系统的性质。(1)(2)(3)(4)解(1)线性；(2)线性时不变；(3)线性时变；(4)非线性时不变。1-7试证明方程所描述的系统为线性系统。式中a为常量。证明不失一般性，设输入有两个分量，且则有相加得即可见即满足可加性，齐次性是显然的。故系统为线性的。1-8若有线性时不变系统的方程为若在非零f(t)作用下其响应，试求方程的响应。解因为f(t)，由线性关系，则由线性系统的微分特性，有故响应

第2章2-1如图2-1所示系统，试以uC(t)为输出列出其微分方程。题2-1图解由图示，有又故从而得2-2设有二阶系统方程在某起始状态下的0+起始值为试求零输入响应。解由特征方程2+4+4=0得1=2=2则零输入响应形式为由于yzi(0+)=A1=12A1+A2所以A2=4故有2-3设有如下函数f(t)，试分别画出它们的波形。(a)f(t)=2(t1)2(t2)(b)f(t)=sint[(t)(t6)]解(a)和(b)的波形如图p2-3所示。图p2-32-4试用阶跃函数的组合表示题2-4图所示信号。题2-4图解(a)f(t)=(t)2(t1)+(t2)(b)f(t)=(t)+(tT)+(t2T)2-5试计算下列结果。(1)t(t1)(2)(3)(4)解(1)t(t1)=(t1)(2)(3)(4)2-6设有题2-6图示信号f(t)，对(a)写出f(t)的表达式，对(b)写出f(t)的表达式，并分别画出它们的波形。题2-6图解(a)f(t)=(t2)，t=22(t4)，t=4(b)f(t)=2(t)2(t1)2(t3)+2(t4)图p2-62-7如题2-7图一阶系统，对(a)求冲激响应i和uL，对(b)求冲激响应uC和iC，并画出它们的波形。题2-7图解由图(a)有即当uS(t)=(t)，则冲激响应则电压冲激响应对于图(b)RC电路，有方程即当iS=(t)时，则同时，电流2-8设有一阶系统方程试求其冲激响应h(t)和阶跃响应s(t)。解因方程的特征根=3，故有当h(t)=(t)时，则冲激响应阶跃响应2-9试求下列卷积。(a)(t)*2(b)(t+3)*(t5)(c)tet(t)*(t)解(a)由(t)的特点，故(t)*2=2(b)按定义(t+3)*(t5)=考虑到<3时，(+3)=0；>t5时，(t5)=0，故(t+3)*(t5)=也可以利用迟延性质计算该卷积。因为(t)*(t)=t(t)f1(tt1)*f2(tt2)=f(tt1t2)故对本题，有(t+3)*(t5)=(t+35)(t+35)=(t2)(t2)两种方法结果一致。(c)tet(t)*(t)=[tet(t)]=(ettet)(t)2-10对图示信号，求f1(t)*f2(t)。题2-10图解(a)先借用阶跃信号表示f1(t)和f2(t)，即f1(t)=2(t)2(t1)f2(t)=(t)(t2)故f1(t)*f2(t)=[2(t)2(t1)]*[(t)(t2)]因为(t)*(t)==t(t)故有f1(t)*f2(t)=2t(t)2(t1)(t1)2(t2)(t2)+2(t3)(t3)读者也可以用图形扫描法计算之。结果见图p2-10(a)所示。(b)根据(t)的特点，则f1(t)*f2(t)=f1(t)*[(t)+(t2)+(t+2)]=f1(t)+f1(t2)+f1(t+2)结果见图p2-10(b)所示。图p2-102-11试求下列卷积。(a)(b)解(a)因为，故(b)因为，故2-12设有二阶系统方程试求零状态响应解因系统的特征方程为2+3+2=0解得特征根1=1，2=2故特征函数零状态响应=2-13如图系统，已知试求系统的冲激响应h(t)。题2-13图解由图关系，有所以冲激响应即该系统输出一个方波。2-14如图系统，已知R1=R2=1，L=1H，C=1F。试求冲激响应uC(t)。题2-14图解由KCL和KVL，可得电路方程为代入数据得特征根1,2=1j1故冲激响应uC(t)为2-15一线性时不变系统，在某起始状态下，已知当输入f(t)=(t)时，全响应y1(t)=3e3t(t)；当输入f(t)=(t)时，全响应y2(t)=e3t(t)，试求该系统的冲激响应h(t)。解因为零状态响应(t)s(t)，(t)s(t)故有y1(t)=yzi(t)+s(t)=3e3t(t)y2(t)=yzi(t)s(t)=e3t(t)从而有y1(t)y2(t)=2s(t)=2e3t(t)即s(t)=e3t(t)故冲激响应h(t)=s(t)=(t)3e3t(t)2-16若系统的零状态响应y(t)=f(t)*h(t)试证明：(1)(2)利用(1)的结果，证明阶跃响应证（1）因为y(t)=f(t)h(t)由微分性质，有y(t)=f(t)h(t)再由积分性质，有（2）因为s(t)=(t)h(t)由（1）的结果，得第3章3-1求题3-1图所示周期信号的三角形式的傅里叶级数表示式。题3-1图解对于周期锯齿波信号，在周期(0，T)内可表示为系数所以三角级数为3-2如图所示周期矩形波信号，试求其复指数形式的傅里叶级数。图中。解：该信号周期，故，在一个周期内可得：因为为奇函数，故，从而有指数形式：题3-2图3-3设有周期方波信号f(t)，其脉冲宽度=1ms，问该信号的频带宽度（带宽）为多少？若压缩为0.2ms，其带宽又为多少？解对方波信号，其带宽为Hz，当1=1ms时，则当2=0.2ms时，则求题3-4图示信号的傅里叶变换。题3-4图解(a)因为f(tf(t)=为奇函数，故或用微分定理求解亦可。(b)f(t)为奇函数，故若用微分-积分定理求解，可先求出f(t)，即f(t)=(t+)+(t)2(t)所以又因为F1(0)=0，故3-5试求下列信号的频谱函数。(1)(2)解(1)(2)3-6对于如题3-6图所示的三角波信号，试证明其频谱函数为题3-6图证因为f(tf(t)=0，|t|>则3-7试求信号f(t)=1+2cost+3cos3t的傅里叶变换。解因为12()2cost2[(1)+(+1)]3cos3t3[(3)+(+3)]故有F()=2[()+(1)+(+1)]+3[(3)+(+3)]3-8试利用傅里叶变换的性质，求题3-8图所示信号f2(t)的频谱函数。题3-8图解由于f1(t)的A=2，=2，故其变换根据尺度特性，有再由调制定理得3-9试利用卷积定理求下列信号的频谱函数。(1)f(t)=Acos(0t)(t)(2)f(t)=Asin(0t)(t)解（1）因为所以由时域卷积定理（2）因为由频域卷积定理3-10设有信号f1(t)=cos4tf2(f2(t)=试求f1(t)f2(t)的频谱函数。解设f1(t)F1()，由调制定理而故3-11设有如下信号f(t)，分别求其频谱函数。(1)(2)解(1)因故(2)因故3-12设信号f1(f1(t)=试求f2(t)=f1(t)cos50t的频谱函数，并大致画出其幅度频谱。解因故幅度频谱见图p3-12。505050|F2()|图p3-12

第4章4-1如题4-1图示RC系统，输入为方波u1(t)，试用卷积定理求响应u2(t)。题4-1图解因为RC电路的频率响应为而响应u2(t)=u1(t)*h(t)故由卷积定理，得U2()=U1()*H(j)而已知，故反变换得4-2一滤波器的频率特性如题图4-2所示，当输入为所示的f(t)信号时，求相应的输出y(t)。题4-2图解因为输入f(t)为周期冲激信号，故所以f(t)的频谱当n=0，1，2时，对应H()才有输出，故Y()=F()H()=2[2()+(2)+(+2)]反变换得y(t)=2(1+cos2t)4-3设系统的频率特性为试用频域法求系统的冲激响应和阶跃响应。解冲激响应，故而阶跃响应频域函数应为所以阶跃响应4-4如题图4-4所示是一个实际的信号加工系统，试写出系统的频率特性H(j)。题4-4图解由图可知输出取上式的傅氏变换，得故频率特性4-5设信号f(t)为包含0~m分量的频带有限信号，试确定f(3t)的奈奎斯特采样频率。解由尺度特性，有即f(3t)的带宽比f(t)增加了3倍，即=3m。从而最低的抽样频率s=64-6若对带宽为20kHz的音乐信号进行采样，其奈奎斯特间隔为多少？若对信号压缩一倍，其带宽为多少？这时奈奎斯特采样频率为多少？解：对，其，故：压缩信号为后，则带宽增加一倍：故：4-7设f(t)为调制信号，其频谱F()如题图4-7所示，cos0t为高频载波，则广播发射的调幅信号x(t)可表示为x(t)=A[1+mf(t)]cos0t式中，m为调制系数。试求x(t)的频谱，并大致画出其图形。FF()题4-7图解因为调幅信号x(t)=Acos0t+mAf(t)cos0t故其变换式中，F()为f(t)的频谱。x(t)的频谱图如图p4-7所示。XX()图p4-74-8题4-8图所示(a)和(b)分别为单边带通信中幅度调制与解调系统。已知输入f(t)的频谱和频率特性H1()、H2()如图所示，试画出x(t)和y(t)的频谱图。FF()题4-8图解由调制定理知而x(t)的频谱又因为所以它们的频谱变化分别如图p4-8所示，设C>2。FF1()F2()X()Y()图p4-84-9如题4-9图所示系统，设输入信号f(t)的频谱F()和系统特性H1()、H2()均给定，试画出y(t)的频谱。FF()H1(j)H2(j)题4-9图解设，故由调制定理，得从而它仅在||=(30~50)内有值。再设则有即F3()是F2()的再频移。进而得响应的频谱为其结果仅截取20<<20的部分。以上过程的频谱变化如图p4-9所示。FF2()F3()Y()F1()图p4-94-10设信号f(t)的频谱F()如题4-10图(a)所示，当该信号通过图(b)系统后，证明y(t)恢复为f(t)。FF()j21t题4-10图证明因为故通过高通滤波器后，频谱F1()为所以输出即y(t)包含了f(t)的全部信息F()，故恢复了f(t)。第5章习5-1求下列函数的单边拉氏变换。(1)(2)(3)解(1)(2)(3)5-2求下列题5-2图示各信号的拉氏变换。1f1f2(t)f1(t)t0t1(b)题5-2图解(a)因为而故(b)因为又因为故有5-3利用微积分性质，求题5-3所示信号的拉氏变换。题5-3图解先对f(t)求导，则故对应的变换所以5-4用部分分式法求下列象函数的拉氏反变换。(1)(2)(3)(4)解(1)故有所以(2)可得又可得B=0，C=1所以(3)故有故(4)故故有所以5-5求下列象函数的拉氏反变换。(1)(2)(3)解(1)(2)(3)5-6设系统微分方程为已知。试用s域方法求零输入响应和零状态响应。解对系统方程取拉氏变换，得从而由于故求反变换得全响应为5-7设某LTI系统的微分方程为试求其冲