2022-2023学年北京市丰台区高二年级上册学期数学期末试题【含答案】

2022-2023学年北京市丰台区高二上学期数学期末试题一、单选题1．已知经过，两点的直线的一个方向向量为，那么（

）A． B． C． D．2【答案】A【分析】根据直线的方向向量与斜率的关系求解.【详解】由题意，解得：.故选：A.2．圆的圆心坐标和半径分别为（

）A．，2 B．，2 C．，4 D．，4【答案】B【分析】根据圆的标准方程求得.【详解】根据圆的标准方程得圆心为，半径为故选：B3．有一组样本数据的方差为0.1，则数据的方差为（

）A．0.1 B．0.2 C．1.1 D．2.1【答案】A【分析】由方差的定义直接求解即可.【详解】设的平均数为，即，则数据的平均数，，所以数据的方差为：，故选：A.4．已知m，n是实数，若，，且，则（

）A． B．0 C．2 D．4【答案】D【分析】根据空间向量共线，即可代入坐标运算求解.【详解】由得存在实数，使得，故，进而，解得，所以，故选：D5．记录并整理某车间10名工人一天生产的产品数量（单位：个）如下表所示：工人赵甲钱乙孙丙李丁周戊吴己郑庚王辛冯王陈癸产品数量/个46485153535656565871那么这10名工人一天生产的产品数量的第30百分位数为（

）A．49.5 B．51 C．52 D．53【答案】C【分析】根据百分位数的计算即可求解.【详解】10名工人一天生产的产品数量按从小到大排列为：46，48，51，53，53，56，56，56，58，71，则，故第30百分位数为第3个数据与第4个数据的平均数，即，故选：C6．某工厂对一批产品进行了抽样检测，下图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是，样本数据分组为，，，，，已知样本中产品净重小于14克的个数是36，则样本中净重大于或等于10克并且小于22克的产品的个数是（

）A．90 B．75 C．60 D．45【答案】A【分析】根据频率分布直方图进行求解即可.【详解】设样本容量为，因为样本中产品净重小于14克的个数是36，所以有，所以样本中净重大于或等于10克并且小于22克的产品的个数是，故选：A7．已知生产某种产品需要两道工序，设事件“第一道工序加工合格”，事件“第二道工序加工合格”，只有第一道工序加工合格才进行第二道工序加工，那么事件“产品不合格”可以表示为（

）A． B．AB C． D．【答案】D【分析】由题意可知“产品不合格”包括第一道工序加工不合格和第一道工序加工合格而第二道工序加工不合格，从而可求得结果.【详解】因为只有第一道工序加工合格才进行第二道工序加工，所以事件“产品不合格”包括第一道工序加工不合格和第一道工序加工合格而第二道工序加工不合格，所以事件“产品不合格”可以表示为，故选：D8．已知双曲线的右支与圆交于A，B两点，O为坐标原点．若为正三角形，则该双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．2【答案】C【分析】由题意可求出，因为在双曲线上，代入双曲线的方程化简即可求出双曲线的离心率.【详解】因为双曲线的右支与圆交于A，B两点，且为正三角形，所以设在一象限，则，因为在双曲线上，所以，又因为，化简得：，同时除以化简得：，即，解得：（舍去）或，所以.故选：C.9．在平面直角坐标系xOy中，方程对应的曲线记为C，给出下列结论：①是曲线C上的点；②曲线C是中心对称图形；③记，，P为曲线C上任意一点，则面积的最大值为6．其中正确结论的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】把点代入验证等式是否成立判断①；点代入方程化简验证是否等式不变判断②；等式两边平方化简整理成，取值计算判断③作答.【详解】把点代入所以点不是曲线C上的点，故①不正确；把点代入得变为，所以曲线C是中心对称图形，故②正确；将方程两边平方：，当时，此时点，由，得，则，故③不正确故选：B【点睛】①当证明一个曲线是否关于原点对称则需把点代入验证是否与原来曲线相同；当证明一个曲线是否关于轴对称则需把点代入验证是否与原来曲线相同；当证明一个曲线是否关于轴对称则需把点代入验证是否与原来曲线相同；当证明一个曲线是否关于轴对称则需把点代入验证是否与原来曲线相同；②求一个二元曲线，可以把其中一个元，用另一个元来表示，看成函数求最值.二、多选题10．已知圆和存在公共点，则m的值不可能为（

）A．3 B． C．5 D．【答案】ABC【分析】根据圆与圆的位置关系进行求解即可.【详解】因为圆和存在公共点，所以两圆相交或者相内切或者相外切，即，解得，选项ABC满足，故选：ABC三、填空题11．双曲线的渐近线方程为__________．【答案】【分析】先把双曲线化简成标准方程，直接得出渐近线方程.【详解】由得所以渐近线方程为故答案为.【点睛】本题考查了双曲线渐近线方程的求法，属于基础题.12．甲、乙两人独立地破译某个密码，若两人独立译出密码的概率都是0.5，则密码被破译的概率为________．【答案】##【分析】利用相互独立事件概率计算公式、对立事件的概率计算公式直接求解.【详解】甲､乙两人独立地破译某个密码，两人独立译出密码的概率都是0.5，则密码被破译的概率为:.故答案为：.13．过点且与圆相切的直线的方程为________.【答案】或【分析】分两种情况讨论，一是切线的斜率不存在，可得出所求切线方程为，验证即可；二是切线斜率存在，设所求切线的方程为，利用圆心到切线的距离等于圆的半径求出的值.综合可得出所求切线的方程.【详解】当切线的斜率不存在时，所求切线的方程为，此时圆心到直线的距离为，合乎题意；当切线的斜率存在时，设所求切线的方程为，即，则圆心到该直线的距离等于圆的半径，则，解得，此时，所求切线的方程为，即，综上所述，所求切线的方程为或.故答案为：或.【点睛】本题考查圆的切线方程的求解，在过圆外一点的圆的切线的方程求解时，要注意对切线的斜率是否存在进行分类讨论，将直线与圆相切转化为圆心到直线的距离等于圆的半径来求解，考查运算求解能力，属于中等题.14．在空间直角坐标系中，已知过坐标原点O的平面的一个法向量是，点到平面的距离为________．【答案】5【分析】由点到平面的距离公式即可求得点到平面的距离.【详解】由点到面的距离公式得.故答案为：515．棱长为2的正方体中，点P满足，其中x，y，，给出下列四个结论：①当，时，可能是等腰三角形；②当，时，三棱锥的体积恒为；③当，且时，的面积的最小值为；④当，且时，可能为直角．其中所有正确结论的序号是________．【答案】①②③【分析】建立空间直角坐标系，利用空间两点间距离公式、空间向量夹角公式逐一判断即可.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，，①：当，时，，，若，而，不成立；若，所以本结论成立；②：当，时，，设平面的法向量为，，，因此有，，所以点到平面的距离为：，显然，三棱锥的体积恒为，所以本结论正确；③当，且时，，，由余弦定理可知：，于是有，当时，的面积的最小值为，所以本结论正确；④：当，且时，，，假设为直角，所以，由，代入中，化简得：，解得，当时，，不符合题意，而，不符合题意，所以假设不成，因此本结论不正确，故答案为：①②③【点睛】关键点睛：建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式是解题的关键.四、解答题16．已知的三个顶点分别是，，．(1)求的外接圆C的方程；(2)求直线被圆C截得的弦的长．【答案】(1)(2)6【分析】（1）设圆的方程为，则根据圆经过三点，,，联立方程组，求得、、的值，可得圆的方程．（2）根据点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离为1，进而根据圆的弦长公式即可求解.【详解】（1）设圆的方程为，则由圆经过三点,可得，求得，可得圆的方程为．（2）将圆化成标准式得，所以圆心为半径为，圆心到直线的距离为，故直线被圆C截得的弦的长17．如图，在正四棱柱中，，M是棱上任意一点．(1)求证：；(2)若M是棱的中点，求异面直线AM与BC所成角的余弦值．【答案】(1)证明过程见解析(2)【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线线垂直；（2）在第一问的基础上，利用空间向量求解异面直角的夹角余弦值.【详解】（1）证明：以A为原点，AB，AD，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，因为，所以，，，，所以；（2）M是棱的中点，故，则，设异面直线AM与BC所成角的大小为，则，故异面直线AM与BC所成角的余弦值为.18．某公司为了了解A，B两个地区用户对其产品的满意程度，从A地区随机抽取400名用户，从B地区随机抽取100名用户，通过问卷的形式对公司产品评分．该公司将收集的数据按照，，，分组，绘制成评分分布表如下：分组A地区B地区403012020160408010合计400100(1)采取按组分层随机抽样的方法，从A地区抽取的400名用户中抽取10名用户参加座谈活动．求参加座谈的用户中，对公司产品的评分不低于60分的用户有多少名？(2)从（1）中参加座谈的且评分不低于60分的用户中随机选取2名用户，求这2名用户的评分恰有1名低于80分的概率；(3)若A地区用户对该公司产品的评分的平均值为，B地区用户对该公司产品的评分的平均值为，两个地区的所有用户对该公司产品的评分的平均值为，试比较和的大小，并说明理由．【答案】(1)6(2)(3)，理由见解析【分析】（1）由频率分布直方图可以确定400名用户中评分不低于60分的人数，利用分层抽样的抽样比即可求解人数，（2）根据古典概型的概率计算公式以及组合数的计算即可求解，（3）利用频数分布表可求出，，利用加权平均计算，即可比较大小．【详解】（1）由题知地区共抽取400名用户，其中有240名用户对该公司产品的评分不低于60分，故抽取的人数为,（2）由（1）知：不低于60分的人抽取了6人，这6人中，评分在的人数为，记这4个人分别为，评分在的人数为，记这2人分别为,故从6个人中选取2人的全部基本事件有,共有15种，恰有1名低于80分包含的基本事件有共有8种，因此2名用户的评分恰有1名低于80分的概率为,（3），理由如下：，，所以，因为，两地区人数比为，故地区抽取人数占总数的，地区抽取人数占总数的，则，所以．19．已知抛物线过点．(1)求抛物线C的方程及其焦点坐标；(2)过点A的直线l与抛物线C的另一个交点为B，若的面积为2，其中O为坐标原点，求点B的坐标．【答案】(1)；(2)见解析【分析】（1）把点代入抛物线方程求解.（2）直线l的方程设出来联立韦达定理，求出点用斜率表示，根据面积等于2找到关于斜率的表达式求解.【详解】（1）因为抛物线过点，所以所以抛物线，焦点坐标为（2）由题意得直线l的斜率一定不等于零，设l的方程为与抛物线联立得，，故设，根据韦达定理得：，直线l与轴的交点为所以的面积为，所以或或或当时，，所以点当时，，所以点当时，，所以点当时，，所以点20．如图，在四棱锥中，平面，，，且．(1)求证：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值；(3)在棱上是否存在点G（G与P，B不重合），使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值，若不存在，说明理由．【答案】(1)证明过程见解析；(2)；(3)存在，.【分析】（1）利用线面垂直的判定定理进行证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可；（3）利用空间向量夹角公式进行求解判断即可.【详解】（1）因为，，所以，因为平面，平面，所以，因为平面，所以平面；（2）因为平面，，所以可以建立如图所示的空间直角坐标系，设，，由（1）可知平面，所以平面的法向量为，设平面的法向量为，，所以有，设平面与平面夹角为，，所以平面与平面夹角的余弦值为；（3）设，可得点的坐标为，所以，由（2）可知平面的法向量为，假设与平面所成角的正弦值为，所以有：，或舍去，因此假设成立，所以在棱上存在点G（G与P，B不重合），使得与平面所成角的正弦值为，的值为.21．已知椭圆过点，两点．(1)求椭圆E的方程；(2)过点P的直线l与椭圆E交于C，D两点．（i）若点P坐标为，直线BC，BD分别与x轴交于M，N两点．求证：；（ii）若点P坐标为，直线g的方程为，椭圆E上存在定点Q，使直线QC，QD分别与直线g交于M，N两点，且．请直接写出点Q的坐标，结论不需证明．【答案】(1)(2)（i）证明见详解；（ii）【分析】（1）将点代入方程中求出即可；（2）（i）根据题意可知直线斜率一定存在且不为0，画出图形，设直线方程代入椭圆E中，写出韦达定理，然后写出直线BC，BD的方程，令解出两点，由图可知，三点共线且在轴上，所以要证明，只需证明为的中点，由的纵坐标均为0，故只需证明即可；（ii）利用特殊情况可得，再证明此时对任意到直线，总有.【详解】（1）由椭圆过点，两点，所