2022-2023学年北京汇文中学教育集团高二年级上册学期期末考试数学试题【含答案】

2022-2023学年北京汇文中学教育集团高二上学期期末考试数学试题一、单选题1．抛物线的焦点到准线的距离为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据抛物线方程求出焦点坐标与准线方程，即可得解；【详解】解：因为抛物线方程为，所以焦点坐标为，准线的方程为，所以焦点到准线的距离为；故选：C2．投掷一颗骰子，掷出的点数构成的基本事件空间是={1，2，3，4，5，6}．设事件A={1，3}，B={3，5，6}，C={2，4，6}，则下列结论中正确的是A．A，C为对立事件B．A，B为对立事件C．A，C为互斥事件，但不是对立事件D．A，B为互斥事件，但不是对立事件【答案】C【详解】试题分析：根据对立事件与互斥事件的定义进行判断，由于，因此A错；，因此B错；，因此C对；，因此D错；【解析】对立事件；互斥事件；3．两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出统计图如图所示，则符合这一结果的试验最可能的是（

）A．抛一枚硬币，正面朝上的概率B．掷一枚正六面体的骰子，出现点的概率C．从装有个红球和个蓝球的口袋中任取一个球恰好是红球的概率D．从装有个红球和个蓝球的口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率【答案】D【分析】用频率估计概率，可知所求概率在之间，依次计算每个选项中的情况出现的概率，进而确定结果.【详解】用频率估计概率，可知某一结果出现的概率在之间；对于A，抛一枚硬币，正面朝上的概率为，A错误；对于B，掷一枚正六面体的骰子，出现点的概率为，B错误；对于C，从装有个红球和个蓝球的口袋中任取一个球恰好是红球的概率为，C错误；对于D，从装有个红球和个蓝球的口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率为，D正确.故选：D.4．在等比数列中，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据等比数列通项公式首先求得公比，进而由求得结果.【详解】设等比数列的公比为，则，解得：，.故选：B.5．从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，，一辆车从甲地到乙地，恰好没有遇到红灯的概率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】结合对立事件概率，由独立事件的概率公式计算．【详解】由题意各路口没有遇到红灯的概率分别为，所以经过三个路口没有遇到红灯的概率是．故选：A．6．曲线在处的切线的斜率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出函数在处的导数值，即切线斜率.【详解】解：，，当时，，故切线斜率为2，故选：A.7．若抛物线的焦点坐标是，则等于A． B． C． D．【答案】D【详解】分析：首先写出抛物线的标准方程，然后结合焦点坐标求解a的值即可.详解：抛物线的标准方程为：，则焦点坐标为，结合题意可知：.本题选择D选项.点睛：本题主要考查抛物线的标准方程，抛物线的焦点坐标公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．曲线在点处切线为，则等于（

）A． B． C．4 D．2【答案】C【解析】根据导数的定义结合导数的几何意义，即可得出答案.【详解】由题意可得而故选：C.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义以及导数的定义，属于基础题.9．下列说法中正确的是（

）A．等比数列中的某一项可以为 B．常数列既是等差数列，也是等比数列C．若是等比数列，则不一定是等比数列 D．若，则a，b，c成等比数列【答案】C【分析】根据等比数列的定义可知等比数列中任意一项都不为来验证四个选项.【详解】A根据等比数列的定义可知等比数列中任意一项都不为，所以A不正确；B若常数数列,是等差数列，不是等比数列，所以B不正确；C若是等比数列，设，则所以不是等比数列，故C正确；D设满足，但是a，b，c不成等比数列，所以D不正确.故选：C10．已知抛物线，过点引抛物线的一条弦，使它恰在点P处被平分，则这条弦所在的直线l的方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意知，直线的斜率存在，由点差法及中点坐标公式即可求得斜率，再由点斜式求得直线方程.【详解】设直线与抛物线的两个交点分别为，，将两点代入抛物线方程得，两式作差可得，即直线的斜率，所以直线方程为，即故选：B11．双曲线的左右焦点分别为，且恰为抛物线的焦点，设双曲线与该抛物线的一个交点为，若是以为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由抛物线方程可确定双曲线焦点坐标和抛物线准线方程，由此得到且；根据抛物线定义可确定点坐标，利用两点间距离公式可求得，根据双曲线定义可得，进而求得离心率.【详解】由抛物线方程得：，准线为，即双曲线的半焦距；是以为底边的等腰三角形，，由抛物线定义知：，解得：，或，不妨令，又，，由双曲线定义知：，双曲线的离心率.故选：B.12．某堆雪在融化过程中，其体积V（单位：）与融化时间t（单位：h）近似满足函数关系：（H为常数），其图象如图所示.记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为.那么瞬时融化速度等于的时刻是图中的（

）.A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意可知，平均融化速度为，反映的是图象与坐标轴交点连线的斜率，通过观察某一时刻处瞬时速度（即切线的斜率），即可得到答案.【详解】解：平均融化速度为，反映的是图象与坐标轴交点连线的斜率，观察可知处瞬时速度（即切线的斜率）为平均速度一致，故选：C．【点睛】本题考查了图象的识别，瞬时变化率和切线斜率的关系，理解平均速度表示的几何意义（即斜率）是解题的关键.二、填空题13．在等差数列中，已知，则______．【答案】20【分析】运用等差中项的性质即可求解.【详解】∵为等差数列，∴，∴，∴，故答案为：20.14．已知数列的前n项和，则______．【答案】5【分析】根据数列前项和与项的关系计算．【详解】，故答案为：5.15．若m是2和8的等比中项，则双曲线的渐近线方程为______．【答案】【分析】由双曲线方程确定，再由等比中项定义求得值后可得渐近线方程．【详解】由是双曲线方程得，又m是2和8的等比中项，则，∴（4舍去），双曲线的渐近线方程为，渐近线方程为．故答案为：．16．已知数列满足，，，则数列的前6项和＝______．【答案】36【分析】由题意可知数列为等差数列，代入其前项和公式即可求得前项和的表达式，即可求得结果.【详解】因为知是以为首项，以2为公差的等差数列，其前项和为，，则，故答案为：36.17．盲盒是指消费者不能提前得知具体产品款式的商品盒子．已知某盲盒产品共有种玩偶，小明购买个盲盒，则他能集齐种玩偶的概率是______．【答案】【分析】首先确定基本事件总数和满足题意的基本事件数，根据古典概型概率公式可求得结果.【详解】购买个盲盒，得到玩偶所有情况有种；其中集齐种玩偶的情况有种，所求概率.故答案为：.18．下列叙述中，①等差数列，为其前n项和，若，，则当时，最小；②等差数列的公差为d，前n项和为，若，则为递增数列；③等比数列的前n项和为，若，则有最小项；④在等差数列中，记，若存在，使得，则为递增数列．正确说法有______（写出所有正确说法的序号）【答案】①④【分析】根据等差数列前n项和的性质可判断，，进而可判断①,根据前n项和是关于n的二次函数,即可判断②,根据条件判断,进而根据等比前n项和的函数性质即可判断③,根据,取为奇数即可判断④.【详解】对于①,等差数列中，，，故，，进而得，，根据等差数列的性质可知当时，，当，故当时，最小，故①正确，对于②，，比如当时，，此时,此时，故②错误，由可知，因此公比，且故，由于，且，所以，当，单调递减，此时无最小值，例如时，，故③错误，两式相减得，当为奇数时，，所以为递增数列，故④正确故答案为：①④三、解答题19．某中学经过选拔的三名学生甲、乙、丙参加某大学自主招生考核测试，在本次考核中只有不优秀和优秀两个等次，若考核为不优秀，则没有加分资格；若考核为优秀，获得分加分资格．假设甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为、、，他们考核结果相互独立．(1)求在这次考核中，甲、乙两名同学至少有一人获得加分资格的概率；(2)求在这次考核中甲、乙、丙三名同学所得加分之和为分的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）计算出两名同学都没有获得加分资格的概率，根据对立事件概率公式可求得结果；（2）所求事件为两名同学获得加分资格，另一名没有获得加分资格，结合独立事件概率乘法公式进行计算即可.【详解】（1）若甲、乙两名同学都没有获得加分资格，则概率为，甲、乙两名同学至少有一人获得加分资格的概率为.（2）甲、乙、丙三名同学所得加分之和为，则有两名同学获得加分资格，另一名同学没有获得加分资格，则所求概率.20．（1）已知函数，求；（2）已知函数，若曲线在处的切线也与曲线相切，求的值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）求导后，代入即可得到结果；（2）根据导数几何意义可求得在处的切线斜率，进而得到切线方程；设该直线与相切于，求得在处的切线方程，根据两切线方程相同，可构造方程组求得结果.【详解】（1），；（2），，又，在处的切线方程为：；设与相切于点，，，切线方程为：，即，，解得：.21．在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列的公差，前项和为，若______，数列满足，，，．(1)求的通项公式；(2)求的前项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）将代入可求得；若选①②，利用等差数列通项公式化简已知等式，可构造方程求得公差，进而得到；若选③，利用等差数列求和公式可构造方程求得公差，利用等差数列通项公式可得；（2）将代入，化简整理可证得数列为等比数列，由等比数列求和公式可求得.【详解】（1）由得：，即；若选条件①：由得：，解得：（舍）或，；若选条件②：由得：，解得：，；若选条件③：，解得：，.（2）由（1）得：，，又，，又，数列是以为首项，为公比的等比数列，.22．已知抛物线的焦点为，准线为，是上的动点．(1)当时，求直线的方程；(2)过点作的垂线，垂足为，为坐标原点，直线与的另一个交点为，证明：直线经过定点，并求出该定点的坐标．【答案】(1)或(2)直线经过定点【分析】（1）根据抛物线焦半径公式和抛物线方程可求得点坐标，由此可求得直线方程；（2）设，可得和直线方程，将直线方程与抛物线方程联立可得；当时，可求得直线方程为：，由此可确定定点；当时，直线，恒过；综合两种情况可得结论.【详解】（1）由抛物线方程知：，准线；设，则，解得：，，解得：，则或，或，直线的方程为：或，即或.（2）设，即，则，直线，由得：，解得：或，；当时，，直线方程为：，整理可得：，直线恒过点；当时，直线方程为，恒过点；综上所述：直线经过定点.【点睛】关键点点睛：本题考查直线与抛物线综合应用问题，涉及到焦半径公式的应用、直线过定点问题的求解；本题求解直线过定点的关键是能够通过直线与抛物线方程联立，求得直线上的点的坐标，进而整理得到直线方程，根据直线方程的形式求得定点坐标即可.23．在无穷数列中，对于任意，都有，且．设集合，将非空集合中元素的最大值记为，即是数列中满足不等式的所有项的项数最大值；为空集时，记．我们称数列为数列的相依数列．例如：数列是1，3，4，…，它的相依数列是1，1，2，3，…．(1)设数列是2，3，5，…，请写出的相依数列的前5项；(2)设，求数列的相依数列的前20项和；(