北京邮电大学复变函数第六章

第六章共形映射复变函数与积分变换§6.1共形映射的概念一、解析函数导数的几何意义二、共形映射的概念小结与思考一、解析函数导数的几何意义

1.伸缩率与旋转角yxC.yx.如图．Cyx..yx..存在，则称此极限值为曲线C经函数ω=f(z)映射后在z0处的伸缩率．

定义1

当z沿曲线C趋向于z0点时，如果Cyx.yx.曲线C经函数ω=f(z)映射后在z0处的旋转角．

定义２

设曲线C在z0处的切线倾角为，Cyx..yx.

2．伸缩率不变性结论:

方向无关.所以这种映射具有伸缩率的不变性.

3．旋转角不变性与保角性说明:旋转角的大小与方向跟曲线C的形状无关.映射w=f(z)具有旋转角的不变性...则有结论:的夹角在其大小和方向上都等同于经过方向不变的性质,此性质称为保角性.

注意是必要的,否则保角性将不成立．综上所述,有质:(1)伸缩率不变性；(2)保角性．定理一二、共形映射的概念

定义说明:但仅保持夹角的绝对值不变而方向相反,则称之为第二类保角映射.由定义，定理一又可以叙述为定理二

定义

设ω=f(z)是区域D内的第一类保角映射，如果当z1≠z2时，有f(z1)≠f(z2)（即双方单值），则称f(z)为共形映射．问题:关于实轴对称的映射是第一类保角映射吗?答案:将z

平面与

w平面重合观察，y(v)x(u)..夹角的绝对值相同而方向相反.否.解反之放大.小结与思考熟悉解析函数导数的几何意义,了解共形映射的概念及其重要性质.思考题思考题答案§6.2共形映射的

基本问题一、共形映射的基本问题二、解析函数的保域性与边界对应原理三、保形映射的存在唯一性一、共形映射的基本问题问题一：对于给定的区域D和定义在D上的解析函数w=f(z)，求象集G=f(D)，并讨论f(z)是否将D保形地映射为G；问题二：给定两个区域D和G，求一个解析函数w=f(z)

，使得f(z)将D保形地映射为G；问题二一般称为基本问题，我们一般用单位圆作为一个中间区域．如下图：二、解析函数的保域性与边界对应原理

定理1

(保域性定理)

设函数f(z)在区域D内解析，且不恒为常数，则象集合G=f(D)是区域．

定理２(边界对应原理)

设区域D的边界为简单闭曲线C，函数ω=f(z)在上解析，且将C双方单值地映射成简单闭曲线，当z沿C的正向绕行时，相应的ω的绕行方向定为的正向，并令G是以为边界的区域，则ω=f(z)将D共形映射成G．注1解析函数把区域变成区域；注2边界对应确定映射函数；注3注意边界对应的方向性．三、保形映射的存在唯一性说明该条件的几何解析：§6.3分式线性映射一、分式线性映射的概念二、几种简单的分式线性映射三、分式线性映射的性质四、唯一决定分式线性映射的条件一、分式线性映射的概念称为分式线性映射.说明:否则,由于那么整个z平面映射成w平面上的一点.小知识分式线性映射的逆映射,也是分式线性映射.2)由3)分式线性映射分式线性映射可分解为整式线性映射与的复合.一个一般形式的分式线性映射是由下列四种特殊的简单映射复合而成:例1二、几种简单的分式线性映射平移映射(为方便起见,令w平面与z平面重合)二、几种简单的分式线性映射平移映射(为方便起见,令w平面与z平面重合)旋转映射事实上,设那么因此,把z绕原点转角度，相似映射设那么相似映射特点：对于复平面上任一点，保持辐角不变，而将模放大或缩小．关于横轴对称反演映射此映射可进一步分解为欲由点z作出点w,可考虑如下作图次序:关键:对称点的定义:设C为以原点为中心,r为半径的圆周.在以满足关系式那么就称这两点为关于这圆周的对称点.规定:无穷远点的对称点是圆心O....设P在C外,从P作C的切线PT,由T作OP的垂作图:.故可知:.关于单位圆对称关于实轴对称..三、分式线性映射的性质1.一一对应性例如:结论:分式线性映射在扩充复平面上一一对应.2.共形性（保形性）若规定:两条伸向无穷远的曲线在无穷远点处的交角,等于它们在映射

下所映成的通过原点的两条象曲线的交角.综上所述知:综上所述:定理一分式线性映射在扩充复平面上是共形映射．3.保圆性所谓保圆性指在扩充复平面上将圆周映射为圆周的性质.特殊地，直线可看作是半径为无穷大的圆周.1)映射特点:所以此映射在扩充复平面上具有保圆性.2)映射若z平面上圆方程为:令有代入z平面圆方程得其象曲线方程:即所以此映射在扩充复平面上具有保圆性.3)分式线性映射定理二

分式线性映射将扩充z平面上的圆周映射成扩充w平面上的圆周,即具有保圆性.说明:如果给定的圆周或直线上没有点映射成无穷远点,那末它就映射成半径为有限的圆周;有一个点映射成无穷远点,那末它就映射成直线.如果4.保对称性对称点的特性........结论充要条件是:即分式线性映射具有保对称性.定理三证分式线性映射[证毕]四、唯一决定分式线性映射的条件含有三个独立的常数．定理

只需给定三个条件就能决定一个分式线性映射.证依次映射成设将相异点由此得所以三对对应点可唯一确定一个分式线性映射.将上式整理即可得到形为的分式线性映射，从而证明了存在性．重复上述步骤,仍得到相同形式的结果.唯一性：两个典型区域间的映射...解...例1所求分式线性映射为化简得:注意:本题中如果选取其他三对不同点,也能得出满足要求但不同于本题结果的分式线性映射.可见,把上半平面映射成单位圆的分式线性映射不唯一,有无穷多个.另解:设实轴映射成单位圆周,则所求映射具有下列形式:...由于z为实数时,上半平面映为单位圆的分式线性映射的一般形式说明:解

依上题结论得例2从而所求映射为解...例3因此可设所求分式线性映射为:故所求分式线性映射为:将单位圆映为单位圆的常用映射．例4

解依上题结论得所以所求映射为分析..上半平面单位圆域圆域例5伸长平移解如图示..则所求映射为:...另解如图示:.....于是所求的映射为小结分式线性映射是共形映射的一个重要内容,应熟练掌握并会应用分式线性映射的各种性质寻找一些简单而典型的区域之间的共形映射；掌握上半平面到上半平面,上半平面到单位圆,单位圆到单位圆的分式线性映射.小知识分式线性映射首先由德国数学家默比乌斯(1790~1868)研究,所以也称为默比乌斯映射.对每一个固定的w,此式关于z是线性的;对每一个固定的z,此式关于w也是线性的,因此称上式是双线性的.分式线性映射也称双线性映射.默比乌斯默比乌斯资料AugustMöbiusBorn:17Nov1790inSchulpforta,Saxony(nowGermany)

Died:26Sept1868inLeipzig,Germany§6.4几个初等函数

构成的共形映射一、幂函数二、指数函数小结与思考一、幂函数则:1)(特殊地:单位圆周映射为单位圆周)2)))特殊地:)上岸0沿正实轴剪开的w平面下岸映射特点:把以原点为顶点的角形域映射成以原点为顶点的角形域,但张角变成为原来的n倍.

因此将角形域的张角拉大（或缩小）时，就可利用幂函数

所构成的共形映射.)??如果要把角形域映射成角形域，常利用幂函数.例1解)因此所求映射为:?....解例２00个映射.0??例３0解0实现此步的映射是分式线性函数:00.000000.0因此所求映射为:二、指数函数001)002)0000特殊地:??映射特点:如果要