误差理论与数据处理第一章

研究误差的意义误差的基本概念精度有效数字与数据运算第1章绪论合肥工业大学

误差理论与数据处理第一节研究误差的意义科学始于测量,没有测量，便没有精密的科学。门捷列夫门捷列夫(1834-1907)第一节研究误差的意义

当你能够测量你所关注的事物，而且能够用数量来描述他的时候，你就对其有所认识；当你不能测量他，也不能将其量化的时候，你对他的了解就是贫乏和不深入的。开尔文开尔文（1824-1907）第一节研究误差的意义

信息技术包括测量技术、计算机技术和通信技术，测量技术是信息技术的关键和基础。钱学森钱学森(1911-)第一节研究误差的意义正确认识误差的性质，分析误差产生的原因正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果,正确评定测量结果正确组织实验过程，合理设计、选用仪器或测量方法从根本上，消除或减小误差通过计算得到更接近真值的数据根据目标确定最佳系统第一节研究误差的意义第一节研究误差的意义大轴直径测量：测量不确定度＜0.005mm/m。第二节误差的基本概念误差的定义及表示法误差的来源误差分类一、误差的定义及表示法误差（Error）：误差测得值真值＝－约定真值理论值真值真值（TrueValue）：观测一个量时，该量本身所具有的真实大小。一、误差的定义及表示法三角形内角之和恒为180º一个整圆周角为

360º理论值国际千克基准1Kg在检定工作中，常把高一等级精度的标准所测得的量值，即实际值作为约定真值。约定真值测量某压力二等标准活塞压力计测得9000.2N/CM2高一等级的压力计测得9000.５N/CM2约定真值一、误差的定义及表示法约定真值获得方式(1)由国家基准或当地最高计量标准复现而赋予该量的值。(2)采用权威组织推荐的该量的值。例如，由国际数据委员会(CODATA)推荐的真空光速、阿伏加德罗常量等特定量的最新值。(3)有时用某量的多次测量结果来确定该量的约定真值。(4)对于硬度等量，则用其约定参考标尺上的值作为约定真值。一、误差的定义及表示法一、误差的定义及表示法误差绝对误差相对误差粗大误差系统误差随机误差表示形式性质特点一、误差的定义及表示法绝对误差（AbsoluteError）

常用约定真值代替

特点：1)绝对误差是一个具有确定的大小、符号及单位的量。2)绝对误差与误差的绝对值不同。x＝x－x0绝对误差测得值真值＝－一、误差的定义及表示法修正值(Correction)

:为了消除系统误差用代数法加到测量结果上的值。

修正值真值测得值－特点：1)与误差大小近似相等，但方向相反。2)修正值本身还有误差。误差－真值修正值测得值+一、误差的定义及表示法【例1-1】用某电压表测量电压，电压表的示值为226V，查该表的检定证书，得知该电压表在220V附近的误差为5V，被测电压的修正值为－5V，则修正后的测量结果为226+(－5V)=221V。

测得值绝对误差一、误差的定义及表示法被测量的真值，常用约定真值代替，也可以近似用测量值x来代替相对误差特点：1）相对误差有大小和符号。2）无量纲，一般用百分数来表示。绝对误差相对误差（RelativeError）：

实际相对误差示值相对误差引用相对误差一、误差的定义及表示法绝对误差和相对误差用两种方法测量L1＝100ＭＭ的尺寸，其测量误差为，，哪种方法测量精度高？若用第三种方法测量L2＝80ＭＭ的尺寸，其测量误差为，与上述两种方法相比，精度如何？用绝对误差评定用相对误差评定第二种方法精度更高一、误差的定义及表示法第一种方法的相对误差为：第二种方法的相对误差为：第三种方法的相对误差为：结论：用绝对误差不便于比较不同量值、不同单位、不同物理量等的测量精度，采用相对误差评定较为准确。一、误差的定义及表示法定义

（１）测量范围上限或全量程引用误差

仪器某刻度点的示值误差

引用误差是一种相对误差，而且该相对误差是引用了特定值，即测量范围上限（或全量程）得到的，故又称为引用相对误差、满度误差。

引用误差（MeasuringInstrumentFiducialError）一、误差的定义及表示法我国电工仪表的准确度等级(AccuracyClass)就按引用误差分级的，如1.5级的电表，表明≤±1.5％。我国电工仪表共分七级：0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、2.5、5.0。

若某仪表的等级是S级，它的满刻度值为xm，则测量的引用误差为≤±S％按公式１绝对误差为

△x≤±xm×S％（２）

相对误差为

S选定后，X愈接近Xm，相对误差的上限值愈小，测量愈准确。一般应使被测量的值尽可能在仪表满刻度值的三分之二以上。一、误差的定义及表示法

【例1-2

】检定一只2.5级、量程为100V的电压表，发现在50V处误差最大，其值为2V，而其他刻度处的误差均小于2V，问这只电压表是否合格？该电压表的引用误差为由于所以该电压表合格。【解】【例1-3

】某1.0级电流表，满度值（标称范围上限）为100，求测量值分别为100，80和20时的绝对误差和相对误差。（）依题意，由公式（２）可知，最大绝对误差为

相对误差分别为

在同一标称范围内，测量值越小，其相对误差越大。

【解】二、误差的来源AddYourText测量误差装置误差人员误差环境误差方法误差二、误差的来源测量装置误差标准量具误差仪器误差附件误差工作原理＼设计＼装配＼检定误差读数＼量化误差老化磨损误差标准量具误差:标准砝码仪器误差：天平的示值变动误差天平本身的加工误差二、误差的来源二、误差的来源各种环境因素与规定的标准状态不一致而引起的测量装置和被测量本身的变化所造成的误差。测量环境误差温度湿度气压光照电磁振动二、误差的来源测量方法误差指使用的测量方法不完善，或采用近似的计算公式等原因所引起的误差，又称为理论误差。［例］用均值电压表测量交流电压时，其读数是按照正弦波的有效值进行刻度，由于计算公式中出现无理数和，故取近似公式，由此产生的误差即为理论误差。二、误差的来源测量人员误差测量人员的工作责任心、技术熟练程度、生理感官与心理因素、测量习惯等的不同而引起的误差。为了减小测量人员误差，要求测量人员：认真了解测量仪器的特性和测量原理熟练掌握测量规程精心进行测量操作正确处理测量结果0910三、误差分类三、误差分类系统误差（SystematicError）在相同条件下，多次测量同一量值，该误差的绝对值和符号保持不变，或者在条件改变时，按某一确定规律变化的误差。在实际估计测量器具示值的系统误差时，常常用适当次数的重复测量的算术平均值减去约定真值来表示，又称为测量器具的偏移或偏畸（Bias）。由于系统误差具有一定的规律性，因此可以根据其产生原因，采取一定的技术措施，设法消除或减小它。三、误差分类系统误差举例：1用天平计量物体质量时，砝码的质量偏差2圆度测量时，工件与旋转轴安装偏心引起的测量误差3刻线尺的累积误差三、误差分类误差绝对值和符号已经明确的系统误差。

已定系统误差：举例：量块

误差绝对值和符号未能确定的系统误差，但通常估计出误差范围。

未定系统误差：三、误差分类误差绝对值和符号固定不变的系统误差。

不变系统误差：举例：砝码、热膨胀误差

误差绝对值和符号变化的系统误差。按其变化规律，可分为线性系统误差、周期性系统误差和复杂规律系统误差。

变化系统误差：三、误差分类在相同测量条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号以不可预定方式变化的误差但存在统计规律性。又称为偶然误差。随机误差产生原因实验条件的偶然性微小变化，如温度波动、噪声干扰、电磁场微变、电源电压的随机起伏、地面振动等。

措施用概率统计的方法处理含有随机误差的数据，减小随机误差对测量结果的影响。（RandomError）三、误差分类粗大误差（GrossError）指明显超出统计规律预期值的误差。简称粗差。定义产生原因某些偶尔的异常因素或疏忽所致。

测量方法不当或错误，操作疏忽和失误

测量条件的突然变化该误差很大，会明显歪曲测量结果。故应按照一定的准则进行判别，将含有粗大误差的测量数据（称为坏值或异常值）予以剔除。措施三、误差分类三类误差的关系标准差期望值

均值

某次测得值

奇异值

三类误差的定义是科学严谨的，不能混淆。但在一定条件下可以相互转化。按照一定基本尺寸制造的量块。第三节精度它反映测量结果中系统误差的影响。准确度（Correctness）它反映测量结果中随机误差的影响程度。精密度（Precision）精确度（Accuracy）

它反映测量结果中系统误差和随机误差综合的影响程度，简称精度。第三节精度准确度、精密度和精确度三者的关系准确度高精密度低准确度低精密度高准确度高精密度高精确度高第三节精度在相同条件下，在短时间内对同一个量进行多次测量所得测量结果之间的一致程度，一般用测量结果的分散性来定量表示。

重复性（Repeatability）在变化条件下，对同一个量进行多次测量所得测量结果之间的一致程度，一般用测量结果的分散性来定量表示。复现性也称为再现性。

复现性（Reproducibility）常用精度名词术语第三节精度测量仪器保持其计量特性随时间恒定的能力。它可以用几种方式来定量表示，如用计量特性变化某个规定的量所经过的时间；或用计量特性经规定的时间所发生的变化等。

稳定性（Stability）测量仪器的示值与对应输入量的真值（或约定真值）之差。其实质就是反映了测量仪器准确度的大小。

示值误差（ErrorofIndication）第三节精度测量仪器示值的系统误差。通常用适当次数重复测量的示值误差的平均来估计。

偏移（Bias）对于给定的测量仪器，规范、规程等所允许的误差极限值。有时也称为允许误差限。

最大允许误差（MaximumPermissibleError）表征合理地赋予被测量之值的分散性，与测量结果相联系的参数。不确定度（uncertainty）第四节有效数字与数据运算含有误差的任何数，如果其绝对误差界是最末尾数的半个单位，那么从这个近似数左方起的第一个非零的数字起到最末一位数字止的所有数字，不管是零或非零的数字，都叫有效数字。

测量结果保留位数的原则1：最末一位数字是不可靠的，倒数第二位数字是可靠的。测量结果保留位数的原则2：在进行重要的测量时，测量结果和测量误差可比上述原则再多取一维数字作为参考。一、有效数字第四节有效数字与数据运算二、数字舍入规则若舍去部分的数值，大于保留部分末位的半个单位，则末位数加1。若舍去部分的数值，小于保留部分末位的半个单位，则末位数减1。若舍去部分的数值，等于保留部分末位的半个单位，则

末位凑成偶数，即当末位为偶数时则末位不变，当末位是奇数时则末位加1。第四节有效数字与数据运算三、数字运算规则为保证最后结果有尽可能高的精度，运算数字在有效数字后可多保留一位数字作为参考数字。加减运算时，各运算数据以小数位数最少的数据位数为准，其余各数据可多取一位小数，但最后结果应与小数位数最少的数据小数位相同。乘除运算时，各运算数据以有效位数最少的数据位数为准，其余各数据可多取一位有效数，但最后结果应与有效位数最少的数据位数相同。平