拉格朗日插值法

机械CAD/CAM基础课程作业姓名曾子敬专业 机械电子工程学号 0042日期 2011-12-21武汉科技大学拉格朗日插值法的理解与运用引言在机械设计与制造领域会因为通过大量试验而得来很多测试数据资料，如数表、线图、标准、规范、实验数据等。我们常常需要对这些繁多而复杂的试验数据进行系统的分析和处理，从而得到希望的演算结果，所以如何有效的处理一系列数据是在机械工程设计中是十分关键的一步。在传统的设计过程中，这些数据都是通过人工查询手册来获取，但在现代CAD/CAM系统中，这些数据需要由计算机进行处理，这就需要我们将试验数据以数表和线图的形式输入计算机才能被计算机有效的识别、存储和应用。在CAD/CAM中，有两类数表需要进行处理。一类是彼此之间没有函数关系的数表，如材料的机械性能、物理性能等；另一类是彼此之间存在函数关系，而为了使用方便以表格形式给出的列表函数，如三角函数、对数函数等。对于数据之间存在某种函数关系而被离散化的数表，虽然离散化后的自变量值和因变量值存在一一对应关系，但是对于这类数表所需完成的查询通常并非恰好是给定的离散值，而是介于离散量之间的自变量和因变量，这就需要解析的方法处理。常用数表解析法有函数插值法和数据拟合法。下面以函数插值法中常用的拉格朗日插值法来讨论其理解与运用。函数插值一一拉格朗日插值法理解函数插值的含义在科学研究和实际的机械工程设计中，几乎所有的问题都可以用函数y=f(x)来表示其中某些内在的数量关系，但是理想化的函数关系又很难在实际的工程测试结果中得到，对于那些没有明显方程式的函数关系表达式则只能通过求出与原关系式近似的又能反应其原函数特性的一种便于计算的简单函数，即构造一个近似函数来替代原函数。插值的基本方法插值的基本方法是在插值点附件选取几个合适的节点，利用这些节点构造一个函数g(x)，使g(x)经过所选取的所有节点，在插值点确定的区间上近似用g(x)代替原来的函数f(x)，那么，插值点的函数值可以用构造函数值来代替。而想要正确理解拉格朗日的含义就必须首先理解线性插值和抛物线插值。1)线性插值线性插值是用通过所选取两个节点构造一个线性函数g(x)来代替原来的函数f(x)。设有一个用数表表示的函数，插值点为(x,y)。插值步骤如下：从数表中在插值点的附近的自变量x，x(对应的函数值分别为y,y)，并满足条i i+1 ii+1

用过(X,X)和(y,y)两点的直线g(x)代替原来的函数f(x),则插值点的函i i+1 ii+1数值为y= —(X_X)+yX-Xii2)抛物线插值抛物线插值是用通过3个节点的抛物线g(x)来代替原来的函数f(x)。在数表中，如何选择TOC\o"1-5"\h\z合适的3个节点(x,y),(x,y),(x,y)，是保证抛物线插值精度的关键所在。1 1 2 2 3 3设插值点为(x，y)，抛物线插值步骤如下：从已知数表中，在插值点x的左右选取两点(x，X)和(y,y)，分别记为i i+1 ii+1(X,y),(x,y)。它们满足条件11 22XVXVX比较(X-x.)和(气+1-X)的大小，取差值较小者作为取点的延伸方向，从数表中选取第3点。我们设(X-X)<(X-x)，则取点延伸方向，即取(x,y)作为第3点(x,y)。i i+1 i-1i-1 33将3个点的坐标代入抛物线方程，得到插值点的函数值：_(X-X)(X-X) (X-X)(X-X) (X-X)(X-X)y2、/ 3~Ty. T _\"y、 T ~\"y.(X-X)(X-X)1(X-X)(X-X)2(X-X)(X-X)31 2 1 3 2 1 2 3 3 1 3 2色)图1

（a）线性插值图；（b）抛物线插值图实际在做出的图表中查看插值的几何意义如图1所示，发现用g（x）代替原有曲线f（x）存在一定的误差，且误差的大小与插值区间有关，区间越小，误差越小，当自变量间隔足够小时，线性插值的精度可以满足使用要求，所以为了提高精度，就要利用多点插值，而拉格朗日就是多点插值法。（3）拉格朗日插值法的概述拉格朗日插值用来求n个节点的（n-1）次插值多项式，它就是线性插值和抛物线插值的推广和延伸。我们设有n个节点，则拉格朗日插值的表达式表示为：,、V M一工）3一工）…3一x）（X一X）…（X一X） \nx-xg（x）二乙 匕 k=^k^d /—y=乙（11 j-）y（x一x）（x一x）…（x一x）（x一x）…（x一x）k x一xkk=1k1k2 k k-1 k k+1 kn k=1j=1,j」kkj拉格朗日插值的运用（1）利用拉格朗日插值法手算函数f（x）=-^，（-2<x<2）4x2+11）我们设有3个节点，分别为x=-2,x=0,x=1，则对应的值为y=0.118,y=2,y=0.4，1 2 3 1 2 3根据定义构造一个二次多项式:y*=ax(x-1)+a(x-1)优+2)+ax(x+2)由于二次多项式函数须通过已知的三个结点，因此在节点x,x,x处应满足以下条件:123y*(x)=y,p(x)=y,p(x)=y，艮口1 1 2 2 2 3 3 30.11=〈(A—OW—D^%(0—1)((+2),0.伞03(1+2)0-0)则求的方程组得a1=0.197,a2=一1,03=0.1333则3节点的二次拉格朗日插值多项式为：y=0・19Xx—1Hx—1)X+2)+0・13Xx+2)2）利用matable绘制函数图形对比函数图像①利用matable中的画图函数plot画出原函数f（x）=-^的函数图像和画出手4x2+1算出的拉格朗日插值多项式函数图像，并进行图像对比，matable中的编程程序为：x=-2::2;y2=*x.”*x;%简化后的二次拉格朗日插值函数plot（x,y2,'r--'）;%插值图形虚线标识holdony1=2./(1+4*x."2);plot(x,y1,'g-');%绘制原函数图形绿色标识从图像对比中我们可以看出其3个节点构造出的函数存在很大的误差，只有缩小区间，即增加取的节点个数，使自变量间隔足够小时，得到的插值函数精度才可以满足使用要求。下面我们利用matable中的关于拉格朗日插值多项式函数来验证当节点数n取多时，构造函数越精确。(2)利用matable编程求解拉格朗日插值多项式即图形对比我们设取节点的个数为n，以下编程是指在取不同的节点数n的情况下，n-1次拉格朗日插值多项式在matable下所画出的图形与原函数图像的对比，当取的n越大时，我们会发现我们采用拉格朗日插值法得到的构造函数越接近原函数图形。所使用的matable函数编程如下：%求已知数据点的拉格朗日插值多项式和原函数并画出其图形进行对比%设已知数据点的x坐标为x0%对应函数值的坐标为y0x0=linspace(-2,2,n);%n为取的节点数y0=2./(1+4*x0."2);symsxl;if(length(xO)==length(yO))n=length(xO);elsedisp('x0和yO的坐标范围不一样！’)；return;endp=sym(0);for(i=1:n)l=sym(y0(i));for(k=1:i-1)l=l*(x-x0(k))/(x0(i)-x0(k));end;

for(k=i+1:n)

l=l*(x-x0(k))/(x0(i)-x0(k));end;p=p+l；endf=simplify(p);%简化多项式得其简式函数x=-2::2;y1=2./(1+4*x.”2);plot(x,y1,，g-，);holdonf1=subs(f,，x，,x);plot(x,f1,，r--，);xlabel(，x的范围取值，)，ylabel(，对应y的值，);title(，拉格朗日插值多项式图像，用红色虚线标识，)；①n取5时，liltRdH. Jpseri.dIsQesktiip心①n取5时，liltRdH. Jpseri.dIsQesktiip心ndcrrHelp %2]d.j后..舞园夏威-胡口二1 0拉格朗日插值多功式图像，用红色柄诅②n取7式，用matable得出的原函数图像和得出的拉格朗日插值函数图形对比:Fil.EililABA*I^TiXBT4Tn-aLx 姻VatL^DHK*Ljl-31b」，｛-：，国土K-0UIC■巨扯格朗日插值森更式图伊用泣芭标诅-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5x的范围取值n取12时用matable得出的原函数图像和得出的拉格朗日插值函数图形对比:FilflEdiFilflEditYiflvIdeartToolsDacktopWinderHelp□75j＞七，咎⑤土■，巍□wf四地宅®P.从三组函数图形对比中可以看出，用计算机计算出的得到拉格朗日插值函数精确更高，而且随着n值不断增大，即所取节点数的不断增多，所得出的拉格朗日插值函数与原函数更加渐进和吻合，这就充分的证明了当节点数取的适当多时，所构造的函数越渐进于原函数图形。四.总结从上面的试验结果中