悬臂梁的弯曲变形

本节讨论悬臂梁的弯曲，考察薄板梁，左端固定，右端受切向分布力作用，其合力为F，悬臂梁在力的作用下将产生弯曲。设梁的跨度为/，高度为龙，厚度为一个单位，自重忽略不计。首先讨论梁的弯曲应力。对于悬臂梁，建立坐标系如图所示。则梁的边界条件为hy=±- 小'二°丁用二°p=0 =0 v=0该边界条件要完全满足非常困难。但深入分析发现，只要梁是细长的，则其上下表面为主要边界，这是必须精确满足；而左右端面的边界条件，属于次要边界。根据圣维南原理，可以使用静力等效的应力分布来替代，这对于离端面稍远处的应力并无实质性的影响。因此两端面的边界条件可以放松为合力相等的条件。此外由于梁是外力静定的，固定端的三个反力可以确定，因此在求应力函数时，只要三面的面力边界条件就可以确定。固定端的约束，即位移边界条件只是在求解位移时才使用。这样问题的关键就是选择适当的应力函数，使之满足面力边界条件。因为在梁的上下边界上，其弯矩为F(l-x)，即力矩与(l-x)成正比，根据应力函B B阳二有)％血十『0由-y)%&数A 由 的性质，设应力函数为

其中f(y)^y的任意函数。将上述应力函数代入变形协调方程，可得即夺，积分可得/(/)=十切十分十廿由于待定系数d不影响应力计算，可令其为零。所以，应力函数为/(/)=十切十分十廿轮(w)二(£-幻(妒+或+勿将上述应力函数代入应力分量表达式，可得应力分量返回孔二bJ+七脱将上述应力分量代入面力边界条件灼F+叩，可以确定待定系数。b兑二0 r兑二°在上下边界，川=勺 自动满足。而血"哼 ，则要求39-ah+M北+q=。43八——bh.+c=04J&咨=『ry—Q _岂在x=l边界上， 曜 自动满足。而卫 ，则要求联立求解上述三式，可得注意到对于图示薄板梁，其惯性矩 12。所以应力分量为F5=-亍（』_切CT=0L/所得应力分量与材料力学解完全相同。当然对于类似问题，也可以根据材料力学的解答作为基础，适当选择应力函数进行试解，如不满足边界条件，再根据实际情况进行修正。返回应力分量求解后，可以进一步求出应变和位移。du.dvTOC\o"1-5"\h\zS .s .将应力分量代入几何方程 阪',沙'1-1/' v 1头=—^C^--—bj)二苛(q-吃务)A 1—lr jz-j1-!/' V 1勺二乌—一F)=m(弓—3织)Y

物理方程GA 1—VY

物理方程G厂*—E]&公—(％1-V2fsy=、公—(％1-V2fsy=、, —CT)=—(4T-vLcr)E1-V"E]\'L»&_2(1+1/) _2(111/0GE秒E]壮可得dudu1z、S二——=—(£7-vc)二dv1—G-加El… 」 Fev二一二一-i/b*)二u——(I-x)y，场矿，"Er”Svdu2Q+h)(1+v)F.h2队匕二f*厂二二J(甘一卜)3^dyE KI4对于上述公式的前两式分别对尤，y积分，可得F门12、F^=-—7)+—/WFl公1 2F=v——(一加--xy)4-——g(x)El2 2政其中/(J)，g(尤)分别为y,x的待定函数。将上式代入应变分量表达式的第三式，并作整理可得［加*-捉)出尸⑴号河+小少小芸由于上式左边的两个方括号内分别为x，y的函数，而右边却为常量，因此该式若成立，两个方括号内的量都必须为常量。所以1,)二打h2胞+m=(1+y)—上式的前两式分别作积分，可得/(7)=*时&6颜弋)二—-—X5+*+』2 6F 1土、FU--——{Ixy--xy)+——f(y)EI 2EIFlIfv-^—(.-fy2-rV3)+—^(x)将上式回代位移表达式 2 2EI，则TOC\o"1-5"\h\zF.12 2+V3, ,u-——（-/xy+—jcy y+海己）EI2 6v^—（-1/--^十土盘—'日心扑）EI'2^ 2z2 6 '其中m,n,c,d为待定常数，将由位移边界条件确定。显然，上述位移不可能满足位移边界条件x=0,u=v=0。悬臂梁左端完全固定的约束条件太强了，要严格满足非常困难。对于工程构件，端面完全固定仅仅是一种假设，真实的端面约束条件是非常复杂的。在弹性力学讨论中，重要的是分析一般条件下，悬臂梁的弯曲变形。根据圣维南原理，真实约束条件对于悬臂梁位移分析的影响主要是端面附近的位移，对于远离端面处，这个影响主要是刚体位移。因此首先排除刚体位移，平面问题只要有三个约束条件就足够了。至于选用的约束条件与实际约束的差别，将在本节最后讨论。为此首先假定左端截面的形心不能移动，即当x=y=0， u=v=0代入位移表达式，可得c=d=0为了确定m和〃，除了利用位移边界条件，还必须补充一个限制刚体转动的条件。分别考虑两种情况：一是左端面形心处的水平微分线段被固定；二是左端面形心处的垂直微分线段固定。对于第一种情况，即增加约束条件由此条件，可得对应的位移为E7v727 6悬臂梁变形后的挠曲线方程为v(xjO)= (3f一咒)兀”6EI这一结果与材料力学的解答完全相同。这时梁的左端面变形为三次曲面，如图所示 。其表达式为S气F/2+lz3 1+V,2.她我)一百一片"引在左端面的形心，垂直微分线段将产生转动，转角为印*二岑*J芸〉。对于第二种情况即增加约束条件(Um=0世由此条件，可得

对应的位移为n对应的位移为n=j(l+v)hm=0以二巴（—网厂此El2 6+-x32梁变形后的挠曲线方程为心）=6E7 心）=6E7 4这时梁的左端面变形为三次曲面，如图所示