微专题-圆锥曲线中的最值问题(解析版)

专题30锥曲线中的最值问题【考情分析】与圆锥曲线有关的最值和范围问题，因其考查的知识容量大、分析能力要求高、区分度高而成为高考命题者青睐的一个热点。江苏高考试题结构平稳，题量均匀.每份试卷解析几何基本上是1道小题和1道大题，平均分值19分，实际情况与理论权重基本吻合；涉及知识点广.虽然解析几何的题量不多，分值仅占总分的13%，但涉及到的知识点分布较广，覆盖面较大；注重与其他内容的交汇。圆锥曲线中的最值问题，范围问题都是考查学生综合能力的载体.俗话说：他山之石可以攻玉.在研究这几年外省新课程卷解析几何试题时，就很有启发性.比如2010年安徽卷理科19题，该题入题口宽，既可用传统的联立直线与曲线，从方程的角度解决，也可利用点在曲线上的本质，用整体运算、对称运算的方法求解.再比如2011年上海卷理科23题，主要涉及到中学最常见的几个轨迹，通过定义点到线段的距离这一新概念设置了三个问题，特别是第三问，呈现给学生三个选择，学生可根据自已的实际情况选择答题，当然不同层次的问题，评分也不一样，体现让不同的学生在数学上得到不同的发展【备考策略】与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决：结合定义利用图形中几何量之间的大小关系；不等式(组)求解法：利用题意结合图形(如点在曲线内等)列出所讨论的参数适合的不等式(组)，通过解不等式组得出参数的变化范围；函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；【激活思维】x2 y2已知双曲线一一S=1(a〉0,b〉0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60。的直线与双曲a2b2线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是［2,+8)x2y2?是双曲线云^―=1的右支上一点，M、N分别是圆(x+5"+y2=4和(x—5*+y2=1上916的点，则|PM—|PN|的最大值为乙TOC\o"1-5"\h\z… 一= 4抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是-已知抛物线y2=4x，过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x,y),B(x,y)两点，则y2+y21 1 2 2 1 2的最小值是 32 . _已知点M(-2,0)，N(2,0)，动点P满足条件IPMI-IPN1=2巨.记动点P的轨迹为W.uuoruuur(I)求W的方程;uuoruuur(II)若A，B是W上的不同两点，O是坐标原点，求OA-OB的最小值.解：(I)依题意，点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，X2y2 ,所求方程为：3—^=1(x〉。)(II)当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方；程为x=x0,此时A(x0，Jx2—2)，B(x0，—Jx2—2)，OA-OB=2

当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+b,X2V2 -代入双曲线方程—^―=1中，得：(1—k2)x2—2kbx—b2—2=0依题意可知方程1。有两个不相等的正数根，设A(xi5yi),B(x2,y2),则A=4k2b2—4(1A=4k2b2—4(1—k2)•(—b2—2)>02kb八〈x+x= >01 2 1—k2b2+2八|X1X2=百>0uurtor又OA•OB=xix2+yiy2=xix2+(kx+b)解得|k|〉1,=(1+k2)xx+kbuuoruur综上可知QA•OB的最小值为2(%+%)(kx2+b)22k2+2一, 4+b2= =2+ >2k2—1 k2—1【典型示例】求抛物线y=72上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值?分析一：设抛物线上任一点坐标为P(x0，-弋)，14x—3x2—813(x-3)2+204由点到直线的距离公式得p到直线的距离d(x0)二—一=一y——二＞3，TOC\o"1-5"\h\z4当%=3时’d(x0)取得最大值3，分析二：设抛物线上点P(七，-x0)到直线4x+3y-8=0距离最小，则过P且与抛物线相切的直线与4x+3y-8=0平行，4 2 2 4故y'(x0)=-2x0=-3，二x0=3，二P(3，—9)，，4、14x_+3x(-_)-81』9 4此时d=——3——5一9 =3，.分析三：设直线方程为4x+3y+C=0则当l与抛物线相切时l与4x+3y-8=0间的距离为所求最小，y=—x2 4得4x-3x2+C=0，AA=16+12C=0，Ac=-—，此时x+3y+C=0 34I—8—(——)1/, 3 4=5 —【分类解析】

例1:已知椭圆w+M=1，A（4,0）,B（2,2）是椭圆内的两点，P是椭圆上任一点，求：（1）求51PAI+IPBI的最小值；（2）求IPAI+IPBI的最小值和最大值4分析：（1）A为椭圆的右焦点。作PQ±右准线于点Q，则由椭圆的第二定义IPA=e=5,IPQI・•・5IPAI+IPBI=IPQI+IPBI,4显然点P应是过B向右准线作垂线与椭圆的交点，最小17~4（2）由椭圆的第一定义，设C为椭圆的左焦点，则IPAI=2a-1PCI:.IPAI+1PBI=IPAI=2a-1PCI=10+(IPBI-1PCI)，根据三角形中两边之差小于第三边，当P运动到与B、C成一条直线时，便可取得最大和最小值。当P到P〃位置时，IPBI-1PCI=IBCI，IPAI+1PBI有最大值，最大值为10+IBCI=10+2侦'10；当P到P'位置时，IPBI—IPCI=—IBCI，IPAI+IPBI有最小值，最小值为10-1BCI=10-2而.（数形结合思想、椭圆定义、最值问题的结合）变式：点A（3,2）为定点，点F是抛物线y2=4x的焦点，点P在抛物线y2=4x上移动，若|PA|+|PF|取得最小值，求点P的坐标。解：抛物线y2=4x的准线方程为x=-i，设P到准线的距离为d，则|PA|+|PF|=|PA|+d。要使|PA|+|PF取得最小值，由图3可知过A点的直线与准线垂直时，|PA|+|PF取得最小值，把y=2代入y2=4x，得P（1，2）。例2:已知椭圆的中心在0,右焦点为F，右准线为L，若在L上存在点M，使线段OM的垂直平分线经过点F，求椭圆的离心率e的取值范围？解：如果注意到形助数的特点，借助平面几何知识的最值构建使问题简单化，由于线段0M的垂直平分线经过点F，则MF=OF=c,利用平面几何折线段大于或等于直线段（中心到准线之间的距a2 、-v'2离），则有2c巳..e，c2..•椭圆的离心率。的取值范围椭圆的离心率。的取值范围为X2V2变式1:已知双曲线^^-b-=1,(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,点？在双曲线的右支上，且|PF11=4|PF2|,求此双曲线的离心率。的最大值？1 2 5解：双曲线的离心率。的最大值为日X2V2变式2:已知椭圆方程为云+b-=1，(0<a<b)的左、右焦点分别为F「F2，点P在为椭圆上的任意一点，且|PF11=4|PF2|,求此椭圆的离心率。的最小值？3解：椭圆的离心率。的最小值为§TOC\o"1-5"\h\zX2 ,例3:已知P点在圆X2+(y-2)2=1上移动，Q点在椭圆亏+V2=1上移动，试求|PQ|的最大值。解：故先让Q点在椭圆上固定，显然当PQ通过圆心。时|PQ|最大，因此要求|PQ|的最大值，只要求|OQ|的最大值.设Q(x，y)，g|OQ|2=X2+(y-4)2①因。在椭圆上，则X2=9(1-y2) ② J 1¥_将②代入①得|O]Q|2=9(1-y2)+(y-4)2=-8y+-+271 I 27因为Q在椭圆上移动，所以-1<ye故当y=1时，OQ=点2 1max此时|尸。|=3J3+1【点晴】fa与圆有关的最值问题往往与圆心有关；2.函数法是我们探求解析几何最值问题的首选方法，其中所涉及到的函数最常见的有二次函数等，值得注意的是函数自变量取值范围的考察不能被忽视。变式1:设P是椭圆一+y2=1(a>1)短轴的一个端点，Q为椭圆上的一个动点,a2求|PQ|的最大值.解法1:依题意可设P(0,1),Q(x,y),贝UPQ|=<x2+(y-1)2.又因为Q在椭圆上，所以X2=a2(1-y2).IPQ12=a2(1-y2)+y2—2y+1=(1-a2)y2—2y+1+a2

=(1-ai)(y )2 +1+。2.1—CL11—。2因为IyIW1,a〉1,时，IPQ|取最大值“2e1a2-1若a〈也,则当y=—1时，|PQ|取最大值2.解法2:设P(0,1),Q(acosO,sinO),则\PQ12=cos2。+(sin0-1)2(1—。2)sin20—2sin0+。\PQ12=cos2。+(sin0-1)2(1—。2)sin20—2sin0+。2+111

(1-<22)(sin0 )2 +。2+1.1—CL21—[2注意到Isin0|W1,变式2:已知△OFQ的面积为2扼,OFFQ=m（1）^<6<m<4>/6,求ZOFQ正切值的取值范围;'〉、以熠仲解法1相同•（2）设以。为中心，F为焦点的双曲线经过点Q（如图）,turV6\OF\=c,m=(--—1)C2土4uuu\OQ\取得最小值时，求此双曲线的方程。»tfr(1^ZOFQ=0IOFI•IFQIcos(7i-9)=m rr<iairtur ntan0= -•lOFMFQIsinO=2^ mQy[6<m<4a/6-4<tan0<-1(2)设所求的双曲线方程为Y2v2 umr__2_=l(6Z>0,Z?>0),e(x,y),贝1]尸@=3-c,y)。2力2 1 1 11tur - M...七=±——1ciuir.•.S =-\OF\-\y1=2<6,△OFQ2 1turtur uiraur又,/OF-FQ-m,OF•FQ-(c,0)•(尤一c,y)=(尤-c)-c=(-^-1)C2iii 4丝+竺KC2x=c,/.IOQ1=Jx2+* g当且仅当c=4时，l。GI最小，此时Q的坐标是（JRw''6）或（屈-扃6 6-1.「云一丘na2+b2=16a2=4b6 6-1.「云一丘na2+b2=16a2=4b2=12, .尤2y2所求方程为厂12=1-【精要归纳】圆锥曲线的最值问题，常用以下方法解决：当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，可考虑利用数形结合法解；范围实质为一个不等式关系，如何构建这种不等关系？例2中可以利用方程和垂直平分线性质构建。利用题设和平面几何知识的最值构建不等式往往使问题简单化，回味本题的探究过程，认识解析几何中“形助数”简化运算的途径。.函数法是我们探求解析几何最值问题的首选方法，其中所涉及到的函数最常见的有二次函数等，值得注意的是函数自变量取值范围的考察不能被忽视。•・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・.利用代数基本不等式，结合参数方程，利用三角函数的有界性。【课后训练】1•已知P是椭圆丁+y2=1在第一象限内的点，A(2,0)，B(0，1)，O为原点，求四边形4OAPB的面积的最大值，一， 一…一尤2 y2 一、.2.给定点A(-2,2)，已知B是椭圆*+三=1上的动点，F是右焦点，2516当\A^+3|BF|取得最小值时，则B点的坐标为3.抛物线y2=2x上到直线x-y+3=0距离最短的点的坐标为(—1)x2y24.如图，已知A、B是椭圆7+9=1的两个顶点，16 9C、D是椭圆上两点，且分别在AB两侧，则四边形ABCD面积的最大值是12J2一一x2y2 ,5.如图所示，设点F，%是耳+板=1的两个焦点，过F的直线与椭圆相交于A、B两点，林F1AB的面积的最大值，并求出此时直线的方程。'vFAB'vFFA^FFB1 1，2 12A(x1，y1)BE，y2) ，则S =—|FFl・ly一y1=1y一yIVF1AB 212 1 2 1 2(Qc=1)设直线AB的方程为X=ky+1代入椭圆方程得小，〜 . -4k -4(2k2+3)y2+4ky―4=0ny+y=~~-,yy=~~-1 2 2k2+3 12 2k2+3

即1j-j1=坦52<：k2+1+寸k2<：k2+1+寸k2+1V腿/金3，2t+-（t>1）利用均值不等式不能区取“=”TOC\o"1-5"\h\zVFAB 11 2t+ tt・.・利用加=2,*（，21）的单调性易得在在=1时取最小值SVF^B在t=1即*=0时取最大值为433，此时直线AB的方程为x=16.P、Q、M、N四点都在椭圆x2j6.P、Q、M、N四点都在椭圆x2+土-=1上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点。已知PF与FQ共-— -— ——线，MF与FN共线，且PF-MF=0