广义积分的收敛判别法

第二节广义积分的收敛判别法上一节我们讨论了广义积分的计算，在实际应用中，我们将发现大量的积分是不能直接计算的，有的积分虽然可以直接计算，但因为过程太复杂，也不为计算工作者采用，对这类问题计算工作者常采用数值计算方法或Monte-Carl。方法求其近似值.对广义积分而言，求其近似值有一个先决条件一积分收敛，否则其结果毫无意义。因此，判断一个广义积分收敛与发散是非常重要的.定理9.1(Cauchy收敛原理)f(x)在［a,+8)上的广义积分f(x)dxa收敛的充分必要条件是：V£>0,存在A>0,使得b,bf>入时，恒有I"f(x)dxl<8证明：对limj+3f(x)dx=0使用柯西收敛原理立即得此结论.bT+8b同样对瑕积分ibf⑴dx(b为瑕点)，我们有a定理9.2(瑕积分的Cauchy收敛原理)设函数f(x)在鼠域上有定义，在其任何闭子区间［a,b-8］上常义可积，则瑕积分ibf⑴dx收敛的充要a条件是：vs>0,王〉0,只要0<门/<n<3，就有Iji/f(x)dxl<sb-n定义9.5如果广义积分j+叫f(x)Idx收敛，我们称广义积分j+"f(x)dx绝对收敛(也称f(x)在［a,+巾上绝对可积］;如卜f(x)dxa收敛而非绝对收敛，则称j+"(x)dx条件收敛，也称f(x)在［a,+8)上a条件可积.由于VA,A>a，均有IjA/f(x)dxI<jA/1f(x)IdxA A因此，由Cauchy收敛原理，我们得到下列定理.定理9.3如果广义积分卜f(x)dx绝对收敛，则广义积分卜f(x)dx必aa收敛.它的逆命题不一定成立，后面我们将会看到这样的例子。对其它形式的广义积分，类似地有绝对收敛及条件收敛的定义及性质.下面我们先介绍当被积函数非负时，广义积分收敛的一些判别法.比较判别法：定理9.4(无限区间上的广义积分)设在［a,+8)上恒有0<f(x)<加(x),(k为正常数)则当卜卬(x)dx收敛时，卜f(x)dx也收敛；当卜f(x)dx发散时，j+p(x)dx也发散.aa证明：由Cauchy收敛原理马上得结论成立.对瑕积分有类似的结论判别法定理9.5设f(x),g(x)均为［a,b)上的非负函数，b为两个函数的奇点，如存在一个正常数k,使0<f(x)<kg(x),Vxg［a,b),则如^bg(x)dx收敛，则^bf(a)dx也收敛。a a如^bf(x)dx发散，则^bg(x)dx也发散.aa比较判别法在实际应用时，我们常常用下列极限形式.定理9.6如果f(x),g(x)是［a,+s)上的非负函数，且lim竺)=1,则1+3g(X)⑴如果。<1<+3,且卜g(x)dx收敛，则积分卜f(x)dx也收敛.aa(2)如果。<1<+8,且卜g(x)dx发散，则积分卜f(x)dx也发散.aa证明：如果lim竺)=1壬0,则对于£〉0(1-£〉0)，存在A,Eg(X)当X>A时，0<1-£<f(x)<1+£g(x)即a)g(x)<f(x)<(1+£)g(x)成立.显然卜f(x)dx与a卜g(x)dx同时收敛或同时发散，在l=0或l=s时，可类似地讨论.a使用同样的方法，我们有定理9.7对以b为唯一瑕点的两个瑕积分^bf(x)dx与\bg(x)dx如果aaf(x),g(x)是非负函数，且lim =1,则当0<1<+s，且\bg(x)dx收敛时，则^bf(x)dx也收敛.aa当0<1<+s，且\bg(x)dx发散时，则^bf⑴dx也发散.aa对无限区间上的广义积分中，取j+3J_dx作比较标准，则得到下列axpCauchy判别法：设f(x)是［a,+s)的函数，在其任意闭区间上可积,那么:定理9.8若0<f(x)<£,p>1,那么积分卜f(x)dx收敛，如xp af(x)>—,p<1,则积分卜f(x)dx发散.xp a

其极限形式为定理9.9如limxpf(x)=l(0<l<+8,p>1),则积分A"f(x)dx收TOC\o"1-5"\h\zXT+8 a敛.如limxpf(x)=l,而0<l<+8,p<1,则j+8f(x)dxbs a发散.例9.8判断下列广义积分的收敛性⑴S+x)-二dxm z ~(2)J+8dx (m>0,n>0)11+xn解：(1)因为0<ln(1+!)-Lx1+x1 1 1<_— = x1+x x(1+x) x2由j+8由j+8_£dx收敛推出j+81ln(1+_)—xdx收敛.(2)因为limxn-m=1,所以当n—m>1时，积分xt+8 1+xnj+31Xmdx收敛.当n—m<1时，积分j+81Xmdx发散.对于瑕积分，使用卜―1—dx作为比较标准，我们有下列柯西判别a(x—a)p法.定理9.10设x=a是f(x)在［a,b)上的唯一奇点，在其任意闭区间上可积，那么

(1) 如0M(x)J(尤：Q) (c>0),p<1,则ibf(x)dx收敛.(2) 如f(x)Z一(c>0),p>1,则^bf(x)dx发散.(X—Q)P q瑕积分的Cauchy判断法的极限形式为定理9.11设lim(X—Q)pf(x)=kX—Q+如0<k<3,p<1,则^bf⑴dx收敛Q如0<k<3,p>1,那么^bf(x)dx发散.Q例9.9判别下列瑕积分的敛散性。dx⑴j1 dx⑴j1 0*(1—x2)(1—k2x2)兀dx(2)jL…0sinpxcosqx(1)1是被积函数的唯一瑕点(k2<1)(p,q>0)解：dx1.<+3：2(1—k2)i因为lim(1—x)2,xt1- (1—x2dx1.<+3：2(1—k2),i由p=知瑕积分收敛.4⑵0与1都是被积函数的瑕点.xpxp 1 =1sinpxcosqx先讨论j寸 dx ,由lim0sinPxcosqx xt0+知:当p<1时，瑕积分上 空 收敛；当p>1时,瑕积分知:0sinpxcosqxdx, 发散.dx, 发散.0sinpxcosqx兀dx再讨论——匹sinpxcosqx4因lim(——x)P \ =1-2 sinpxcosqx儿xT—2所以当q<1时，瑕积分J| —收敛，4当qn1时，瑕积分j2 空 发散.买sinpxcosqx4综上所述，当p<1且q<1时，瑕积分房―空—收敛；其他情况0sinpxcosqx发散.例9.10求证：若瑕积分j1f(x)dx收敛，且当xT0+时函数f(x)单调趋0向于+8，则limxf(x)=0.xT0+证明：不妨设VxG(0,1],f(x)n0,且f(x)在(0,1)上单调减少。已知j1f(x)dx收敛，由柯西收敛准则，有0V〉0,王〉0(5<1),V0<x<5有jxf(t)dt<£,x2从而x0<_f(x)<jxf(t)dt<s2x2或0<xf(x)<2s即limxf(x)=0.xT0+例9.11求证瑕积分j1 1 dx（人＞0）,当人＜1时收敛0[x（1一cosx）]人 3x3x3入(1—cosxVx3入 Ix2)=limXT0+ X3证明:■/lim=limXT0+［x(1-cosx)p51外=2'(1-cosx丫TOC\o"1-5"\h\z< x2/1 1所以当3入＜1时，即人＜_时，瑕积分收敛.当3*＞1,即人＞时，3 3瑕积分发散.前面讨论的是非负函数的反常积分的收敛性，为了能对一般函数的反常积分的敛散性进行讨论，我们先给出下面的重要结果.定理9.12(积分第二中值定理)设g(x)在［a,b］上可积，f(x)在［a,b］上单调，则存在笑［a,b］使fbf(x)g(x)dx=g(a)#f(x)dx+g(b)#f(x)dxa a a为了证明定理9.12，我们先讨论下列特殊情况.引理9.1设f(x)在［a,b］上单调下降并且非负，函数g(x)在［a,b］上可积，则存在c《［a,b］,使卜f(x)g(x)dx=f(a)jcg(x)dxa a证明：作辅助函数>(x)=f(a)fxg(t)dt,对［a,b］的任一分法aP: a=x<x<x<••・<x=b0 1 2 n我们有

\bf(x)g(x)dx-^\xif(x)g(x)dxa xi=l，t由此得到I\bf{x)g{x)dx-lLf{x)Lg(x)dx|7—10 i=l 土T=iZp；[/(%)-/(%)]g。)故iTOC\o"1-5"\h\zr i—1Z=1zTv工iy(x)-y(x)iig(x)idxY z-lA.1Z=l—IVlX®(/)Axi 1这里L是|g(x)|在［a,b］的上界，巧0)是/3)在1^，:J上的振幅，从T。时,应当有i z-lT。时,应当有这个估计式可知，当||尸||Hf(x)p,g(x)dx-\bf{x)g{x)dx'x.1 ai=l I我们来证明<maxv(x)x&[a,b]minv(x)V2f(x)hg{x)dxxe[a,b] -=1'T<maxv(x)x&[a,b]为此，引入记号G(x)二「g(ga并作如下变换TOC\o"1-5"\h\zEfCx)J%g(x)dxZ—Iyi=l —=Xf(x)[G(X)-G(x)]z-l i z-li=l=Xf(x.)G(x.)-Xf(x.)G(x)z_I i z—I 1i=l i=l

=§f(气JG(x)-另f(x)G(x)TOC\o"1-5"\h\zi=1 i=0=2f(x)G(x)—另f(x)G(x) (G(x)=G(a)=0)i—1 i ii 0i=1 i=1=2[f(x——1)—f(xt)]G(xi)+f(xn)G(x.)i=1因为fGJ—f(x)>0, f(x)>0,所以2f(x)fxg(x)dxi—1丫xi=1 1—1=2[f(x)—f(x)]G(x)+f(x)G(x)i—1 ii nni=1z{2[f(x)一f(x)]+f(x)}minG(x)

i=1 1 1 n xe[a,b]=f(a)minG(x)xe[a,b]同样可证2f(x)fxig(x)dx<f(a)maxG(x)i=1 11xi—1 xe[a,b]我们证明了不等式f(a)minG(x)<2f(x)fxig(x)dx<f(a)maxG(x)rtt i—1v ，-，-，xe[a,b] i=1 xi—1 xe[a,b]即minwxeminwxe[a,b](x)<2f(xi—1)fi=1xg(x)dx<maxwxi—1 xe[a,b](x)现令|p|T0,取极限，就得到minw(x)<fbf(x)g(x)dx<maxw(x)xe[a,b] a xe[a,b]

因此，存在ce［a,b］，使得w(c)=jbf(x)g(x)dx (因为w(x)在［a，妇上是连续函数)a证毕也就是jbf(x)g(x)dx=f(a)jcg(x)dx证毕aa下面我们证明定理9.12知，存在ce[a,b),使卜[f(x)-知，存在ce[a,b),使卜[f(x)-f(by]g(x)dx=[f(x)-f(b)]Fg(x)dxaa即jbf(x)g(x)dx=f(a)jcg(x)dx+f(b)jbg(x)dx,a a c对f(x)单调上升的情形，可作类似讨论.使用积分第二中值定理，我们得到下列一般函数的广义积分敛散性的判别法定理9.13若下列两个条件之一满足，则产f(x)g(x)dx收敛(Abel判别法)j+"f(x)dx收敛，g(x)在［a,3］上单调有界；a(Dirichlet判别法)设F(A)=jAf(x)dx在［a,3］上有界造(为在怛,8)a上单调，且limg(x)=0.xT+3证明：(1)Vs>0,设|g(x)|<M,Vxg［a,3),因j+3f(x)dx收敛，由aTOC\o"1-5"\h\zCauchy收敛原理，3A>a,使VA,A>A时，有0 1 0t 一£IjAif(x)dxl<a 2M由积分第二中值定理，我们得到

I「1f⑴g⑴dxI<Ig(A)I-1j"⑴公I+1g(A)I-1jAif(x)dxIA A 1 &<M,1j&f(x)dxI+M-1jAif(x)dxIA &<1+1=822再由Cauchy收敛原理知j+"f(x)g(x)dx收敛a(2)设M为F(A)在［a,+8)上的一个上界，则VA, Za,显然有IjAif(x)dxI<2MA同时，因为limg(x)=0，所以存在A0>a,当x>A0时，有g(x)g(x)l<84M于是，对VA,A1>A0有IjAf(x)dxI<Ig(A)I-1j&f(x)dxI+1g(A)I-1jAif(x)dxIA A 1 &<2M・Ig(A)I+2m-1g(A1)I<8+8=822由Cauchy收敛原理知j+8f(x)g(x)dx收敛a例9.12讨论广义积分j+8皂dx的敛散性，1xg(x)=cosx1解：令fg(x)=cosxf(f(x)单调下降且趋于零，则当x—+8时，F(A)=jAcosxdx=sinA—sin1在［a,8)上有界.1由Dirichlet判别法知j+8C0S*dx收敛，1x另一方面

Icos尤Icos尤I〉COS2尤尤1+cos2x2x因『m发散，，从而非负函数的广义积分:d发散由比较判别法知卜|COSx1dx发散，1x所以j+3COSxdx条件收敛1x例9.13讨论广义积分卜COSxarctanxdx的敛散性.1x解：由上一题知，广义积分卜色dx收敛，而arctanx在［a,+“)上1x单调有界，所以由Abel判别法知j+3COSxarctanxdx收敛。1x另一方面，当x口尸，+叫时，有|!°!^arctanxI〉|!°!^Ix x前面已证A"WSx1dx发散1x由比较判别法知卜|COSxarctanx1dx发散，所以

1xj+3COSxarCtanxdx条件收敛.1x对瑕积分也有下列形式的Abel判别法和Dirichlet判别法定理9.14若下列两个条件之一满足，则jbf(x)g(x)dx收敛：(b为唯a一瑕点)(Abel判别法)jbf(x)dx收敛，g(x)在［a,b)上单调有界a(Dirichlet判别法)F(n)=jif⑴dx在［a,b)上有界，g(x)在a(0,b-a］上单调，且limg(x)=0.x—b—证明:⑴只须用第二中值定理估计jb-n/f(x)g(x)dxb-n读者可以仿照定理11.2.8⑴的作法完成⑴的证明.(2)读者可以仿照定理11.2.8(2)的作法完成(2)的证明..1rsin_例9.14讨论积分jfdx (0<p<2)的敛散性解对于0<p<1,因为*xp xp由j】J_dx收敛知0xp1fsin_j1 xdx0xp绝对收敛敛对于0vp<2,因为函数f(x)=x2-p,当x—0+时单调趋于0,而函数1sin_g(x)=—xx2满足

所以积分.1

sin_J1 xdx所以积分.1

sin_J1 xdx门xp<1cosl-cosJ_!<2sin! sin£J1 xdx-J1x2-p xdx收敛.但在这种情况下，是发散的,2cos_x.1sin—xxpsin2_>__x=」TOC\o"1-5"\h\zxp 2xp 2xp2 11 cos sin—因J1一dx发散，J12*dx收敛，知J]——x从而当0<p<2时，积分条件收敛.最后我们讨论p=2的情形,因为x 1J1 xdx=cos1-cos—.1sin_当门—o+时，上式无极限，所以积分JX^xrdx发散.值得注意的是，两种广义积分之间存在着密切的联系，设ibf(x)dx中x=a为f(x)的瑕点，作变换y=」—，则有a x一a1f(a+-)ibf⑴dx=j+「 Ldy,而后者是无限区间上的广义积分.a土 y2b-a习题9.21、 论下列积分的敛散性(包括绝对收敛，条件收敛，发散)⑴卜lnlnxsinxdx；2lnxj+3sinx2dx；0兀1 ,上 : dx；0C0S2xSin2x1Inx,J1dx；0x2—1J1x^-1(1一x