平面向量基本概念与运算法则

平面向量基本概念与运算法则（含基础练习题）

平面向量1数量和向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向、大小，不能比较大小。向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母a,b等表示；③用有向线段的起点与终点字母表示：疝；向量AB的大小一一长度称为向量的模，记作I~AB|。有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，三要素：起点、方向、长度。向量与有向线段的区别：（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，这两个向量就是相同的向量；⑵. ''有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向，也是不同的有向线段。零向量、单位向量概念：长度为0的向量叫零向量，记作0。……®长度为1个单位长度的向量，叫做单位向量。说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小。相等向量的定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量。说明：（1）向量a与b相等，记作a=b；⑵ 零向量与零向量相等；并且与有向线段的起点，⑶ 并且与有向线段的起点，任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示无关。6.平行向量的定义：方向相同或相反的非零向量叫平行向量；…®我们规定0与任一向量平行。说明：（1）综合①②才是平行向量的完整定义;⑵―一向量a、b、c平行，记作a//b//co二、向量的运算法则向量的加法某人从A某人从A到皿再从B到C，则两次的位移和:AB+BC=AC；(1)向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。⑵一… ''三角形法则：a+b=AB+BC=AC⑶一 四边形法则：a+b=OA+OB=OA+AC=OC练习：化简(1)(AB+BC)+CD(2)(AB+MB)+BO+OM(3)OA+OC+BO+CO向量的减法⑴)相反向量：与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作-a。—(-a)=a；―任一向量与其相反向量的和是零向量，即：a+(-a)=(-a)+a=0;③如果a,b是互为相反的向量，则：a=-b,b=-a,a+b=0。⑵向量的减法：向量a加上b的相反向量，叫做a和b的差。即a-b=a+(-b)向量减法法则：两向量起点相同，则差向量就是连结两向量终点，指向被减向量终点的向量。心 — 注意：①起点相同；②指向被减向量的终点。练习：(1)AB-AC(2)OD-OA(3)oA-OD+AD(4)AB-AD-DC例1.平行四边形ABCD中，AD=a,AB=b,用a、b表示向量AC,DB。例2.已知一点O到平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的向量分别为a、b、c，试用向量a、b、c表示OD。3.向量的数乘运算实数＞1与向量。的积是一个向量，记作2a,它的长度和方向规定如下：|万|=|人|由|；当九＞0时，九｛的方向与U的方向相同；当so时，人，的方向与｛的方向相反；特别的,当4=0或。=0时，Aa=0o注意：实数人与向量。，可以做积，但不可以做加减法，即/1+U,/1・4是无意义的。实数与向量的积的运算律：设U、云为任意向量，A,日为任意实数，则有：①4("。)=(///)«；(^)(A+jn)a=Xa+pia电)4(。+片)=人々+4片例1.计算(1).(—3)x4tz； (2).3(。+Z?)—2(tz—Z＞)—q； (3).(2q+3b—c)—(3。一2b+c)例2.计算(2).2(2。+6b-3c)一3(—3。(2).2(2。+6b-3c)一3(—3。+4力一2c)结论：向量片与非零向量4共线，当且仅当有唯一一个实数人，是的b=Aao例3.向量1二。］—勺,力=—2。］+2e2是否共线？例4.平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，且AB=«,AD=b，你能用a,b表示MA,MB,MC,MD吗？二、向量运算法则的应用向量的加法、减法、数乘运算统称为响亮的线性运算，对任意实数从七、七，恒有人(日a+(b)=人日a+人日b。1 2 1 21.有关向量共线问题例1.已知向量a、b满足＜a^3L一a^L=l(3a+2b)，求证：向量a和b共线。5 2 5例2・已知AD=3~AB,DE=3BC，试判断AC与~AE是否共线？定理的应用：.有关向量共线问题；.证明三点共线：AB=XBC(BC。0)—A、B、C三点共线；.证明两直线平行问题。例3.已知任意两个非零向量a、b，试作oa=a+b,oB=a+2b,oc=a+3b，你能判断A、B、C三点间的位置关系吗？为什么？例4.在四边形例4.在四边形ABCD中,梯形。aB=a+2b,BC=-4a-b,CD=-5a-3b，求证：四边形ABCD为D.i=ji==ii=ji==ia—b—c一 一 一3.（如图）在平行四边形D.i=ji==ii=ji==ia—b—c一 一 一3.（如图）在平行四边形中，下列正确的是（）.ABCDA一一B一一一•AB=CD B・AB—AD=BDC.一一一D.一——AD+AB=AC ^AD+BC=0A.AB B・bac.ACD.函5.化简op—qp+ps+sp的结果等于（）是①④£AB=Xa+bAC=a+^b仅当（浦，A、B、C三点共线-（A）X+日=1（B）X一日=1（C）人旦=—1（D）人旦=1高中数学必修4同步练习（2・1-2.2平面向量的概念及线性运算）姓名班级学号一.选择题（每题5分）设方是一的相反向量，则下列ba说法错误的是（）A-与习的长度必相等B.ab—ra=b■C.T与T一定不相等ab是t的相反向量b已知一点。到平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的向量分别为一、广-，则向量OD等于（广°A.一"B.一—C.一厂 D.a+b+c a—b+c a+b~c

A、B、C、D、、QP、OQ^SP、急（拓图）在正六边形ABCDEF中，点。为其中心，则下列判断错误的是（）AB一〃一AB=OCABDEC|AD|=|BE|Dad=FC下列等式中，正确的个数（）-rr-②'…③人--a+b=b+aa~b=b~a0—a=—a一一⑤一一—（—a）=aa+（—a）=05B.4C.3D.2在^ABC中,ab=/衣=b，如―a―果用，那么^ABC一定是（）.A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.钝角三角形在AABC中，奸aF=b，则AB等于（）A・£B・「C・「D.a+b —（a+b） a—bb—a已知、、是不共线的向量，ab一，一（、），当且AB—人a+bAC=a+pb、人reR二・填空题（每题5分）

把平面上一切单位向量归结到共同的始点,那么这些向量的终点所构成的图形是 ABCq的两条对角线相交于点肱,且而=a,AD=b，则m=—— ,MB= ,MC= 'MD=—

在四边形ABCD中有AC=AB+AD，则它的形状一定是\已知四边形ABCD中,AB=-DC,且ABCD的形状是A^|=|就|则四边形19.化简.(AC-DP+BA)+(CP-BDA^|=|就|则四边形II三」|==|已知向量&和b不共线，实数.满足一-一-.y (2x—y)a+4b=5a+(x—2y)b'则x+y=

在^ABC中，设而一，瓦£,BC=aCA=b则一二AB l=JL==lDA在l=JL==lDA在ABCD中，而标尸则

ejABCD AB=a,AD=bAC—化简：①一一一AB+BC+CD= ；AB-AD-DC= ————(AB-CD)-(AC-BD)— 化简下列各式：⑴" AB+DF+CD+BC+FA= (2) 、--A—'z(AB+MB)+(BO+BC)+OM= .

三.解答题（每题10分）21.某人从A点出发向西走了10m,到达3点,然后改变方向B按西偏北60。走了15m到达C点,最后又向东走了10米到达D点.⑴作出向量AB'BC，CD（用1Cm长线段代表10m长）；（2）求

如图,在梯形abcd中,对角线AC和BD交于点”E、F分别是AC和如的中点，分别写出/1C BD(2)与函相等的向量.EAl=J(1)图中与EF、CO(2)与函相等的向量.EAl=J

的夹角为30。；⑵时=4,a的方向与,轴正方向的夹角为3°,与y轴正方向30。y的夹角为.0。；⑶a=康,a的方向与X轴正方向的夹角为135，与"轴正方向135。 y的夹角为135。.在直角坐标系中,画出下列向量:i=j(1)[a|=2,a的方向与x轴正方向的夹角为60。，与y轴正方向

在AABC所在平面上有一点P, ABCD中，点M是AB边中点，点N使得PA+PB+PC=AB，试判断p点 在BD上且BN=1BD，求证：M、C三点共线.的位置・ 3C三点共线.如图所示,在平行四边形AC北CDCDAC北CDCD参考答案一选择题(每题5分)■TOC\o"1-5"\h\zCBCBBDCABD二.填空题(每题5分)圆.-1(a+b),1(a-b)/1(a+b)91(b-a)乙 乙 乙 乙13.1①芯；©岳®0⑴0⑵16・ ,--a+ba-b平行四边形等腰梯形19.o20.―君-a-bB(2) AB=-CD，故四边形ABCD为平行四边形,...