巫合贤博弈论

©Prof.Ho-MouWu巫和懋10/25/2003©Prof.Ho-MouWu巫和懋10/25/2003讯息与策略经济学

第1章完全讯息静态赛局TOC\o"1-5"\h\z1.1经济理论、讯息与策略分析 1-11.2完全讯息静态赛局的表示与求解 1-31.2.1常见的几个赛局型态 1-3静态赛局的策略式表示法 1-41.2.3优势策略均衡 1-51.2.4纳什均衡 1-61.3混合策略均衡与均衡存在性 1-61.3.1混合策略的涵义 1-6一般的存在性定理 1-91.4赛局分析在寡占市场之应用 1-91.4.1数量竞争 1-91.4.2价格竞争 1-131.5实例与应用：大减价模型 1-151.6实例与应用：产能与寡占竞争 1-161.7小结 1-18练习题 1-19参考文献 1-201.1经济理论、讯息与策略分析「经济理论」就是具体而微的经济模型(Model)对模型本身的要求：内部一致性(InternalConsistency)假设之必要性(ParsimonyofAssumption)模型与现实(Reality)之间的关连：我们要了解模型到底说明了什么？有什么用处？(Usefulness)在学习经济理论过程中，要了解模型是怎么做出来的，也不要忘了对经济理论这两点要求。希望培养自己读期刊文献的能力，知道各种理论的优劣(养成判断的能力)，进而发挥来作自己的模型。这种训练对一个「经济学家」的养成非常重要，也就是所有经济领域的基础课程。经济社会内涵众多的消费与生产单位，彼此之间又有紧密的关连。相应于此，经济理论也有两大分析原则:极大化原则(Optimality):参与者追求效用或利润之极大，由此导出最适策略。均衡原则(Equilibrium):经由互动，参与者之间达到某种均衡状态。又依经济环境的不同，而有两类均衡观念。完全竞争市场结构下采用瓦拉斯均衡(WalrasianEquilibrium)或称一般均衡(GeneralEquilibrium)o而在寡占或不完全竞争结构下采用赛局的均衡观念，考虑的多属不合作赛局(Noncooperativegames)。赛局依讯息型态来分类讯息结构可分为完全讯息与不完全讯息二种：赛局依其讯息结构与出招互动之过程可以区分为下列四种，均衡观念有：.NashEquilibrium(NE):Nash(1951).SubgamePerfectNashEquilibrium(SPNE):Selten(1965).BayesianNashEquilibrium(BNE):Harsanyi(1967,68).PerfectBayesianNashEquilibrium(PBNE),SequentialEquilibrium(SE)：Selten(1975)、Kreps-Wilson(1982)、Fudenberg-Tirole(1991)完全讯息 不完全讯息静态纳什均衡(NE)贝氏纳什均衡(BNE)动态子赛局完美纳什均衡(SPNE)完美贝氏纳什均衡(PBNE)或序列均衡(SE)

1.2完全讯息静态赛局(StaticgameswithCompleteInformation)的表示与求解1.2.1常见的几个赛局型态:Duopoly双占1Maxn(X,X)nX受X影警要考虑2的行舄nX亦然，1舆2互勤X1 一理性(Rational)n策略性思考(Thinkstrategically)n均衡囚犯困境(Prisoner’sDilemm同时出招2不认罪认罪高价低价一般情况不认罪-1,-1-8,0 高价认罪0,-8-5,-5 低价10,102,15c,ca,d15,25,5d,ab,baVbVcVd上面的囚犯困境也适用在某些双占情况两性战争(BattleofSexes) 交通秩序男 2

飚车族(GamesofChicken)2协调赛局(CoordinationGame)2猜拳(5)钱币配对飚车族(GamesofChicken)2协调赛局(CoordinationGame)2猜拳(5)钱币配对(MatchingPennies)2剪刀0,0-1,11,-11石头1,-10,0-1,1布-1,11,-10,02剪刀石头布(6).沙滩卖冰：在充满泳客的海滩上(以〔0,1)表示)，有两家冰店进驻，你若是冰店经理，应选在何处设店？0 1/41/2 3/4 10 1/41/2 3/4 11.2.2静态赛局的策略式表示法以上同时出招的赛局，称为静态赛局。这些赛局也同时具有 完全讯息(CompleteInformation),因为参赛者都知道自己与对手的策略及相应报酬。参赛者同时出招，又知道所有参赛者的策略和报酬的赛局就是完全讯息静态赛局(StaticGameswithCompleteInformation)，可用正例程(NormalForm)或策略式(StrategicForm)表示方法。赛局r=(N,(S),"(U)")的策略式包含三要素：⑴参赛者(players)：,eN={1,2,3,•……(2)策略(strategies)：s.e§=setoffeasible(pure)strategiesforplayeri,ieN策略组合(strategyprofile)s=(s, ,s)=(s.,s.),s=XS.对手的策略。'dr/ '1 nxf-i^-i J⑶报酬(payoffs)：U=U.(s.,七)：XS.-沉为报酬或效用函数。JeN策略式表示的完全讯息静态赛局有几点特性：,同时出招，出招一次。(Determinestrategiessimultaneously),知道赛局结构与游戏规^"(Rulesofthegame)f共同认识(Commonknowledge)o，不管是否沟通过，无法作出有拘束力之承诺(can’tmakebindingcommitment)f不合作赛局(Non-cooperativegames)。,以上只考虑纯粹策略(purestrateg后面会考虑混合策略(mixedstrategy)先看些两人赛局(Two-Personsgame)的例子：下表方格中数值u1代表参赛者1的报酬，u2代表参赛者2的报酬。21.2.3 优势策略均衡(DominantStrategyEquilibrium,DSE)优势策略(dominantstrategy)：不管对于策略为何，该参赛者可找到一最佳策略。Itisabestresponseagainstanyactiontheopponentmighttake。「认罪」是囚犯的优势策略:不管对于认或不认，任一囚犯承认均可得到较高的报酬。定义：绝对劣势策略(strictlydominatedstrategy)：S1是一绝对劣势策略若且唯若存在另一策略s.’eS.使得u.(s.,s.)Vu.(s.’,s.)对所有seS.均成立。(但s.’未必是优势策略)i ii-iii-i -i-i i重复优势解法(IteratedDominance)：逐次删去劣势策略(dominantstrategy)，但对两性战争、飚车族与钱币配对等问题就无法解出。考虑以下二个例子：

2,30,23,41,12,-72,30,23,41,12,-74,51YMRUDU4,35,16,21M2,18,43,6D3,09,62,82LMR只要存在一个si使Sz.成为劣势策略，s.即可删去。共同认识(Commonknowledge):1也知道2不会再采1，以此为基础再往下推论…。1.2.4纳什均衡(NashEquilibrium)定义：纳什均衡指一策略组合有以下特性：当参赛者采此策略组合后，任一参赛者均无诱因偏离此一均衡(NashEquilibriumisastrategyprofilesuchthatnoplayercanimprovehis/herpayoffbyunilaterallydeviatingfromhis/herassignedrateinthestrategyprofile)；s*=(s*,s*,.....s*)=(s.*,s.*)是一纳什均衡若且唯若对所有参赛者i而言，1 2ni-iu.(s.*,s.*)Mu.(s.',s.*)对所有s.WS.均成立。另一种等值的意义：当s另一种等值的意义：当s1*是对就是两人赛局的纳什均衡。s2*的最适反映，s2*也是对s1*的最适反映时，(s「,s2*)回头来看两性战争、飚车族、协调赛局均有均衡解(NE)，但对钱币配对就找不到。以上考虑的是纯粹策略(purestrategies)szeSz。在允许混合策略(mixedstrategies)以后，钱币配对及猜拳赛局才有解。''混合策略o=(o”.....Q),o.eZ =<(o.(s.))|Zo.(s.)=1,o.(s.)>0>TOC\o"1-5"\h\z1 ni i ii， ii iiI seS ,策略表示法成为r=(n,(zi)ieN,(Ui)ieN)，当参赛者与策略数目均为有限时，称为有限赛局。 "1.3混合策略均衡(MixedstrategyEquilibrium)与均衡存在性1.3.1混合策略的涵义考虑钱币配对：Z1=1。(H),。(T)|o(H)+。(T)=1,。(H)>0,。(T)>0}H正面；T反面。对a的诠释：(1)队参赛者选％的信念，(2)频率。定义：。*二6《，…，。；)=(。*,。、)是一『纳什混合策略均衡』若且唯若对所有参赛者i而言，6*是6二的最适反应，U.(6*,6\)MUi(6；,6*.)对所有6ieZ.均成立。采混合策略的前提是在均衡时，两种策略的报酬会相等：61(H)-61(T)=-61(H)+61⑴而且61(H)+61(T)=1n61(H)=61(T)=0.5同理，62(H)=62(T)=0.5允许混合均衡策略后，在飚车族赛局中也可能找到新的均衡(习题)两性战争(BattleofSexes)1,20,00,02,1球赛q音乐会1-q男球赛 音乐会p 1—p给定(q,1—q)，男子的报酬是2q或(1-q)若2q=(1—q)nq=1/3则两策略的报酬相同。'若qV1/32qV(1—q)，则p*=0是最适反应。、对男子来说<若q=1/3，则p*=0到1是最适反应。 >、若q>1/3则p*=1是最适反应。 ，给定(p,1—p)，女子的报酬是p或2(1—p)若p=2(1—p)fp=2/3则两策略的报酬相同。r 、若pV2/3pV2(—p)，则q*=0。对女子来说<若p=2/3则q*=0到1。、若p>2/3p>2(1—p)，则q*=1，得到q*(p)是最适反应函数。

1.1.AQ1.2Q°IMg'p*=p*(q)最适反应函数〈q*=q*(p)三均衡(p*,q*)=(0,0),(2/3,1/3),(1,1)f(p)：[0,1]f[0,1],可用Kakutani’不动点定理来证明具有不动点(fixedpoint)。上列图形可穷尽所有可能均衡。其实，因为f：pfqfp,我们是在找一不动点(fixedpoint):p*=f(p*)。Mappingf是一对应(correspondence)r 一0=p<2/3fq=0fp=0'p=2/3fq=0到1fp=0至01、p>2/3fq=1fp=11.3.2—般的存在性定理Kakatani’S不动点定理：LetXbeacompactconvexsubsetof沉1andf：XfXbeaset-valuedfunctionsuchthatforallxeXthesetf(x)isnonemptyandconvex,andthegraphoffisclosed(i.e.,ifxnfx,ynef(xn),ynfythenyef(x).),thenthereexistsx*suchthatx*ef(x*).Theorem1.1(Nash,1950,1951):若允许混合策略均衡，每个有限的策略式赛局都有纳什均衡存在。1.4赛局分析在寡占市场(oligopoly)之应用1.4.1数量竞争(QuantityCompetition)市场需求P=30-(Q1+Q2),MC1=MC2=0，两家公司分别选取Q1与Q2:需求P=a-bQ，则MR=a-2bQ独占厂商给定Q2,选取Q1以求取n1=(30-(Q1+Q2)h最大，n1=30Q1-Q2-Q1Q2（1）MR]=30-Q2-2Q]=0=MC,P=（30-Q2）-Q1,MR=（30-Q2）-2Q1nQ1nQ1=15-|q2=f坎）：Q1对Q2的最适反应函数（bestresponsefunction）给定q1，选取q2以求取n2=G°-^Q1+q2))q2最大（2）MR2=30-Q1-2Q2=0, 1）v 2Q1JnQ*=Q；=10nq2=15-:Q]=g^Q1）：Q2对Q1的最适反应函数（bestresponsefunction）, 1）v 2Q1JnQ*=Q；=10总需求为P=M—Q独占时MR=M—2Q=MC=0nQ*=|m双占时 MR1=M-Q2-2Q1=MC=0nQ1=1（M-Q2）=f坎）：1的最适反应MR2=M-Q1-2Q2=MC=0nQ2=-（M-Q1）=g0）：2的最适反应Cournot-Nash均衡：Q：=Q2=与，总产量Q=|m数量竞争的库诺模型(CournotModel)MMM32Q2MMM32Q21.3Cournot请注意Cournot竞争并不适用Theorem1.1，因为它不是有限赛局(为什么？),但好在我们可引用下列定理:Theorem1.2(Debreu1952):若策略形式赛局的策略空间S.是欧式空间的非空、紧致(compact)的凸集合(convexsubsets)，而且报酬函数u.是s的连续(continuous)的函数，是输的近凹(quasi-concave)函数，则此赛局必然存在一个纯粹策略纳什均衡。数量竞争的StackelbergModel(Firm1astheleader):其实是一动态赛局(DynamicGame)R]=(M-Q1-Q2b]，takeQ2=g(Q1)asgivenTOC\o"1-5"\h\z=MQ1-Q2-qJM-Q1、

\2 2MMMR=M-2Q——+Q=——Q=MC=02 1 2 1MM、一3nQs=M，Q2='M，总产量Q=；M1 2 2 4 4□1〉n2:先动有优势(FirstMoverAdvantage)Stackelberg模型H1.4Stackelberg模型H1.4数量竞争的库诺模型(CournotModel)总需求为P=M-Q独占时双占时… —8 …c八*1—独占时双占时（CollusionEquilibrium）MR=M-2Q=MC=0nQ=—MMR1=M-Q2-2Q1=MC=0nQ1=2（M-Q2）=f坎）MR=M-Q-2Q=MC=0nQ=-（M-Q）=g（Q）2MCournot均衡：Qj=Q；=—数量竞争还是价格竞争才是较佳模型？可参看数量竞争还是价格竞争才是较佳模型？可参看KrepsandScheinkman(1983).1.4.2价格竞争(pricecompetition)同质产品下的价格竞争(PriceCompetitionwithHomogeneousProducts)(又称为BertrandModel):伯川模型MC=6,P=30—QCournot模型以数量竞争：MR1=30-Q2-2Q1=6Q1=12-1Q2=fG2)同理，Q2=12-|q1=g(Q])所以，Q：=Q2=8,P=14Bertrand模型以价格竞争：qJall if，Pi<Pji]nothinif,Pi>PjQi=Qj ifP.=Pj,均衡点在P1=P2=6,Q=24Why?异质产品下的价格竞争(PriceCompetitionwithDifferentiatedProducts)第一家公司Q1=12-2P1+P2，第二家公司Q2=12-2P2+P1，两家公司分别选取P1与P2:给定P2，选取P1以求取n1=(12-2P1+P2h-FC最大12-4P]+P2=0nP1=3+，P2=fG2):P1对P2的最适反应函数(bestresponsefunction)给定P1，选取P2以求取n21=(12-2P2+P*2-FC最大12-4P2+P1=0nP2=3+4P1=g^P1)：P2对P1的最适反应函数(bestresponsefunction)两个最适反应函数的交点就是「纳什均衡」(NashEquilibrium):1P=3+-3+—P1 41.7.§e~®®uv§1.5实例与应用：大减价模型A.策略思考：1988年三大百货公司Sears,KMart与Wal-Mart竞争激烈，Sears举行多次大减价，但成效不佳，至1989年Sears宣布采用新的定价策略：「每天都低价」(EverydayLowPrices)。换言之，Sears决定维持稳定价格，价格虽然合理，但比以前大减价的价格要来得高，请问Sears的决策是否明智？它的对手又应采何种策略？假设二家相似的百货公司，对同一商品的成本均为450元，稳定价格600元，大减价时500元。另观察到每月无信息的消费者有100人，不看报纸不查价格，选百货公司也完全随机，所以二家可各分得一半，另外，有信息的120人是会去二家比较价格或查报纸减价广告，找到最低价格才购买。放入赛局架构可表示如下：WalMart稳定价格 大减价Sears稳定价格大减价7500,75007500,85008500,75005500,5500上图计算背景：Sears与对于均采稳定价格，二者均可赚(600-450)X50=7500。任一家大减价而对于未减价可赚(500-450)X(50+120)=8500，未减价的一家公司仍可赚(600-450)X50=7500。两家都大减价：各赚(500-450)X(50+60)=5500。把这二家对垒的四种情况表示出来就是一个赛局：有参赛者，有策略，有报酬。此时，从此矩阵可否找到最适策略？B.Sears「每天都低价」策略存在二个纯粹策略纳许均衡，高价低价并存，但那一个均衡会发生？Sears采稳定价，对于采大减价，对于成长，Sears是否会满意？双方都想找最有利的结果(8500)，若Sears更动策略，可否达成另一均衡？若Sears长久维持稳定价，待全部人(包含无信息的100人)都知道后，这样的价格差异是否可以维持下去？如果消费者都去Wal-Mart，利润下降到零，像是第二图的报酬，成「囚犯困境」。WalMart稳定价格q大减价1-qSears稳定价格p7500,75007500,8500大减价1-p8500,75005500,5500WalMart稳定价格q大减价1-qSears稳定价格7500,75000,11000大减价11000,05500,5500C.EverydayLowPricesvs.RandomSales考虑混合策略均衡，Sears使对于从二种策略所得报酬相等pX7500+(1—p)X7500=pX8500+(1—p)X5500p=2/3,同理q=2/3,双方利润均为7500。此纳许均衡中，Sears与Wal-Mart都采1/3机会大减价(1年中有4个月时间在减价)：「随机而且出人意表的大减价」比「每日都低价」来得好和稳定，Sears强调每日都有稳定价格反而放弃了公司可采混合策略(有时减价)的弹性。Sears1998年的失败可能是大减价太过频繁，未采用一适当的大减价机率。1989至1990年中采一稳定价格(减价频率又太低)也未增进业绩，于1990年末重回有时减价的策略pricingcycles.混合策略均衡利于造成「差别取价」(pricediscrimination):不查报纸的消费者永远不知那家当时是最低价，有12机会到一家不减价的百货公司，他们必须付出高价，支持了此种混合策略均衡。参见H.Varian,“AModelofSales,"AmericanEconomicReview,19801.6实例与应用：产能与寡占竞争A.策略思考：1972年美国玉米加工业看到HFCS(HighFructoseCornSyrup)可用来代替糖，但比糖便宜甚多。预期未来对HFCS需求大增，十^一家主要厂商都打算增加产能(capacity)，在此寡占产业中如何寻找最适产能决策？作决定过程中需要考虑那些因素？M.PorterandM.Spence(inTheEconomicsofInformationandUncertaintyed.ByJ.McCall,1982,NBER)应用赛局理论来分析此产业。随机需求与糖价个别厂商的产能决策模型决定价格利润及产能使用率随机需求与糖价个别厂商的产能决策模型决定价格利润及产能使用率各个产能决策带来的现金流入B.分析架构(A) 产业的产能扩充途径厂商偏好导出整个产业的产能扩 选择最适产能(B)充途径当(A)=(B)时才达到均衡上例寡占产业中厂商决策的分析过程：找出需求与糖价的各种变化情况(Scenarios);预期竞争对手的产能决策(对于产能加总即可)情况；找出厂商本身产能选择的几种方案；对以上各种变化情况赋予合理的概率；找出对各种产能方案的报酬，决定本身的最适产能规模；取得各厂商的产能决策，再验证是否与(2)的假设相符合，预期被验证时才达到「均衡」。C.PorterandSpence的预测结果19731974197519761976之后产能总增量实际产能0.61.01.42.249.2(billionsoflb.)预测产能0.61.53.53.509.1实际的调节较慢，但产能总增量还蛮接近的。PorterandSpence说明了Cournot-Model和纳许均衡在实用上也有相当价值。1.7小结策略思考的几点原则：互动时要先在对手的角度思考，再反思自己的最佳策略。(Puttingoneselfintherival’sposition)在时点上要向前展望，再以逆推法寻找今天的最佳策略。(Lookforwardandreasonbackward)。如果自己有优势策略，即可采用之。如果对于有优势策略，应即认定对于会采用，再依之决定自己最佳策略。如果双方均无优势策略，可先寻找劣势策略，删除后再考虑。最后，考虑纳许均衡策略。如果找不到纯粹策略纳许均衡，就应考虑如何采用混合策略。而且，混合策略有时是较佳的策略。练习题1.1请找出剪刀、石头、布的猜拳赛局之纳什均衡。1.2请找出沙滩卖冰赛局的均衡，并证明它是一个纳什均衡。如果有三家冰店，是否能找到均衡？1.3请找出飚车族赛局的所有纳什均衡。请以最适反应函数及不动点