气体输运系数的导出

热学

气体黏性系数的导出主讲：孔红艳

陕西师范大学物理学与信息技术学院§3.8气体输运系数的导出

前面我们已介绍过气体输运现象的宏观规律,并说明气体的黏性、热传导及扩散来源于不均匀气体中的无规热运动.在交换分子对的同时分别把分子原先所在区域的宏观性质（动量、能量、质量）输运到新的区域.本节将利用分子碰撞截面及分子平均自由程来导出气体输运系数的表达式。

◆所讨论输运过程的适用条件:(1)这里的“输运过程都是近平衡的非平衡”过程,空间不均匀性（如温度梯度、速度梯度、分子数密度梯度）都不大.因而不管分子以前的平均数值如何,它经过一次碰撞后就具有在新的碰撞地点的平均动能、平均定向动量及平均粒子数密度.(2)在这里所讨论的气体是既足够稀薄（气体分子间平均距离比起分子的大小要大得多,这是理想气体的特征）,但又不是太稀薄（它不是“真空”中气体的输运现象,“真空”中气体的输运现象将在下一节讨论）.§3.8.1气体黏性系数的导出一.气体的黏性系数在层流流体中,每个分子除有热运动动量外,还叠加上定向动量.因为热运动动量的平均值为零,故只需考虑流体中各层分子的定向动量.设想有一与定向动量方向平行,与z轴垂直的某一中性平面,它的z轴坐标为z0.如图所示。2.若再假设所有从上面（或从下面）穿越z0平面的分子,平均说来都分别是来自

则:1.在t时间内从上方穿过

z0平面上的面积元向下运动的平均分子数为:假定有n/6个分子向z0方向运动,每个分子以平均速率运动。3.将上面的两式相减即得从下方通过z0平面面积向上方净输运的总动量:4.该式除以t即得z0平面内的切应力,即黏性力:5.考虑到在近平衡的非平衡条件下,气体定向运动的速度梯度ux/z较小,另外气体的压强也并非很低,因而分子平均自由程并不很大,这说明在z方向间距为平均自由程的范围内,定向速率的变化ux与ux相比小得多,因而可作泰勒级数展开并取一级近似有:

将它们代入f中可得:6.将上式与牛顿黏性定律比较可得:利用气体的密度

=mn的关系,上式可以表示为:二.讨论:1.

与

n无关:和由可以得到:(2)气体的黏性系数在温度一定时与n(或P)无关这一特性首先由麦克斯韦于1860年得出,并由他在实验上加以证实.2.仅是温度的函数:若认为气体分子是刚球,有效碰撞截面=d2为常数.将气体分子平均速率公式代入中可得:说明:与T1/2成正比.(1)若n加倍,确实在z0平面上下之间交换的分子对数加倍.但因平均自由程也减半,它只能输送离z0平面上下距离分别为处的定向动量,这样净动量的输运率仍不变.3.利用可以测定气体分子碰撞截面及气体分子有效直径的数量级。在三个输运系数中,实验最易精确测量的是气体的黏性系数,利用黏性系数的测量来确定气体分子有效直径是较简便的.4.黏性系数公式的适用条件为:(L为容器的线度)对于稀薄气体:它的输运性质将在下一节讨论.5.采用不同近似程度的各种推导方法的实质是相同的.上面对的推导中采用了如下近似:①利用气体分子碰壁数公式;②平均说来从上（或下）方穿过z0平面的分子都是在上下分别相距平均自由程处经受一次碰撞的；③未考虑分子从上（或下）方穿过z0平面时的碰撞概率.实际上,即使是更为严密细致的推导,其中仍有一定的近似,其结果与实验仍有一定差别,更深层次的讨论要利用非平衡态统计,其数学处理要复杂得多.所有不同层次的各种推导方法的实质都是相同的,所得结果其数量级一致.对于初学者来说,应该首先关心输运系数与哪些物理量有关？它的数量级是多少？至于公式中的系数,在不影响数量级的情况下是次等重要的.

热学

气体热传导系数和扩散系数的导出主讲：孔红艳

陕西师范大学物理学与信息技术学院§3.8.2气体热传导系数与扩散系数的导出

一.气体的热传导系数1.推导:气体热传导是在分子热运动过程中交换分子同时所伴随的能量传输,其讨论方法与上节类同.不同仅是在z轴方向不存在定向运动速率梯度,而存在温度梯度.现假设在及处的温度分别为:若温度梯度数值较小,就可假定恰在离开z0平面上下一个平均自由程距离处碰撞过的分子的平均动能仅与在碰撞处的温度有关,它们的温度分别为:这样,在z0平面上交换分子对的同时也交换了热运动动能,因而产生了热量的输运.在单位时间内,在单位截面上交换的分子对数为:因而单位时间内,在单位截面上流过的热量为:即:或者:(1)因为理想气体内能就是热运动能量,而理想气体定体摩尔热容量为:代入(1)式得:(2)将(2)式与傅里叶定律对照:可得:利用

=mn关系,可以得到气体热导系数:可见:刚性分子气体的热导率与数密度n无关,仅与T1/2有关。2.气体热导系数讨论

(1)在热导率公式推导中没有考虑到,由于温度梯度不同,会在离开z0平面上下平均自由程处会发生气体分子数密度差异及平均速率的差异,故前面所用的数据应是与气体平均温度所对应的数密度、密度及平均速率.(2)将及代入中可得:3.气体热导率公式适用于温度梯度较小,满足如下条件的理想气体:二.气体扩散系数的导出:1.类似地可证明理想气体的扩散系数:2.讨论:(1)利用平均自由程公式和平均速率的公式,即:可将上式化为:说明:刚性分子气体的扩散系数与黏性系数不同,它在P一定时与T3/2成正比,在温度一定时,又与P成反比.而黏性系数与P无关,与T1/2成正比.(2)由上式可看到,在一定的压强与温度下,扩散系数D与分子质量的平方根成反比.

热学

理论与实验的比较主讲：孔红艳

陕西师范大学物理学与信息技术学院§3.8.3与实验结果的比较

下面我们从几个方面将初级理论的结果与实验结果进行比较.1.输运系数与气体状态参量的函数关系:选压强P和温度T为独立的状态参量.则:由于与对于压强P的依赖关系相反,二者的乘积与P无关,导致和与P无关.这个结论在不经理论推导之前并不是显而易见的.麦克斯韦和迈耶等人曾在几个mmHg到几个大气压的压强范围内作实验,证实了这个推论,这对当时气体动理论的建立起了重要作用.以上各式表明,,实验结果表明,,即都比理论预期的温度依赖关系更为显著.偏差来自计算平均自由程时采用的是刚球模型,在此模型中只考虑了分子间的排斥力.实际上分子间还有较弱的吸引力,吸引力使分子的碰撞截面对温度有一定的依赖关系.2.三个输运系数之间的关系:以上各式表明:而实验结果是:具体数值都因气体不同而异.3.输运系数的数量级:例1:估算150C时N2的黏性系数.取N2分子的有效直径.已知N2的分子量为28.解:实验测得150C时N2的黏性系数,即理论与实验的数量级是符合的.由于三个输运系数两两之比的数量级理论与实验符合,其它两个输运系数的数量级也是对的.空气的摩尔质量为0.029kg,而空气密度为:例2:试估计标准状况下空气的黏性系数,热导率及扩散系数.解:前面已估算出标准状况下空气的平均自由程和平均速率分别为:故:在上述计算中认为空气是刚性分子,它仅有三个平动、两个转动自由度,故CV.m=5R/2。将理论结果:与表3.1,3.2和3.3的结果:进行比较.可见:在数量级上无多大差异,但其数值有一定偏差,它主要用于估计数量级.这也说明,前面所介绍的仅是关于输运过程微观分析的初级理论,它还存在相当大局限性.

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