模型思想郝莉娜

模型思想八里庄小学郝莉娜模型思想的概念

数学模型是用数学语言概括地或近似地描述现实世界事物地特征，数量关系和空间形式的一种数学结构。从广义角度讲，数学的概念，定理，规律，法则，公式，性质，数量关系式，图表，程序等都是数学模型。

目录模型思想的历史演进及其发展1小学数学教学中渗透模型思想的思考

2内容概述模型的发展历程及其概念数学模型的发展历程及其概念新课标中的“模型思想”模型思想的历史演进及其发展模型的发展历程把模型运用于科学研究和工程设计的思想和实践，可以追溯到遥远的古代。在古代，人们在发明创造之前，一般总要提出设想，然后常常利用缩小的(或放大的)及简化的实物(用竹片，木材等材料制成)试试看，如果可行，再实际制造，使设想变成现实。有时，也利用与实物大体相似的模型进行研究。近些年来，在自然科学、工程技术和社会科学的许多领域中，定量的系统分析、系统综合已受到人们越来越多的重视。模型是开展这些工作的有效工具，模型化则是开展这些工作的前提和基础。模型的发展历程古埃及建造的金字诺，历时五千年之久，现在依然屹立在尼罗河畔。这样巨大的建筑，在施工前没有周密计算、设计、模型试验，是绝不会成功的。约一千八百年前，张衡（89—139)造浑天仪时，曾用足篾（竹皮）做模型，叫作“小浑”，用以代替青铜浑仪研究天象。约一千年前，喻皓在主持建造一座十三层大型宝塔之前，先请画家郭宗恕试造模型，叫作“小样”，研究模型后，发现以“末底一级折而计之，至上层余一尺五寸，收杀不得”。喻皓“数夕不寐，以尺较之，果如其言”。于是依照修改的模型施工，收到了良好结果。模型的概念模型，英文叫做model，是规范，原型的意思。清段玉裁注《说文》时说过“以木曰模，以金曰熔，以土曰型，以竹曰范，皆法也”。我们这里指对某种事物原型的一种抽象和模仿。原型是人们在现实世界中所关心和研究的实际对象，或者是人们所从事和研究的实际对象。这些实际对象在科技领域通常用系统、过程等词汇。例如机械系统、电力系统、生态系统以及钢铁冶炼过程、导弹飞行过程、化学反应过程、污染扩散过程、计划决策过程等。所以，一切研究对象、现实对象、实际问题等都是原型。模型的概念一切客观存在的事物及其运动形态统称为实体。模型是对实体的特征及其变化规律的一种表示或者抽象，而且往往是对实体中那些所要研究的特定的特征定量的抽象，可以说，模型是把对象实体通过适当的过滤，用适当的表现规则描绘出的简洁的模仿品，通过这个模仿品，人们可以了解到所研究实体的本质，而且在形式上便于人们对实体进行分析和处理。也就是说，模型是人们为了某种特定的目的而将原型的某一部分信息加以简略和提炼而构建出来的这个原型的某个代替物。数学模型的发展历程数学模型起源于社会实践活动。从数学的发展史看，那些最初的数学问题皆起源于经验，如巴比伦人在天文观察、土地丈量和贸易中形成的位置观念和六十进位数系，我国的《九章算术》等。《九章算术》中收集了方田、粟米、衰（cuī）分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股共九章计246个问题，几乎包括了当时社会生活的各个方面。《九章算术》的理论包括“题”“答”“术”三部分，其中“术”是解决实际问题的方法，即数学建模。从中可以看出古人从实际生活中分析数量关系，建立数学模型的活动。欧拉和哥尼斯堡七桥问题18世纪，东普鲁士哥尼堡有条普雷格尔河，河中有七座桥，连着两岸（A，B）和两个小岛（C，D），每天傍晚位于岛C的哥尼斯堡大学的学生们总在七座桥附近散步欣赏美丽风光。渐渐大家热衷于一个问题，即一个散步者，如何才能不重复地一次走遍七座桥并返回出发点？欧拉和哥尼斯堡七桥问题欧拉首先想到的是用穷举法，就是把所有的走法都一一列出来，然后再一个一个的验证是否可行。但是他马上发现这样做太麻烦了，因为对七座桥的不同走法就有7！=5040种，逐一检验太耗时费力了，况且这样的方法没有通用性。如果桥的位置或桥的数量发生变化，岂不又得重新检验？看来此法不可行。欧拉和哥尼斯堡七桥问题欧拉把这个问题作了数学化处理。他把两岸和两岛都抽象成点，把桥化为边，两点之间有边相连，并且仅当这两点所代表地区有桥相连接，于是这个问题的解就成了能否笔不离开纸、不重复地将上图一笔画成的问题。1936年欧拉向彼得堡科学院递交了一份题为《哥尼斯堡的七座桥》的论文，用他找到的一笔画的数学模型的否定方式解决了这个问题。欧拉和哥尼斯堡七桥问题如果一个图形能一笔画成，那么除去起点和终点外，其他的点都是经过点。而经过点是有进有出的点，即有一条线进这个点，就一定有一条线出这个点。不可能有进无出，如果有进无出，它就是终点；也不可能有出无进，如果有出无进它就是起点。因此，在经过点进出的线总数应该是偶数。我们称在一个点进出线的总数是偶数的点为偶点；总数为奇数的点称为奇点。如果起点和终点是同一个点，那么它也属于有进有出的点，它也是偶点这样图上的点全是偶点。如果起点和终点不是同一个点，那么它们必定是奇点。因此，能够一笔画的图形最多只有两个奇点。七桥问题中的四个点全是奇点，当然不能一笔画，即不可能一次无重复地走完七座桥。一般地说，如果图中的点全是偶点，那么可以任意选择一个点作为起点，当然终点与起点重合，能一笔画成；如果图中有两个奇点，那么可以任意选一个奇点作为起点，另一个奇点为终点，可以一笔画成。欧拉的这个研究成果，开创了图论和拓扑学这两门新的学科。数学模型的概念欧拉为解决七座桥问题建立了“一笔画的判别模型”——数学模型。所谓“数学模型”，就是用数学语言和方法，对各种实际对象作出抽象和模拟而成一种数学结构，这种数学结构必须借助于数学概念和数学符号来描述一种纯关系的结构。所谓纯关系结构，是指已经扬弃了一切与关系无本质联系的属性后的系统而言，所以在数学模型的形成过程中，已经用了抽象分析法。也可以说，抽象分析法是构造数学模型的基本手段。数学模型的概念对“数学模型”通常有广义和狭义两种理解。从广义上讲，数学中的各种基本概念，如实数、向量、集合、群、环、域、范畴、线性空间、拓扑空间等等都可以叫做数学模型，因为他们都是以各自相应的现实模型（实体）作为背景而加以抽象出来的最基本的数学概念。这些可称为原始的数学模型。例1欧氏几何是关于直觉空间形体（刚体运动下图形结构不变的形体）关系分析的数学模型。数学模型的概念例2自然数1，2，3，…，n,…是用以描述离散数量的数学模型。例3每一个代数方程式或数学公式也都是一个数学模型。例如，ax²+bx+c=0就是一类具体应用问题的数学模型。总之，按广义的解释，凡一切数学概念、数学理论体系、各种数学公式、各种方程式（代数方程、函数方程、微分方程、积分方程、差分方程……）以及由公式系列构成的算法系统等等都可称之为数学模型。数学模型的概念但按狭义的解释，只有反映特定问题或特定的具体事物的系统的数学关系结构，也就是只有像七座桥问题中抽象得到的一笔画问题才能叫“数学模型”。例如，在应用数学中，数学模型一词通常都做狭义的解释，而构造数学模型的目的就是为了解决具体实际问题。将所考察的实际问题抽象为数学问题，构造出相应数学模型，通过对数学模型的研究和解答，使原来的实际问题得以解决的方法叫做“数学模型方法”。新课标中的“模型思想”修订后的《标准》将数学基本思想作为“四基”之一提出，必然引出这样的问题：数学基本思想主要指哪些思想呢？现在模型思想作为10个核心概念中唯一一个以“思想”指称的概念，这实际上已经明示它是数学基本思想之一。知识领域知识点应用举例数与代数数的表示自然数列0,1,2…；用数轴表示数数的运算四类十一种；分数三种运算定律各种运算定律和性质方程简单的四类六种；稍复杂方程数量关系s＝vt等；正反比例；表格、图像几何与图形字母表示公式周长、面积、体积、容积空间形式用图表示空间形式和平面结构统计与概率统计图、表用统计图、表描述和分析各种信息可能性用分数表示可能性的大小模型思想的具体运用内容概述磨模魔小学数学教学中渗透模型思想的思考（一）“磨”。

所谓“磨”，即“琢磨”。也就是教师首先要反复琢磨每一具体的教学内容中隐藏着怎样的“模”？需要帮助学生建立怎样的“模”？如何来建“模”？在多大的程度上来建“模”？所建的“模”和建模的过程对于儿童的数学学习具有怎样的影响？……在基于建模思想的数学教学中，这些问题都是一些本原性的问题。一个老师如果从来不曾在这些方面作过思考的话，可以肯定，他的数学课堂上数学知识概念、命题、问题和方法等很难见到“数学模型”的影子，他的学生也可能从未感受过“数学模型”的力量。举例：鸡兔同笼众所周知，“鸡兔同笼”问题的数学模型是二元一次整数方程，然而，在小学里学生并不学习二元一次整数方程。可是，“鸡兔同笼”却被广泛地运用到小学教材中：北师大版五年级上册“尝试与猜测”中用它来让学生学会表格列举；苏教版六年级上册将之作为一道练习题来巩固“假设和替换”的策略；人教版则是浓墨重彩，在六年级上册“数学广角”中详细介绍了“鸡兔同笼”问题的出处、多种解法及实际应用。教学这些内容时，如果仅是就题讲题，就课本讲课本，难免显得过于简单和浅薄。那么，对小学生的数学学习而言，“鸡兔同笼”是否还隐藏着其他的“模型”因素呢？我想至少有三方面是值得关注的：一是内容层面的，即“鸡兔同笼”这类题本身的题型结构特征（告知两个未知量的和以及两个未知量之间一定的量值关系，求未知量）；二是方法层面的，即“假设法”的一般解题思路（画图、列举、替换等在某种意义上都是“假设”）；三是思想层面的，即从一个具体的“鸡兔同笼”数学问题出发，在经历了对其解答的过程之后，能将解决它的方法和思路进行扩展运用（学习“鸡兔同笼”，最终的目标并不仅仅是会解答一道“鸡兔同笼”，更有其他）。有了这样的理解，在教学中，我们就会引导学生在关注教材中所编排内容的同时，注意把握题目的类型、结构和类比运用，用系统的眼光来看待它的教学价值。这些，恰恰是学生到了中学后真正建立二元一次整数方程数学模型的基础。举例：确定位置“确定位置”的数学模型是立体坐标系。学生在一年级接触到的一列队伍中“老爷爷排在第3个”，其实就是一维空间上的确定位置；在二年级接触到的“小明坐在第3排第4个”，其实就是二维空间上的确定位置；五年级学习的“数对”则是初步抽象的二维坐标模型。如果在教学中能将这一层意义渗透进去，一定能为学生将来学习立体坐标系提供很好的支持。眼界决定境界。一个老师是否具有“模型”眼光和“模型”意识，往往会决定着他的教学深刻性和数学课堂的品质。（二）“模”。所谓“模”，即“建模”。也就是在教学中要帮助学生不断经历将现实问题抽象成数学模型并进行解释和运用。对小学数学而言，“建模”的过程，实际上就是“数学化”的过程，是学生在数学学习中获得某种带有“模型”意义的数学结构的过程。以下是两位老师利用同一素材教学“减法”的片段：【教学片段1】

出示情境图。师：请同学们认真观察这两幅图，说一说从图上你看到了什么？生：有5个小朋友在浇花，走了2个，剩下3个。师：你真棒!谁再来说一说。生：原来有5个小朋友在浇花，走了2个小朋友，还剩下3个小朋友。师：很好！你知道怎样列式吗？生：5-2=3。教师听了满意地点点头，板书5-2=3。接着教学减号及其读法。【教学片段2】出示情境图。（同上）师：谁来说一说第一幅图，你看到了什么？生：从图中我看到了有5个小朋友在浇花。师：第二幅图呢？生：第二幅图中有2个小朋友去提水了，剩下3个小朋友。师：你能把两幅图的意思连起来说吗？生：有5个小朋友在浇花，走了2个，还剩下3个。师：同学们观察得很仔细，也说得很好。你们能根据这两幅图的意思提一个数学问题吗？生：有5个小朋友在浇花，走了2个，还剩几个？生（齐）：3个。师：对，大家能不能用圆片代替小朋友，将这一过程摆一摆呢？（教师在行间指导学生摆圆片，并请一生将圆片摆在情境图的下面。）师：（结合情境图和圆片说明）5个小朋友在浇花，走了2个，还剩3个；从5个圆片中拿走2个，还剩3个，都可以用同一个算式（学生齐接话：5-2=3）来表示。（在圆片下板书：5-2=3）生齐读：5减2等于3。师：谁来说一说这里的5表示什么？2、3又表示什么呢？……师：同学们说得真好！在生活中存在着许许多多这样的数学问题，5-2=3还可以表示什么呢？请同桌互相说一说。生1：有5瓶牛奶，喝掉2瓶，还剩3瓶。生2：树上有5只小鸟，飞走2只，还剩3只。……上述两段教学，所体现出来的教学着力点是不一样的。第一个片段，属于“就事论事”式的简单教学，教师对教学的定位完全停留在知识传授的层面上，“5-2=3”仅是一道题的解答算式而已。第二个片段，除了教学充分展开外，更主要的是渗透了初步的数学建模思想，训练的是学生抽象、概括、举一反三的学习能力。且这种训练并不是简单、生硬地进行，而是和低年级学生数学学习的特点相贴切——由具体、形象的实例开始，借助于操作予以内化和强化，最后通过思维发散和联想加以扩展和推广，赋予“5-2=3”以更多的“模型”意义。举例：小数的认识在小学阶段，学生认识小数时主要是将它和分数之间进行意义上的关联，即：一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几……。按照螺旋上升的教材编排原则，上述内容大多分解在三、四年级分两次学完，三年级先认识一位小数。如何在三年级初步认识一位小数时就体现出“建模”的思想呢，我们进行了如下教学：课始，教师出示到超市购买的一些物品和相应的价钱：水彩笔12元、美工刀3元5角、铅笔0.4元。当“0.4元”出现后，教师提问：师：知道“0.4元”到底是多少钱吗？生：0.4元就是4角钱。（板书4角=0.4元）师：4角钱有没有1元多？生：没有。师：看来，和1元相比，0.4元只能算是一个“零头”了。如果我们用这样的一个长方形来表示1元，你能把它分一分、涂一涂，将0.4元表示出来吗？（学生拿出练习纸画画涂涂，把自己的想法表示出来。交流时，寻找共性特点：平均分成10份，涂出其中的4份）师：为什么这样就将“0.4元”表示出来了呢？生：因为1元等于10角，平均分成10份，1份就是1角，4份就是4角。师：看着大家画出的图示，让我想起以前咱们学什么时，也是这样子平均分一分、涂一涂？生：分数！师：那0.4元如果用分数表示，如何表示呢？生：十分之四元。师：数学真是有趣，原来0.4元也就是我们熟悉的十分之四元。师：老师购买了一块橡皮，它的价钱是多少呢？（出示：0.8元）0.8元是多少钱？生：0.8元就是8角师：又是一个不足1元的零头，如果我们还是用这样的一个长方形来表示1元，那0.8元又该怎么表示呢？学生模仿者刚才的方式表示出“0.8元也就是十分之八元”。接着，老师给学生提供一个空白的平均分成10份的长方形，任意涂出其中一部分，表示出一个小数和相应的分数。几个学生自由展示后，组织梳理，从0.1就是十分之一，0.2就是十分之二……师：接下来我们再来看看笔记本的价格，我给你一个图示，你知道它的价钱了吗？生：笔记本的价格是1.2师：刚才的小数都是“零点几”，现在怎么变成“一点几”了？生：现在有两个长方形了，第一个涂满了颜色，表示整1元。第二个平均分成了10份，涂了其中的2份，也就是2角钱，0.2元，合起来就是1.2元了。师：我买的钢笔的价钱是8.6元，如果让你画一幅图来表示它的价钱，你准备怎样画呢？生：我准备先画9个大小一样的长方形，然后把前面8个涂满颜色，第9个长方形平均分成10份，涂出其中的6份。……上述教学过程抓住了知识间的联系（小数和十进分数的关系）而展开，但又不是停留在教师直接的讲解和“告诉”，而是让学生充分展开探索过程，借助于直观图示的形象支撑，建立起了一位小数的“直观模型”（长方形等分、涂色）。这种形象的“直观模型”既搭起了小数和分数之间的桥梁，也具有强大的“扩展”功能，对后面学习两位小数、三位小数（同样的长方形，只是平均分成100份、1000份）以及抽象概括“小数的意义”具有统摄作用。从上述两例可以看出，运用建模思想来指导小学数学教学，在很大程度上是要在学生的认知过程中建立起一种统摄性、符号化的具有数学结构特征的“模型”载体，通过这样的具有“模型”功能的载体，帮助学生实现数学抽象，为后续学习提供强有力的基础支持。当然，对学生“模型”意识的培养和“建模”方法的指导，要根据具体内容和具体年级而有层次不同的要求，低年级要恰到好处地结合日常实例和常规教学对学生进行“模型”及“模型意识”的渗透、点化，高年级则可以更明确地引导学生关注数学学习中“模型”的存在，培养初步的建模能力。(三)“魔”。所谓“魔”，即“着魔”，也就是学生对“模型”在数学学习中的运用有着深切的体验和感悟，并对之产生好奇，从而在数学学习中能主动地构想模型、建立模型、运用模型。儿童数学教学的终极目标，应该是让学生都懂数学、爱数学，对数学怀有敬畏之心和热爱之情。要实现这样的目标，数学教学就不能只停留在知识和方法层面，而是要深入到数学的“腹地”，用数学自身的魅力来吸引学生。正如日本数学家米山国藏所说：“作为知识的数学出校门不到两年就忘了，唯有深深铭记在头脑中的数学的精神、数学的思想、研究的方法和着眼点等，这些随时随地地发生作用，使人终身受益”。要让学生能充分感受到数学模型和建模教学所产生的“魔力”，实际教学中，一方面要结合日常教学给学生以充分的体验和感受。比如，在二年级教学“确定位置”时，设定观察的规则（观察顺序）非常重要——“从左向右数是第几排”、“从前往后数是第几列”、“从下往上数是第几层”……如果我们结合这样的观察顺序在直观图上分别添加“横向带箭头的直线→”（坐标系中的“横轴”原型）和“纵向带箭头的直线↑”（坐标系中的“纵轴”原型），既将观察顺序形象表达，又蕴含了二维坐标（第一象限）的基本原理。如果学生在独立练习中也能模仿着使用，那感受会更加深刻。而在六年级学习“确定位置”（用方向、角度、距离来确定平面图中任意一个位置）时，如果让学生试着总是以观测点为中心先画出一个“十字”坐标图然后再确定位置，那学生的观察不仅变得有序，而且准确性很高。在此基础上，老师再对学生进行“建模”、“用模”的学习水平进行适当评价和鼓励，教学的境界就会大大提升。另一方面，也可以在中高年级进行一些专题性的训练。我们曾以“鸡兔同笼”为例进行过这方面的尝试。在学生初步能用不同的假设思路解答鸡兔同笼的题目后，老师提问：“生活中你见过有人把鸡和兔放在一个笼子里养殖的吗？就是放在一起养殖，也没谁去做数头数脚这种无聊的事吧。我们的老祖宗干嘛煞费苦心地研究来研究去的，一千多年过去了，鸡兔同笼这道数学题还作为宝物似的流传到今？”（屏幕显示：“鸡兔同笼”有什么独特的魅力？）在学生对所提问题一时困惑皱眉时，老师提议带着