第三节公式及其应用

第三节格林公式及其应用一、格林公式二、平面上曲线积分与路径无关的条件三、二元函数的全微分求积四、小结练习题一、格林公式牛顿莱布尼茨公式定积分可通过原函数在区间端点上的函数值来表达D问题：二重积分能否表达为某个函数在D

的边界曲线

L

上的曲线积分？在一定条件下，格林公式回答了上述问题。设D

为平面区域,如果D

内任一闭曲线所围成的部分都属于D,则称D

为平面单连通区域,否则称为复连通区域.复连通区域单连通区域DD（1）区域连通性的分类D复连通区域（2）区域D

的边界L

的正向：当观察者在

L

上行走时，D

内在他近处的部分总在他的左边。D（3）、格林公式定理1：设平面闭区域D

由分段光滑的曲线

L

围成函数P(x,y),Q(x,y)在

D

上具有一阶连续偏导数，其中L是D

的取正向的边界曲线。格林公式证明：（1）设D

既是X

型，又是Y

型区域。X

型：证明：（1）设D

既是X

型，又是Y

型区域。X

型：证明：（1）设D

既是X

型，又是Y

型区域。X

型：Y

型：证明：（1）设D

既是X

型，又是Y

型区域。X

型：Y

型：证明：（1）设D

既是X

型，又是Y

型区域。X

型：Y

型：证明：（1）设D

既是X

型，又是Y

型区域。X

型：Y

型：所以两式相加得（2）若D

不具有（1）的特点，则将D

分成若干块D作辅助线AB

将D

分成三块它们均既是X

型又是Y

型区域格林公式仍成立几点说明：（1）若D

为复连通区域则曲线L

应包括内外所有边界并且它们对D

均取正向。（2）格林公式建立了平面上的曲线积分与二重积分的关系，它是牛顿莱布尼茨公式在平面上的推广。主要用途：实现曲线积分与二重积分之间的转换，而经常用来将复杂的曲线积分转化为二重积分。（3）便于记忆的形式若记则格林公式可表示为（4）若取则有同理，若取则有若取则有xyoAB格林公式的应用举例解：方法1，用曲线积分法起点A，终点B，xyoAB解：方法2：用格林公式注意L

不是一条封闭的曲线补充有向线段：则为封闭曲线，所围区域记为D解：方法2：用格林公式xyoAB在上，y=0,在上，x=0,xyo解:在应用格林公式将二重积分化为曲线积分时，关键是要找到P(x,y)和Q(x,y),使得并且这样的P

，Q

在D

的边界上的曲线积分应较简单经观察，可取应用格林公式xyo解:在AB

上，y=1，在BO

上，x=0所以xyo解:所以解令经计算有应用格林公式？格林公式的条件：P、Q

在D

上具有一阶连续偏导数解令经计算有xyoL应用格林公式解令经计算有yxoP、Q

在D

内不连续为了能用格林公式，在D

内以原点为中心作一小圆在复连通域格林公式条件满足解yxo在复连通域格林公式条件满足解yxo起点A，终点A解yxoxyoL该方法俗称“挖洞法。”解yxoxyoL思考题：为什么要用小圆周去“挖洞”？参考题：计算其中L

是以(1,0)为中心，R

为半径的圆周(R>1),取逆时针方向例4：求其中，L

是以(a,0)为中心，a

为半径的上半圆周，逆时针方向，m

为常数。解：分析：被积函数比较复杂，无论L

的方程取什么形式，直接用曲线积分的方法都比较困难。故考虑用格林公式表达式简单问题：L不是封闭的曲线。yx0例4：求其中，L

是以(a,0)为中心，a

为半径的上半圆周，逆时针方向，m

为常数。补充有向线段OA，在L

与OA

所围的区域D

上yx0解：例4：求其中，L

是以(a,0)为中心，a

为半径的上半圆周，逆时针方向，m

为常数。yx0解：在上，y=0,

x

从0变到2a

例4：求其中，L

是以(a,0)为中心，a

为半径的上半圆周，逆时针方向，m

为常数。yx0解：（1）该题用到的方法俗称“封口法”几点小结（2）“挖洞法”和“封口法”是格林公式应用中两类常见的典型方法。（3）当曲线积分中，函数P

、Q

使得等于零、常数或比较简单时，要考虑用格林公式。习题113:2,4,6,7

作业（一）二、曲线积分与路径无关的条件例3:计算其中L

为如下三条路径经计算皆有事实上，可以证明沿从起点O

到终点B的任何一条光滑路径，皆有GyxoA定义：如果在区域G内，P、Q

具有一阶连续偏导数B点A

与B

是G

内任意两点，

如果对于G

内从A

到B的任意两条曲线恒有问题：什么样的曲线积分与路径无关？问题：什么样的曲线积分与路径无关？GyxoAB即所以注意：为G

内的一条有向封闭曲线结论：曲线积分与路径无关其中C

为G

内任意一条封闭曲线GyxoAB结论：曲线积分与路径无关其中C

为G

内任意一条封闭曲线进一步，假设G

为单连通区域D

为C

所围闭区域，则由格林公式其中，D

为G

内任意一闭子区域。从而可推出在整个G

内定理2：设G

是一个单连通区域，P、Q

在G

内具有一阶连续偏导数，则曲线积分在G

内与路径无关（或沿G

内任意闭曲线积分为零）的充分必要条件是在G

内恒成立。注意：在应用该定理时，一定要保证定理的条件：（1）G

是一个单连通区域，（2）P、Q

在G

内具有一阶连续偏导数。小结：设G

是一个单连通区域，P、Q

在G

内具有一阶连续偏导数，则以下命题相互等价（1）曲线积分（2）其中，C

为G

内任意一条闭曲线；（3）其中，D

为G内任意一个闭子区域；（4）在G

内与路径无关；在G内恒成立。例1：证明曲线积分证明：显然整个xoy面是一个单连通区域，又所以，由定理2，曲线积分在整个xoy

面内与路径无关；在整个

xoy

面

内恒成立。在整个

xoy

面内与路径无关。它们均在整个xoy

面内具有一阶连续偏导数。例2：计算曲线积分在第一象限部分到A(1,1)的路经。其中L

为从点O(0,0)沿圆周yx0解：分析：由被积函数知，直接用曲线积分的方法比较困难。由于故所求曲线积分在整个xoy

面内与路径无关，因此考虑改变积分路径：所以例2：计算曲线积分在第一象限部分到A(1,1)的路经。其中L

为从点O(0,0)沿圆周yx0在OB上，y=0,在AB上，x=1,解：例2：计算曲线积分在第一象限部分到A(1,1)的路经。其中L

为从点O(0,0)沿圆周解：yx0三、二元函数的全微分求积假设G

是一个单连通区域，P、Q

在G

内具有一阶连续偏导数，若曲线积分在G

内与路径无关Gyxo首先在

G

内取一定点又设B(x,y)为G

内的一动点在G

内任作一条从A

到B

的曲线弧则曲线积分仅与起点A

和终点B

有关，与路径L

无关，记假设二元函数u=u(x,y)可微，则反过来，若给定一个表达式问它是否一定是某个二元函数u(x,y)的全微分式回答是否定的。问题：在什么条件下，表达式一定是某个二元函数u(x,y)的全微分式？如何求出这个二元函数u(x,y)?在G

内为某个二元函数u(x,y)的全微分的充要条件是定理3：设G

是一个单连通区域，P、Q

在G

内具有一阶连续偏导数，则表达式并且证明略注意在上述公式中(x,y)既是自变量，又是积分变量可记为计算函数的方法Gtso（1）沿路径AC+CB

计算（2）沿路径AD+DB

计算例3验证是某个函数的全微分，tso并求出一个这样的函数在整个

xoy

面内恒成立，解：因此在整个xoy

面内，是某个函数的全微分，方法一：沿如图所示路径求u(x,y)例3验证是某个函数的全微分，并求出一个这样的函数tso解：（1）沿如图所示路径求u(x,y)例3验证是某个函数的全微分，并求出一个这样的函数解：方法2：设则有两边关于x