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第3章电路分析中的常用定理3.1叠加定理(SuperpositionTheorem)叠加定理:在线性电路中,任一支路电流(或电压)都是电路中各个独立电源单独作用时,在该支路产生的电流(或电压)的代数和。

当一个电源单独作用时,其余电源不作用,就意味着取零值。即对电压源看作短路,而对电流源看作开路。电源既可是电压源,也可是电流源。叠加定理是线性电路的一个基本定理。三个电源共同作用==us1单独作用+us2单独作用++us3单独作用+us1R1R2us2R3us3i1i2i3+–+–+–iaibR1us1R2R3i1'i2'i3'+–R1R2us2R3i1''i2''i3''+–R1R2R3us3i1'''i2'''i3'''+–例:求电路中各支路电流由上式可见,各支路电流均为各电压源的一次函数,所以各支路电流(如i1)均可看成各电压源单独作用时,产生的电流(如i1',i1",i1"')之叠加。各支路电流为:其中:使用叠加定理时应注意:1、只适用于线性电路,只能用来计算电流或电压,原电路的功率不等于各分电路计算所得的功率。3、每次只看一个独立电源作用,对不作用的电源处理为:电压源短路,电流源开路。2、叠加时注意电压,电流的参考方向,当参考方向一致时相加;当参考方向不同时要相减。4、含受控源电路亦可用叠加定理,但受控源不能单独

作用,受控源应始终保留。5、叠加方式是任意的,电源可单独作用,也可分组作用。例1.求图中电压u。6+–10V4A+–4u解:(1)10V电压源单独作用,4A电流源开路4A6+–4u''u'=4V(2)4A电流源单独作用,10V电压源短路u"=-42.4=-9.6V共同作用:u=u'+u"=4+(-9.6)=-5.6V+–10V6+–4u'注意参考方向!例2

用叠加原理求I

解:12V电压源单独作用(如图a):

12V+-1Ω4ΩI6A2A4Ω4Ω2Ω+-VI'124Ω4Ω4Ω2Ω1Ω图a2A单独作用(如图c):

叠加:

6A单独作用(如图b):

4Ω6AI''2Ω4Ω1Ω4Ω''2AIΩ'4Ω4Ω4Ω2Ω1图b图c例3计算电压u(独立源分组作用)3A电流源作用:解:u+-12V2A+-13A366V+-画出分电路图+u''i''+-12V2A+-1366V+-13A36+-u'其余电源作用:例4

用叠加原理求4V电压源发出的功率。

3V电源单独作用:解:用叠加原理求电流I。

4V电源单独作用:

叠加:4V电压源发出的功率:例5.

求电压Us。(1)10V电压源单独作用:(2)4A电流源单独作用:解:Us'=-10I1'+4=-101+4=-6VUs"=-10I1"+2.44=-10(-1.6)+9.6=25.6V共同作用:Us=Us'+Us"=-6+25.6=19.6V+–10V6I14A+–Us+–10I1410V+–6I1'+–Us'+–10I1'46I1''4A+–Us''+–10I1''4例6封装好的电路如图,已知下列实验数据:研究激励和响应关系的实验方法解根据叠加定理代入实验数据:无源线性网络uSi-+iS例7.解:采用倒推法:设i'=1A,推出此时us'=34V。则RL=2R1=1

R2=1us=51VR1R1R1R2R2RL+–usiR22A+–2V5A13A3A8A21A+–3V+–8V+–21V+–us'=34Vi'=1A推论:当电路中只有一个独立电源时,由叠加定理推知,该电路中各处电压或电流,都与该独立电源成正比关系。这个关系称为齐性定理。求电流i。1.5A在电路分析中,有时只需要研究电路中某一条支路的电压或电流。对所研究的支路来说,电路的其余部分就成为一个有源二端网络,可等效变换为较简单的含源支路(电压源与电阻串联或电流源与电阻并联支路),使分析和计算简化。戴维南定理和诺顿定理正是给出了等效含源支路及其计算方法。戴维南定理和诺顿定理合称为等效电源定理。R3R1R5R4R2iRxab+–us

3.2戴维南定理与诺顿定理1、定理内容:任何一个线性含有独立电源、线性电阻和线性受控源的二端网络,对外电路来说,可以用一个电压源(Uoc)和电阻Req的串联组合来等效置换;此电压源的电压等于一端口的开路电压,而电阻等于一端口中全部独立电源置零后的输入电阻。

(对外等效!)AabiiabReqUoc+-

3.2.1戴维南定理(TheveninEquivalent)2.证明:(a)(b)(对a)利用替代定理,将外部电路用电流源替代,此时u,i值不变。计算u值。=+根据叠加定理,可得电流源i为零网络A中独立源全部置零12Ai+–uN'iUoc+–uN'12+–Req12Ai+–u12A+–u'12Pi+–u''Requ'=

Uoc(外电路开路时1

、2间开路电压)

u"=

-

Reqiu=u'+u"=

Uoc

-

Reqi此关系式恰与图(b)电路相同。例1010+–20V+–Uocab+–10V1A52A+–Uocab515VabReqUoc+-应用电源等效变换I例(1)

求开路电压Uoc(2)

求输入电阻Req1010+–20V+–Uocab+–10V515VabReqUoc+-应用戴维南定理

两种解法结果一致,戴维南定理更具普遍性。注意3小结:(1)戴维南等效电路中电压源电压等于将外电路断开时的开路电压Uoc,电压源方向与所求开路电压方向有关。(2)

串联电阻为将一端口网络内部独立电源全部置零(电压源短路,电流源开路)后,所得无源一端口网络的等效电阻。(3)

外电路发生改变时,含源一端口网络的等效电路不变(伏-安特性等效)。(4)

当一端口内部含有受控源时,其控制电路也必须包含在被化简的一端口中。

注意:u与i

的方向向内部关联

求等效电阻的一般方法

外加激励法(原二端网络中独立源全为零值)

N0iu+_N0iu+_i

注意:uoc与isc的方向在开路与短路支路上关联

求等效电阻的一般方法

开路短路法Nuoc+_..Nisc

求等效电阻Req时,若电路为纯电阻网络,可以用串、并联化简时,直接用串、并联化简的方法求

说明

无法用串并联化简时,则用一般方法求

当电路中含受控源时,则一定要用一般方法求其戴维南等效电阻例.计算Rx分别为1.2、5.2时的I.IRxab+–10V4664解:保留Rx支路,将其余一端口网络化为戴维南等效电路:ab+–10V466–+U24+–U1IRxIabUoc+–RxReq(1)求开路电压Uoc=U1+U2

=-104/(4+6)+106/(4+6)=-4+6=2Vab+–10V466–+U24+–U1+-Uoc(2)求等效电阻ReqReq=4//6+6//4=4.8(3)Rx

=1.2时,I=Uoc/(Req+Rx)=2/6=0.333ARx=5.2时,I=Uoc/(Req+Rx)=2/10=0.2AReqab4664

图示电路,当R分别为1、3、5时,求相应R支路电流。解:

求uoc:IR12V+-2Ω4A8V+-2Ω8V+-4Ω4Ω+-6V将左边电路作电源等效变换后,有:去掉全部电源求R0:

+

-uoc0IR16V+-3Ω戴维南等效电路如右图:当R=1时:当R=3时:当R=5时:含受控源电路中戴维南定理的应用求U0。+–336I+–9V+–U0ab6I例.abUoc+–Req3U0-+解:(1)求开路电压UocUoc=6I+3II=9/9=1AUoc=9VUocab36I+–9V+–+–6I(2)求等效电阻Req方法1:加压求流U0=6I+3I=9II=I06/(6+3)=(2/3)I0U0=9(2/3)I0=6I0Req=U0/I0=6方法2:开路电压、短路电流(注意方向)(Uoc=9V)6I1+3I=9I=-6I/3=-2II=0Isc=9/6=1.5AReq=Uoc/Isc=9/1.5=666I3I+–9VIscab+–I1ⅠⅡU0I036I+–ab+–6I(3)等效电路abUoc+–Req3U0-+69V例

求流过9Ω电阻的电流。+-uoc49+-Ωixi6+-V620ΩΩixiΩR+-ixou646+-ixΩKVL:求Req:方法一:将20V短接,外加电源u。解:断开9Ω支路求UocKVL:

方法二:将a、b短路,此时ix=0Ω30V69+-iΩVΩ4sc+-+-6206xiabiixΩ则:6ix=0所以戴维南等效电路如有图:00例.解:(1)a、b开路,I=0,Uoc=10V(2)求Req:加压求流法U0=(I0-0.5I0)+I0

=1.5I0Req=U0/I0=1.5kabUoc+–+–U

R0.5kReq(含受控源电路)用戴维南定理求U+–10V1k1k0.5Iab

R0.5k+–UI1k1k0.5Iab+–U0II0U=Uoc

500/(1500+500)=2.5VIsc=-I,(I-0.5I)103+I103+10=01500I=-10I=-1/150A即Isc=1/150A

Req=Uoc/Isc=10150=1500ab10V+–+–U

R0.5k1.5k(3)等效电路:开路电压Uoc、短路电流Isc法求Req:Req=Uoc/IscUoc=10V(已求出)求短路电流Isc(将a、b短路):另:+–10V1k1k0.5IabIIsc加流求压法求ReqI=I0U0=0.5I0103+I0103=1500I0Req=U0/I0=15001k1k0.5Iab+–U0II0解毕!任何一个含独立电源,线性电阻和线性受控源的一端口,对外电路来说,可以用一个电流源和电导(电阻)的并联组合来等效置换;电流源的电流等于该一端口的短路电流,而电导(电阻)等于把该一端口的全部独立电源置零后的输入电导(电阻)。3.2.2诺顿定理(NortonEquivalent)戴维南定理和诺顿定理也常称为等效发电机定理。AababGi(Ri)Isc诺顿等效电路可由戴维南等效电路经电源等效变换得到。例.求电流I。12V1024Va42+–bI+–4IabGi(Ri)Isc(1)求IscI1=12/2=6A

I2=(24+12)/10=3.6AIsc=-I1-I2=-3.6-6=-9.6A解:210+–24VabIsc+–I1I212V(2)求Req:串并联Req=102/(10+2)=1.67(3)诺顿等效电路:I=-

Isc1.67/(4+1.67)=9.61.67/5.67=2.83AReq210abb4Ia1.67-9.6A解毕!

最大功率传输定理

一个含源线性二端网络,总可以用一条戴维南等效电路对外部等效。当此含源线性二端网络外接一个负载电阻时,其中等效电源发出的功率将由等效电阻与负载电阻共同所吸收。在电子技术中,总希望负载电阻上所获得的功率越大越好。那么,在什么条件下,负载电阻方可获得最大功率?负载电阻的最大功率值Pmax=?

NiRLUoc+_ReqiRL负载电阻的功率:而:故:利用数学中求极值的方法:令,得Uoc+_ReqiRL

当负载电阻R

L与戴维宁等效电阻Req相等时,负载电阻可从含源线性二端网络获得最大功率。此时最大功率为:

而戴维宁等效电路中电源UOC的效率:

可见此时等效电源Uoc的效率只达50%,而Uoc所产生的功率有一半白白地损耗在等效电阻Req上,这在电力系统中是决不允许的,故电力系统中通常取RL>>Req。负载电阻吸收的功率和电源Uoc的效率随负载电阻变化的曲线如图所示

注意:此时是指可调负载RL可获最大功率的条件为

RL=Req,而不是Req可调

50%PmaxP,η

P~RLη~RL0RL

定理内容:3.3替代定理(SubstitutionTheorem)在任意的线性或非线性网络中,若已知第k条支路的电压和电流为Uk和Ik,则不论该支路是何元件组成的,总可以用下列的任何一个元件去替代:3、电阻值为的理想电阻元件Rk

1、电压值为Uk的理想电压源2、电流值为Ik的理想电流源

替代后电路中全部电压和电流都将保持原值不变

替代定理如图所示电路说明

NIkUk+_可替代为NIkUk+_NIkUk+_可替代为NIkUk+_NIkUk+_可替代为NIkUk+_Rk注:1.替代定理既适用于线性电路,也适用于非线性电路。3.替代后其余支路及参数不能改变。2.若支路中的电压或电流为其余电路中受控源的控制量,则该支路不能被替代。4.分析电路时,对电路中各等电位点可以看作短路,对其零电流支路可以当作开路处理。例.求图示电路中R的值。I3=8/5A124812AΩRIRI2ΩΩΩUR+-+4.84A48V4Ω-

用4A电流源替代R,且电路化简后如图示。解:有:1、叠加定理线性电路中,如果激励为多个独立源,每个支路的响应可以看作是每个独立源单独作用时,在该支路上产生的响应的叠加。a.叠加定理只适用于线性电路。b.在各分电路中只有一个电源作用,其余电源置零,电阻和受控源要保留在分电路中。电压源为零电流源为零—短

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