直线与圆的位置关系

直线与圆的位置关系Oxy

一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70km处，受影响的范围是半径长为30km的圆形区域．已知港口位于台风中心正北40km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？

为解决这个问题，我们以台风中心为原点O，东西方向为x轴，建立如图所示的直角坐标系，其中取10km为单位长度．轮船一.实例引入问题港口Oxy轮船一.实例引入问题港口轮船航线所在直线l的方程为：

问题归结为圆心为O的圆与直线l有无公共点．

这样，受台风影响的圆区域所对应的圆心为O的圆的方程为:想一想，平面几何中，直线与圆有哪几种位置关系？平面几何中，直线与圆有三种位置关系：（1）直线与圆相交，有两个公共点；（1）（2）直线与圆相切，只有一个公共点；（2）（3）直线与圆相离，没有公共点．（3）二.直线与圆的位置关系问题判断直线与圆位置关系的方法?方法一：直线：Ax+By+C=0;圆：x2+y2+Dx+Ey+F=0

消元一元二次方程

方法二：直线：Ax+By+C=0;圆:(x-a)2+(y-b)2=r2

d=

1.判断直线与圆位置关系的方法1、几何方法解题步骤：利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离作判断:当d>r时，直线与圆相离；当d=r时，直线与圆相切;

当d<r时，直线与圆相交把直线方程化为一般式,圆的方程化为标准式，求出圆心和半径代数法：3x+y－6=0x2+y2

－2y－4=0消去y得：x2-3x+2=0=(-3)2-4×1×2=1>0所以方程组有两解，直线L与圆C相交几何法：圆心C（0，1）到直线L的距离d==

r所以直线L与圆C相交比较：几何法比代数法运算量少，简便。dr弦长=题型一、如图，已知直线l:3x+y-6=0和圆心为C的圆x2+y2-2y-4=0，判断直线l与圆的位置关系；如果相交，求它们的交点坐标及弦长。圆的弦长的求法几何法：用弦心距，半径及半弦构成直角三角形的三边设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为L，则2＝r2－d2.题型二.若直线与圆相交，求弦长问题：解弦心距,半弦及半径构成的直角三角形）设圆心O（0，0）到直线的距离为d，则xyOABdr2．已知直线y=x+1与圆相交于A,B两点，求弦长|AB|的值

练习：求直线3x+4y+2=0被圆截得的弦长。例2、已知过点M（-3，-3）的直线l被圆x2+y2+4y-21=0所截得的弦长为，求直线l的方程。.xyOM.利用几何性质，求弦心距,然后用点到直线的距离求斜率。X+2y+9=0,或2x-y+3=0题型三、最长弦、最短弦问题题型五、判断点的个数问题练习1:已知圆,直线l:y=x+b,求b的取值范围,使(1)圆上没有一个点到直线l的距离等于1(2)圆上恰有一个点到直线l的距离等于1(3)圆上恰有两个点到直线l的距离等于1(4)圆上恰有三个点到直线l的距离等于1(5)圆上恰有四个点到直线l的距离等于1题型六、数形结合问题7.若直线y=x+k与曲线恰有一个公共点,则k的取值范围是__________________.题型三、求圆的切线方程的常用方法

复习点与圆的位置关系，判断切线的条数题型三、求圆的切线方程的常用方法(1)若点P(x0,y0)在圆C外,过点P的切线有两条.这时可设切线方程为y-y0=k(x-x0),利用圆心C到切线的距离等于半径求k.若k仅有一值,则另一切线斜率不存在,应填上.也可用判别式Δ=0求k的值.(2)若点P(x0,y0)在圆C上,过点P的切线只有一条.利用圆的切线的性质,求出切线的斜率.k切=代入点斜式方程可得.也可以利用结论:①若点P(x0,y0)在圆x2+y2=r2上,则过该点的切线方程是x0x+y0y=r2.②若点P(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2上,则过该点的切线方程是(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.（2）已知圆的方程是x2+y2=r2,求经过圆上一点M(x0,y0)的切线方程.解:如右图所示,设切线的斜率为k,半径OM的斜率为k1.因为圆的切线垂直于过切点的半径,于是例1：求过一点P(-3,-2)的圆x2+y2+2x－４ｙ＋１＝０的切线方程。解：设所求直线为ｙ＋２＝ｋ（ｘ＋３）利用点到直线距离公式；Ｋ＝即所求直线为３ｘ－４ｙ＋１＝０提问：上述解题过程是否存在问题？X=-3是圆的另一条切线注意：1.在求过一定点的圆的切线方程时，应首先判断这点与圆的位置关系，若点在圆上，则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外，切线应有两条；若点在圆内，无切线．2.设直线的方程时，切记千万要对直线的斜率存在与否进行讨论。若存在，则经常设直线的方程为点斜式；若不存在，则特殊情况特殊对待。小结：求圆的切线方程一般有两种方法：几何法：设切线方程为y－y