2017-2018版高中数学第二章概率5第1课时离散型随机变量的均值学案2-3

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE16学必求其心得，业必贵于专精PAGE第1课时离散型随机变量的均值学习目标1。通过实例理解离散型随机变量均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均值.2.理解离散型随机变量的均值的性质.3。掌握二项分布的均值.4.会利用离散型随机变量的均值,反映离散型随机变量的取值水平,解决一些相关的实际问题．知识点一离散型随机变量的均值设有12个西瓜，其中4个重5kg,3个重6kg,5个重7kg.思考1任取1个西瓜,用X表示这个西瓜的重量，试问X可以取哪些值？思考2X取上述值时，对应的概率分别是多少？思考3如何求每个西瓜的平均重量？梳理随机变量X的均值(1)均值的定义设随机变量X的可能取值为a1，a2，…,ar，取ai的概率为pi（i＝1，2，…,r），即X的分布列为P（X＝ai）＝pi(i＝1，2,…，r)，则X的均值EX＝________________________.(2）均值的意义均值刻画的是随机变量X取值的“____________"．知识点二两种特殊随机变量的均值1．当随机变量服从参数为n,p的二项分布时，其均值为________．2．当随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布时，它的均值EX＝________________.类型一离散型随机变量的均值命题角度1一般离散型随机变量的均值例1某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定:每题回答正确得100分，回答不正确得－100分,假设这名同学回答正确的概率均为0。8，且各题回答正确与否相互之间没有影响．（1)求这名同学回答这三个问题的总得分X的分布列和均值；（2)求这名同学总得分不为负分（即X≥0）的概率．反思与感悟求随机变量X的均值的步骤（1）理解随机变量X的意义，写出X所有可能的取值．（2)求出X取每个值的概率P（X＝k）．(3)写出X的分布列．(4)利用均值的定义求EX。跟踪训练1在有奖摸彩中，一期（发行10000张彩票为一期)有200个奖品是5元的，20个奖品是25元的，5个奖品是100元的．在不考虑获利的前提下,一张彩票的合理价格是多少元？命题角度2二项分布与超几何分布的均值例2根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为0.5,购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3,设各车主购买保险相互独立．(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；(2)X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X的均值．反思与感悟如果随机变量X服从二项分布即X～B（n，p）,则EX＝np；如果随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布,则EX＝neq\f（M,N），以上两个特例可以作为常用结论，直接代入求解，从而避免了烦琐的计算过程．跟踪训练2一个口袋内有n(n〉3)个大小相同的球，其中有3个红球和(n－3）个白球．已知从口袋中随机取出一个球是红球的概率是eq\f(3,5）。不放回地从口袋中随机取出3个球，求取到白球的个数ξ的均值Eξ.类型二均值的实际应用例3某商场准备在“五一”期间举行促销活动．根据市场行情，该商场决定从3种服装商品、2种家电商品、4种日用商品中，选出3种商品进行促销活动．（1)试求选出的3种商品中至少有一种是日用商品的概率；（2)商场对选出的家电商品采用的促销方案是有奖销售，即在该商品成本价的基础上提高180元作为售价销售给顾客，同时允许顾客有3次抽奖的机会，若中奖一次，就可以获得一次奖金．假设顾客每次抽奖时获奖的概率都是eq\f(1，2），且每次获奖的奖金数额相同，请问：该商场应将每次中奖的奖金数额至多定为多少元,此促销方案才能使商场自己不亏本？反思与感悟处理与实际问题有关的均值问题，应首先把实际问题概率模型化，然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并写出分布列，最后利用有关的公式求出相应的概率及均值．跟踪训练3企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为eq\f(2，3)和eq\f（3,5）.现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B。设甲、乙两组的研发相互独立．(1）求至少有一种新产品研发成功的概率；(2）若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功,预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和均值．1．现有一个项目,对该项目每投资10万元,一年后利润是1。2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为eq\f（1，6)，eq\f（1，2)，eq\f(1,3)。随机变量X表示对此项目投资10万元一年后的利润,则X的均值为(）A．1.18B．3。55C．1。23D．2。382．若p为非负实数,随机变量ξ的分布列为ξ012Peq\f(1,2)－ppeq\f（1，2）则Eξ的最大值为(）A．1 B。eq\f（3,2)C.eq\f(2,3) D．23．设随机变量X~B（40,p）,且EX＝16，则p等于（）A．0.1B．0.2C．0。3D．0。44．袋中有7个球,其中有4个红球，3个黑球,从袋中任取3个球，以X表示取出的红球数，则EX＝________.5．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个（n＝1，2，3,4)．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．(1）求ξ的分布列、均值;(2）若η＝aξ＋4,Eη＝1，求a的值．1．求随机变量的均值的步骤（1）写出随机变量所有可能的取值．(2)计算随机变量取每一个值时对应的概率．（3）写出分布列，求出均值．2．离散型随机变量均值的性质(1）E(cX）＝cEX(c为常数)．（2）E（aX＋b)＝aEX＋b(a，b为常数)．（3)E(aX1＋bX2）＝aEX1＋bEX2（a，b为常数）．

答案精析问题导学知识点一思考1X＝5，6,7.思考2P（X＝5)＝eq\f（4,12)，P(X＝6)＝eq\f(3，12)，P（X＝7)＝eq\f(5，12).思考3eq\f(5×4＋6×3＋7×5，12)＝5×eq\f(4,12）＋6×eq\f（3，12）＋7×eq\f（5，12).梳理(1)a1p1＋a2p2＋…＋arpr(2）“中心位置"知识点二1．np2．neq\f(M,N)题型探究例1解(1）X的可能取值为－300，－100，100,300。P（X＝－300）＝0.23＝0。008，P(X＝－100)＝Ceq\o\al（1，3)×0.8×0.22＝0.096，P(X＝100）＝Ceq\o\al（2，3)×0。82×0。21＝0.384,P（X＝300）＝0.83＝0.512,所以X的分布列为X－300－100100300P0.0080。0960。3840。512所以EX＝(－300）×0。008＋(－100）×0.096＋100×0。384＋300×0.512＝180（分）．（2)这名同学总得分不为负分的概率为P（X≥0）＝P（X＝100）＋P(X＝300)＝0。384＋0。512＝0。896。跟踪训练1解设一张彩票的中奖额为随机变量X,显然X的所有可能取值为0,5，25，100.依题意,可得X的分布列为X0525100Peq\f（391,400)eq\f（1，50）eq\f（1,500)eq\f(1，2000）所以EX＝0×eq\f（391,400）＋5×eq\f（1,50）＋25×eq\f(1,500)＋100×eq\f(1，2000)＝0.2，所以一张彩票的合理价格是0。2元．例2解设该车主购买乙种保险的概率为p,由题意知p×（1－0.5)＝0.3，解得p＝0。6。(1）设所求概率为P1,则P1＝1－(1－0.5)×（1－0.6)＝0。8。故该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率为0.8。（2）每位车主甲、乙两种保险都不购买的概率为（1－0。5)×(1－0.6)＝0.2。∴X～B(100，0。2），∴EX＝100×0。2＝20.∴X的均值是20。跟踪训练2解p＝eq\f(3，5),∴eq\f（3,n)＝eq\f（3,5）,∴n＝5，∴5个球中有2个白球．取到白球的个数ξ服从参数为N＝5，M＝2，n＝3的超几何分布，则Eξ＝eq\f（nM，N)＝eq\f(3×2，5）＝eq\f（6，5).例3解（1）设选出的3种商品中至少有一种是日用商品为事件A,则P(A)＝1－eq\f(C\o\al(3，5),C\o\al（3，9)）＝eq\f（37，42)。即选出的3种商品中至少有一种是日用商品的概率为eq\f（37,42）.(2)设顾客抽奖的中奖次数为X,则X＝0，1,2，3,于是P(X＝0）＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(1－\f（1，2)））×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（1－\f（1,2)））×eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2）））＝eq\f(1，8），P(X＝1）＝Ceq\o\al(1，3)×eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(1－\f(1，2)）)2×eq\f（1,2）＝eq\f（3,8），P（X＝2)＝Ceq\o\al(2，3)×eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（1－\f(1，2))）×eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1，2)))2＝eq\f(3，8）。P(X＝3)＝eq\f(1，2）×eq\f（1，2）×eq\f（1，2）＝eq\f(1，8），∴顾客中奖的均值EX＝0×eq\f(1,8）＋1×eq\f（3，8）＋2×eq\f（3，8)＋3×eq\f（1,8）＝1.5.设商场将每次中奖的奖金数额定为x元，则1.5x≤180，解得x≤120，即该商场应将每次中奖的奖金数额至多定为120元,才能使自己不亏本．跟踪训练3解记E＝｛甲组研发新产品成功｝，F＝{乙组研发新产品成功}．由题设知P(E)＝eq\f（2，3),P（eq\x\to（E)）＝eq\f（1，3），P（F）＝eq\f(3，5）,P（eq\x\to(F)）＝eq\f(2，5)，且事件E与F，E与eq\x\to(F)，eq\x\to（E)与F，eq\x\to(E)与eq\x\to（F）都相互独立．(1）记H＝{至少有一种新产品研发成功}，则eq\x\to(H)＝eq\x\to(E）eq\x\to(F)，于是P（eq\x\to(H））＝P(eq\x\to(E）)P(eq\x\to(F)）＝eq\f(1,3)×eq\f（2,5）＝eq\f(2，15),故所求的概率为P(H)＝1－P（eq\x\to(H））＝1－eq\f(2，15）＝eq\f(13,15)。（2）设企业可获利润为X万元,则X的可能取值为0，100,120，220.因为P（X＝0）＝P（eq\x\to（E）eq\x\to(F））＝eq\f（1，3)×eq\f(2，5)＝eq\f（2,15)，P（X＝100)＝P（eq\x\to(E）F）＝eq\f(1，3)×eq\f(3，5)＝eq\f（3，15）,P(X＝120）＝P（Eeq\x\to（F))＝eq\f(2，3)×eq\f(2，5）＝eq\f(4，15)，P（X＝220）＝P（EF)＝eq\f（2，3)×eq\f(3,5)＝eq\f（6，15)，故所求的分布列为X0100120220Peq\f（2，15)eq\f（3，15）eq\f（4，15）eq\f(6,15）EX＝0×eq\f(2，15)＋100×eq\f(3，15）＋120×eq\f（4，15）＋220×eq\f（6,15）＝eq\f（300＋480＋1320，15)＝eq\f（2100，15）＝140.当堂训练1．A2。B3.D4。eq\f(12,7）5．解(1）ξ的分布列为ξ01234Peq\f(1，2）