画法几何 点线面的相对位置

2.4线面相对位置

一般面与投影面垂直面互交aa′bb′cc′d′dee′ff′nn′m0m0′m′m求交线：可见性判别：【例2.30】如图所示，作△ABC与铅垂的矩形DEFG的交线，并表明可见性。aa′bb′cc′d′d(e)e′g(f)f′g′ikik求交线：可见性判别：【例2.31】如图所示，作平行于侧面的△ABC和垂直于正面的△DEF的交线，并表明可见性。e”f”e’

f’a”b”c”a’

b’

c’d’d”OZ

k’(l’)l”k”求交线：可见性判别：【例2.32】如图所示，分别作出正垂面P与△ABC，水平面Q的交线，并表明可见性。a′abf’(g’)cb′c′PVQVfgXOd′e′d′e′求交线：可见性判别：2.4.2.2、两相交元素的投影都无积聚性时求交

由于相交的两元素均无积聚性，故不能直接利用积聚性进行求解。解决这类问题，通常可借助设置特殊辅助平面进行求解。＊一般直线与一般平面相交；＊两一般位置平面相交。基本作图MBCAFKNLEABCF可以利用辅助平面和辅助投影的方法使相交一方具有积聚性。ABCQⅡⅠNM（3）求交线与已知直线的交点，此即所求。（2）求辅助平面与已知平面（ABC）的交线（ⅠⅡ）；求交点的步骤:（1）包含直线（MN）作辅助平面（Q）；K辅助平面法：通过已知直线做投影面垂直面，求出两平面的交线，此直线与原直线的交点即为所求的点。(一)一般线与一般面相交(一)一般线与一般面相交m´n´QV解题步骤：1、过EF作正垂面Q。2、求Q平面与ΔABC的交线MN。3、求交线MN与EF的交点K。4、可见性判别f´e´efba´acb´c´mnFECABQMNKk´kHVa´b´c´ceaABbCFEf´fk´Kke´可见性判别方法ⅠⅡ1´

(2´)判别可见性的原理是利用重影点。ⅢⅣ3(4)利用重影点判别可见性f´e´efba´acb´c´kk´12

1´2´4´3´43()()

线面交点法

三面共点法求两平面的交线，只要求出两平面的两个公共点或一个公共点和交线的方向。(二)两一般位置平面相交

求交线步骤：

1、用直线与平面求交点的方法求两平面的共有点；

n´bacc´b´a´hh´nmm´QV1´2´21PVkk´ee´2、判别可见性。MBCAKENH线面交点法判别两平面的可见性n´bacc´b´a´hh´nmm´（）1´2´1

2()3

4

3´

4´判别可见性的原理是利用重影点。通过第三面找到三个平面的共有点，找到两个这样的共有点，连接这两点，即为两平面的交线。P2P1(三)三面共点法（两平面轮廓部分不直接相交）rrssPVQVlkklbccdadeabeffghgh1、直线与平面垂直2、平面与平面垂直ABCDL1L2EFPHPV2.4.3、直线与平面以及两平面垂直2.4.3.1、直线与平面以及两平面垂直垂直的几何条件与投影特性几何条件:直线必须垂直于该平面上的任意两相交直线基本作图：①判别直线是否与平面垂直ABCDL1L2EFPHPV②过空间一点作已知平面的垂线③过空间一点作已知直线的垂面一、直线与平面垂直P判别直线是否与平面垂直1、几何条件MNKL1L2如果一直线垂直于平面内的一对相交直线，则此直线垂直于该平面PMNL1L2K如果一直线垂直于某平面，则此直线垂直于该平面内的任意直线PMNL1L2PPHPVHV2、投影特性DABCMNbccaabmmnndd

如果一直线垂直于一平面，则该直线的正面投影垂直于该平面内正平线的正面投影，该直线的水平投影垂直于该平面内水平线的水平投影。(直线垂直于一平面)【基本作图一】判别直线是否与平面垂直1′122′e′ef′fa′abb′cc′KK′PHg′h′ghEF⊥△ABCGH⊥P平面【基本作图二】过空间一点作已知平面的垂线1′122′f′fe′ea′abb′cc′【基本作图三】过空间一点作已知直线的垂面bb′cc′faa′ef′e′【例2.34】如图所示，过点A作一平面，平行于直线BC，垂直于△DEFbb′cc′faa′df′e′ed′h′g′hg212′1′二、平面与平面垂直几何条件：

一个平面上有一条直线垂直于另一平面或一平面通过另一平面的法线。基本作图：①

判别两平面是否垂直②

过空间一直线作已知平面的垂面QPL1L2NM【基本作图一】判别两平面是否垂直e′ea′abb′cc′ff′gg′11′22′△ABC⊥△EFGd′d【基本作图二】过空间一直线作已知平面的垂面1′122′f′fe′ea′abb′cc′gg′2.4.3.2两元素中至少有一个处于特殊位置时，直线与平面以及两平面垂直n（1）特殊位置的直线与平面相互垂直当直线垂直于某投影面垂直面时，则此直线必为该投影面平行线。VHOXPmnmMN特殊位置的线面垂直问题ppmnmnPVPHmnmnppmnm(n)【例2.36】如图所示，过点A作正垂面△CDE的垂线AB和垂足B，并确定点A与△CDE平面的真实距离。bb′cc′aedd′e′a′真实距离P如果一直线垂直于一平面，则包含此直线的一切平面都与该平面垂直。(2)平面与平面垂直几何条件ABPQK如果两平面互相垂直，则从一平面上任一点向另一平面所作的垂线必在前一平面上。几何条件LPQKL【例2.37】如图所示，过直线AB作一般位置平面垂直于正垂面P，过点C作正垂面P的正垂面Q和正平面R。bb′cc′aa′PVXOd′d【例】过点K作一平面垂直平面ABCD。kkbaabdccd1212ee例包含直线MN作平面垂直于平面ABC。baabccmnnmll面面相交为直线的性质投影面平行面相交：水平面与正平面相交为侧垂线水平面与侧平面相交为正垂线侧平面与正平面相交为铅垂线不同投影面的两平行平面相交为投影面垂直线投影面平行面与投影面垂直面相交：投影面平行面与另两投影面的垂直面的交线为投影面垂直线投影面平行面与该面的垂直面的交线为投影面平行线投影面平行面与一般位置平面相交：交线为投影面平行线投影面垂直面与一般位置平面相交：交线为一般位置直线四、综合作图题示例

1、审题

明确题意、已知条件和作图要求。

2、空间分析

逆推分析法：假设满足题目要求的几何元素已经给出，将它和题目所给的几何元素一起，按题目要求的几何条件逐一分析，综合研究它们之间的相对位置和从属关系，进而探求由给定的几何元素确定所求的几何元素的途径，进而得出解题方法。

轨迹分析法：根据题目要满足的若干几何条件逐个地运用空间几何元素轨迹的概念，分析所求的几何元素在该条件下的空间几何轨迹，然后综合这些空间几何轨迹取公共元素，进而得出解题方案。

3、确定作图步骤，运用基本作图完成投影图

解题方案选定后，就要决定作图步骤，先做什么，后做什么。并熟练运用各种基本作图方法，完成投影图。c【例1】求点C到直线AB的距离。baabkck2211距离实长2【例2】求点K到平面ABC的距离。cbaabkck211ll求实长距离实长kkabcabcll【例题3】已知直角三角形ABC的水平投影，及直角边AB的V投影，试完成其正面投影。b′cbaa′c′1′12′2作图步骤1、过点Ａ作直线AB的垂直面AⅠⅡ；2、在垂直面AⅠⅡ上，运用平面定线方法确定AC边；3、连线完成直角三角形ABC的投影。【例题4】作一直线与两交叉直线AB和CD相交，同时与直线EF平行。f2′211′nmm′n′abb′a′e′f′c′d′c′deABCDEF1MN【例题5】过点N作直线，使其与△ABC平行，且与直线EF相交。eff′e′m′ma′b′bacc′2′21′1nn′作图步骤1、过点M作平面MⅠⅡ平行于已知平面ABC；2、求平面MⅠⅡ与已知直线EF的交点N；3、连接MN【例题6】过点K作直线KL与直线MN垂直，并与△ABC平行。gg′l′laa′bcc′b′k′kmnn′m′作图步骤1、过MN作平面MNG垂直于平面ABC；2、过点K作直线KL垂直于平面MNG。【例题7】已知直线AB与△EFG平面的夹角为60°，AB在△EFG上的正投影为AC，求作AB的两投影。e′f′g′gfea′c′ca60°ACB=A0c

b′bB0cB0=BCA0△ZAC△ZAC△ZC11′△ZC11【例题8】已知等边△ABC与H面的倾角α=30°，试完成该等边△ABC的两面投影。caa′c′bb′B0等边△ABC高BD的实长d′dα△ZBD△ZBD作图步骤1、求作等边△Ａ